Mathematica在电磁场理论镜像法中的应用

杨涛+赵妍卉+张颖松+李平辉

摘 要 把Mathematica数学软件应用到电磁场理论镜像法的教学中，可以很容易地由电位方程求出电场方程，并且可以方便地画出电位和电场的分布场图，既增强了学生的感性认识，又达到了良好的教学效果。

关键词 Mathematica 镜像法 电场

中图分类号：O441.2 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2015.07.015

Application of Mathematica in Image Theory

in Electromagnetic Theory

YANG Tao， ZHAO Yanhui， ZHANG Yingsong， LI Pinghui

（PLA University of Science and Technology， Nanjing， Jiangsu 210007）

Abstract The software Mathematica is introduced for the teaching of image theory in electromagnetic theory， which makes it simple to obtain the electric field equation from potential equation as well the field distribution for potential and electric fields. Therefore， the students' sensory perception can be enhanced and the good teaching effect can be achieved.

Key words Mathematica; Image Method; electric field

Mathematica是美国Wolfram Research公司开发的数学软件，可以用于解决各种领域的复杂的符号计算和数值计算的问题。用Mathematica可以很方便地画出用各种方式表示的一元或二元函数的图形，通过这样的图形，我们可以立即形象地把握住函数的某些特性，而这些特性一般很难从函数的符号表达式中看清楚。①

电磁场理论中的镜像法是求解静电场问题的一种简单形象而行之有效方法，它使某些看起来棘手的问题很容易得到解决。经过多年的教学实践，我们发现，虽然对于某些问题用镜像法求解很简单，但是学生有时不理解，甚至怀疑。一般的教材只对一些简单的问题有图示说明，往往不够形象直观，也不便在多媒体中展示。把Mathematica应用到教学中，对镜像法的各种问题我们都可以方便用平面或立体图形给出电位电场的分布，而且可以从多个角度观察，并且随时变换。下面针对镜像法的一些典型问题，给大家介绍如何应用Mathematica，主要介绍如何由电位求出电场以及画出电位电场场图。

1 点电荷和导体平面

一点电荷位于接地无限大平面导体的上方，分析无限大平面导体上方的电场及导体上感应电荷的分布情况。

建立圆柱坐标系，点电荷位于（0，，），平面导体位于 = 0的平面，则>0的区域内任一观察点（，，）的电位函数为：

利用Mathematica软件对电位函数算梯度，求出电场：

输出结果为：

导体表面的感应电荷密度为：

利用Plot函数，令 = 1，画出电位、电场及导体表面的电荷分布的变化图（图1、图2）。

令，则导体表面的电荷密度为（图3）：

图1 电位场图

图2 电场场图

图3 电荷面密度分布图

2 点电荷和导体球

一点电荷位于导体球附近，分析导体球接地情况下导体球附近的电场及导体球上感应电荷的分布情况。

建立球坐标系，导体球球心为坐标原点，点电荷距球心的距离为。球外任一点的电位为：

用Mathematica转换为直角坐标的表达式，并利用计算电场的表达式，用plot函数得到电位、电场的分布变化图（图4、图5）：

图4 电位场图

图5 电场场图

3 两平行导体圆柱

两无限长圆柱导体，分析圆柱体外电场和电位的分布情况。

建立直角坐标系，确定电轴位置，两电轴相距，圆柱外任一点的电位为，用Mathematica求出磁场，并画出电轴外的电位和电场（图6、图7）：

图6 电位场图

图7 电场场图

4 小结

通过使用Mathematica数学软件，我们的课堂变得活拨生动起来，学生更容易理解也更感兴趣。Mathematica主要可以做数值计算、符号运算和图像处理三项工作，把强大的图像处理功能运用到镜像法的教学中，增加了学生的感性认识，解决了电磁场看不见摸不着难于理解的问题。

注释

① 杜建明.Mathematica在电磁场理论中的应用[M].合肥工业大学出版社，2004.