低渗气藏“楔形”裂缝多段压裂水平井产能预测模型

许佳良，许 良，曹海宁

（1.中国石油大学石油工程教育部重点实验室，北京 102249；2.中国石油渤海钻探井下作业分公司，河北任丘 062552；3.中国石油渤海钻探第四钻井工程分公司，河北任丘 062552）

对于低渗透致密油气藏，仅采用水平井开发往往达不到所预期的开发效果，为此，常常进行水力压裂产生多条裂缝以增加水平井的产能[1]。郎兆新等[2]采用复位势理论和叠加原理推导出压裂水平井产能预测公式，使压裂水平井产能预测的精度有较大提高，但作者假设压裂水平井每条裂缝的产量都相等与实际不相符。宁正福等[3]在此基础上对压裂水平井的产能预测公式进行了修正，考虑了裂缝内渗流阻力和压力损失，但将裂缝看成恒定宽度和裂缝中的流动假设为平面径向流，不符合裂缝实际形态和裂缝中流体流动形态，而且将气藏厚度的一半直接当作供给边缘半径，这些因素无疑使计算结果偏大。韩树刚等[4]根据流体力学理论和动量定理，结合气体的性质和实际气体的状态方程，建立了气藏压裂水平井地层渗流和水平井筒管流耦合的计算模型。郭建春等[5]研究了裂缝实际形态对压裂井产能的影响，主要针对直井而非多段压裂水平井。本文在考虑裂缝内渗流阻力的基础上，将裂缝形态假设为“楔形”，缝内流动假设为线性流动[6-8]。通过对比计算，分析了裂缝位置、裂缝长度及裂缝形态对多段压裂水平井产能影响，并进行了实例验证，效果良好。

1 物理模型

就压裂水平井而言，人工水力裂缝是油气渗流的主要通道，产能模型中裂缝内流体流动计算模型对模型计算结果具有重要影响，而计算模型的精确性则直接由裂缝物理模型决定。在裂缝闭合后，裂缝宽度不是恒定不变的，靠近井筒部分铺砂浓度高，裂缝宽度较大，远离井筒部分铺砂浓度较低，裂缝宽度较小，最终形成的裂缝从缝端到井筒逐渐变窄，可以将裂缝水平截面假设为楔形（见图1）。

图1 楔形裂缝模型横截面示意图Fig.1 The cross-sectional schematic of wedge-shaped fracture model

2 数学模型

2.1 模型假设

（1）上下封闭的无限大非均质地层；（2）地层中心有一口水平井；（3）裂缝等距离分布，垂直于水平井筒并完全垂直穿透储层；（4）裂缝的水平剖面为梯形，垂直剖面为矩形；（5）流体仅通过裂缝流入井筒；（6）油藏中为单相气体流动，且满足达西定律。

2.2 数学模型推导

2.2.1 气藏中压降计算 根据油藏压裂水平井产能预测公式，结合压力函数的定义和真实气体的状态方程，将压裂水平井的产量换算为地面标准状况下气体的产量，则从气藏到压裂水平井裂缝的压降可以用公式[2]表示为：

式中：N-裂缝条数；Pe-供给边界压力，MPa；Pfj-第j 条裂缝缝口压力，MPa；μg-气体黏度，mPa·s；Z-气体偏差因子，无量纲；PSC-标准大气压，MPa；T-地层稳温度，K；TSC-标准状况下温度，K；kh-水平方向渗透率，μm2；h-地层厚度，m；L-水平井筒长度，m；d-裂缝间间距，m；Re-供给半径，m；Lf-裂缝半长，m；Qgi-第i 条裂缝产量，m3/d；j=1，2，...，N，j 每增加1，i 从-No到No增加1（N 为奇数时）或2（N 为偶数时）。

2.2.2 裂缝中压降计算 在建模过程中，利用对称性，取气藏的1/4 来建立模型（见图2）。将裂缝的一翼视作由n 部分组成，裂缝模型以井眼坐标为原点，裂缝延伸方向为分x 轴方向。

图2 裂缝建模示意图Fig.2 The schematic of fracture model

图4 裂缝划分示意图Fig.4 The schematic of wedge-shaped fracture and segment dividing

模型中假设裂缝的水平剖面为直角梯形（见图3），建模过程中将裂缝划分为n 个微元段（见图4），以计算各段裂缝宽度和压降。以井眼为原点，距井眼xoi处的oi 裂缝宽度为：

点oi 与oi+1 之间的平均裂缝宽度为：

式中：Wave.i-第i 段平均宽度，m；xoi-oi 点距井筒距离，m；Wheel-缝端宽度，m；Wtoe-缝口宽度，m；Wo（i+1）-o（i+1）点处宽度，m；Woi-oi 点处宽度，m。

根据达西定律可以得到缝端到井筒压力降为：

流体为天然气，根据压力函数的定义和真实气体的状态方程，并将裂缝产量换算为地面标准状况下气体产量，则上式可写为：

式中：Pwfj-第j 条裂缝缝端压力，MPa；kf-水平渗透率，μm2。

设所有裂缝缝端压力都等于井底压力，即Pwf=Pwfj，由式（1）和式（5）叠加可得：

由上式联立可以得到一个有N 个未知数N 个方程的线性方程组（式7）：

其中：

利用高斯消元法进行求解得到每条裂缝产量Qgi，则压裂水平井产量为各条裂缝产量之和为：

气藏直井产量公式为：

定义无因次增产倍数JD为：

式中：Qg-各裂缝产量之和，m3/d；Qv-直井产量，m3/d；JD-无因次增产倍数。

3 实例计算及模型分析

3.1 实例计算

国内某气田地层厚度为8 m，缝口宽度为8.4 mm，缝端宽度为0.6 mm（平均缝宽为4.5 mm）气体黏度0.023 mPa·s，水平段长度500 m，裂缝半长40 m，气层厚度8 m，水平方向渗透率0.83×10-3μm2，裂缝渗透率30 D，地层压力27.53 MPa，井底压力23.53 MPa，地层稳定100 ℃，井筒半径0.1 m，供给半径为400 m，相应的产量为3.24×104m3/d。楔形模型计算产量为3.29×104m3/d，与实际产量误差为7.16 %，“宁正福”模型产量（按平均缝宽计算）与实际产量误差为11.28 %。

水平井压裂后各裂缝之间不进行补孔，计算不同裂缝位置对水平井产能的影响，以7 条裂缝压裂水平井为例，计算结果（见表1）。

表1 每条裂缝产量Tab.1 The production of each fracture

3.2 压裂水平井产能分析

3.2.1 裂缝位置对压裂水平井产能的影响 水平井压裂后各裂缝之间不进行补孔，计算不同裂缝位置对水平井产能的影响，以7 条裂缝压裂水平井为例，计算结果（见表1）。

从表1 可以得出，压裂水平井中每条裂缝的产量并不相同，从趾端到跟端产能呈现“U”型（见图5）。因此，在实际生产采取增产措施过程中应该注意提高压裂水平井趾端和跟端处裂缝的生产能力，以获得良好的增产效果。

图5 裂缝位置对水平井产量的影响Fig.5 The position of fracture vs a horizontal well productivity

3.2.2 裂缝条数对压裂水平井产能的影响 随着裂缝条数的增加（见图6），压裂水平井产量不断升高，裂缝条数为4～6 条时，压裂水平井产量达到最大值。裂缝条数大于6 条时，压裂水平井产量随裂缝条数的增加不再明显。

图6 裂缝条数对水平井产能的影响Fig.6 The numbers of fracture vs a horizontal well productivity

3.3 新旧模型对比

从图7 可以看出，文献[3]中公式计算的压裂水平井产能与“楔形”模型计算结果相比明显偏大。文献[2]采用复位势理论和叠加原理推导了压裂水平井稳态产能公式，但假设每条裂缝产能相同与实际情况明显不符。从图5 可知，中间裂缝与两端裂缝相比产能偏小。文献[3]在此基础上考虑裂缝中的渗流阻力和压力损失，将裂缝中的流动假设为平面径向流动，使预测的准确性有一定提高。但是将压裂水平井裂缝中的流动假设为径向流动与实际情况不符，造成计算产能偏高。“楔形”模型将裂缝中的流动考虑为线性流动，并考虑实际裂缝形态对气体在裂缝各段中流动造成压降不同，“楔形”裂缝越靠近井眼，裂缝宽度越大，流动阻力增幅减小，更加符合气藏裂缝中实际流动。因此采用“楔形”裂缝模型计算产量误差更小。

图7 新旧模型对比Fig.7 The comparison of the new and old model

图8 不同渗透率条件下裂缝长度对产能的影响Fig.8 The impact of the length of fracture on a horizontal well productivity under different permeability conditions

从图8 可知，kh＜0.1 mD 时楔形模型与旧模型计算的压裂水平井增产倍数非常接近（两模型平均缝宽相同），随着裂缝长度增加，增产倍数开始增加较快然后变慢最后趋于平缓。由于kh＜0.1 mD 地层向裂缝供液能力相对弱，裂缝宽度能够满足随着裂缝长度增加导致的水平产量增加的流动需要，所以裂缝越长产量越高增产倍数越大。在渗透率一定时，地层向水平井供液的能力是一定的，所以随裂缝长度增加水平井产能不再增加曲线趋于平缓。

当kh＞0.1 mD 时，楔形模型增产倍数曲线与旧模型呈现截然不同的形状，增产倍数随着裂缝长度的增加先增加后下降且明显低于旧模型增产倍数曲线。地层渗透率相对高，地层向裂缝供液能力强，气体在裂缝中渗流阻力明显增加。在缝口宽度Wtoe不变的情况下，裂缝长度越大，距缝口较近缝宽小的裂缝长度增加，同时地层供液能力强，造成在这段缝宽小的裂缝中渗流的压降剧烈增加，出现随裂缝长度增加增产倍数反而减小的现象。所以在实际采取增产措施过程中，对于渗透率相对高，供液能力充足的地层，在增加裂缝长度的同时一定要保证缝口宽度。如果缝口宽度过小会造成裂缝长度越长增产倍数反而下降。

与楔形模型相比，旧模型未考虑实际压裂产生的裂缝形状对流体在裂缝中流动影响，造成增产倍数计算结果总体偏高。

3.4 裂缝参数对压裂水平井产能的影响

不同渗透率条件下楔形模型无因次增产倍数随缝口宽度变化曲线（见图9）。kh＜0.1 mD 及裂缝长度一定时，缝口宽度从0.006 m 变化到0.054 m 时，增产倍数增加不明显。由于地层渗透率小，供液能力差，裂缝宽度能够满足流动需要。当kh＞0.1 mD 时，缝口宽度从0.006 m 到0.038 m 时，增产倍数迅速增加。由于在缝口宽度较小时，靠近裂缝前段渗流阻力很大，因此随着缝宽增加，增产倍数迅速增加。但当缝口宽度大于0.038 后，增产倍数增加变慢，曲线趋于平缓。所以可以确定0.022 为在此油藏条件下最优平均缝宽。从图5可知，在其他渗透率条件下，同样表现出这种规律。所以从图5 可以得到最优平均缝宽。

图9 不同渗透率条件下缝口宽度对产能的影响Fig.9 The impact of the width of fracture tip on a horizontal well productivity under different permeability conditions

不同裂缝长度下楔形模型无因次增产倍数随缝口宽度变化曲线（见图10）。由图10 可知，无因次增产倍数随着缝口宽度增加而变大；长裂缝比短裂缝增产倍数增加率明显要大，说明缝口宽度对长裂缝影响更大。在压裂施工过程中，不仅要使裂缝延伸较长，而且要特别注意长裂缝缝口宽度，才能得到较高的增产倍数。

图10 不同裂缝长度条件下缝口宽度对产能影响Fig.10 The impact of the width of fracture tip on a horizontal well productivity under different fracture length conditions

4 结论

（1）本文考虑裂缝中流动形态及裂缝形状，建立了“楔形”裂缝压裂水平井产能预测模型，以更加真实的裂缝形态预测压后产能，计算结果精度更高。

（2）压裂水平井裂缝产量由端部向中部逐渐减小，同时由于裂缝间的相互干扰，对压裂水平井来说，裂缝条数并不是越多越好；缝口宽度对裂缝段渗流阻力的影响，裂缝长度并不是简单的越长越好，而是应该满足一定缝口宽度。

（3）地层渗透率较小时，供液能力差，缝口宽度对增产倍数影响较小。当地层渗透率较大时，随着缝口宽度增加，增产倍数迅速增加。无因次增产倍数随着缝口宽度增加而变大，长裂缝比短裂缝增产倍数增加率更大。

［1］ 范子菲，方宏长，午新年.裂缝性油藏水平井稳态解产能公式研究［J］.石油勘探与开发，1996，23（3）：52-63.

［2］ 朗兆新，张丽华，程林松.压裂水平井产能研究［J］.石油大学学报（自然科学版），1994，18（2）：43-46.

［3］ 宁正福，韩树刚，程林松.低渗透油气藏压裂水平井产能计算方法［J］.石油学报，2002，23（3）：69-71.

［4］ 韩树刚，程林松，宁正福.气藏压裂水平井产能预测新方法［J］.石油大学学报，2002，26（4）：36-39.

［5］ 郭建春，路千里，曾凡辉.楔形裂缝压裂井产量预测模型［J］.石油学报，2013，34（2）：346-353.

［6］ 李廷礼，李春兰，吴英.低渗透油气藏压裂水平井产能电解模拟实验研究［J］.中国海上油气，2005，6（12）：389-393.

［7］ DIKKEN B J. Pressure drops in horizontal wells and its effects on their production performance［J］.SPE19284，1989.

［8］ NOVY R A. Preesure drops in horizontal wells when can be ignored［J］.SPE24941，1992.