古塔变形后各层中心位置的研究

赵　洁，陈永当，李　鹏

（1.西安职业技术学院建筑工程系，陕西西安710077；2.西安工程大学机电工程学院，陕西西安710048）

古塔变形后各层中心位置的研究

赵洁1，陈永当2，李鹏2

（1.西安职业技术学院建筑工程系，陕西西安710077；2.西安工程大学机电工程学院，陕西西安710048）

摘要：为研究古塔变形后的中心位置坐标，通过空间圆和空间球体，建立了基于三维坐标的空间圆拟合模型，提出计算古塔各层中心位置的通用方法。通过各层 Z坐标的最值点和中值点，计算出对应层的空间平面方程 ，将剩余观测点数据作为检验数据，经过离差分析，得出了相同年份同层的8个观测点共面。采用牛顿插值得到了缺失数据，利用检验数据建立了空间球体方程。将空间平面和空间球体方程联立，得到了空间圆特征方程，进而分析出古塔各层的中心位置坐标。

关键词：古塔变形；牛顿插值；空间圆方程；离差分析

我国是世界文明古国，古塔是古代文明的重要标志之一，在建筑艺术、结构形式、材料应用以及施工技术等方面，体现了我国古代在政治、经济、历史、文化、艺术、宗教和外交等方面的杰出成就［1-3］。古塔通常由多层组成，如西安的大雁塔共有7层，塔身及塔顶总高59.05 m，至今已有一千多年的历史［4］。可以说古塔是我国古代最伟大的高层建筑［5］。

古塔作为祖先传承下来宝贵的历史文化遗产［6-8］，具有重要的文化价值。是发展旅游事业，进行爱国主义教育的宝贵人文资源［9］。然而，由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响［10-11］，古塔会产生各种变形 ，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。因此，采取必要的措施，对古塔进行纠偏和加固［12-13］，具有重要的应用价值和现实意义。

目前，已有许多学者研究古塔的纠偏和加固以及变形情况的监测 ，国外有许多学者研究古塔的材料组成［14-16］。陈平等对西安大雁塔的抗震能力进行分析 ，研究了抗震机理和动态特性。张舵等［17］利用有限元数值方法，通过引入梁单元组模拟斗拱连接，建立了具有木塔较细致结构的有限元计算模型，对木塔进行了地震作用计算。黄强［18］研究了在城市复杂地形上采集古塔数据的内容和方法，分析了前方交汇法测塔顶中心位置的方法。周伟等［19］利用激光扫描技术，将整体点云数据拼接，用以监测大型古建筑倾斜变形情况。杨佳文等［20］运用空间平面拟合和多边形重心公式 ，确定古塔中心的位置坐标。

综上所述，现有的研究多数集中于如何监测古塔的变形，变形的纠偏措施等 ，对塔各层中心坐标的确定并不多见。本文提出空间圆和空间平面法，根据圆的方程得出古塔各层的中心坐标 ，对古塔的纠偏和加固而言，具有有重要的参考价值。

本文以2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题（古塔的变形）为原始数据，问题简述如下：某古塔已有上千年历史 ，是我国重点保护文物。为保护古塔，文物部门需适时对某古塔进行观测，了解各种变形量。该塔共13层，并先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月，对该塔进行了4次观测。每层测量具有代表性的8个点，每个点测绘出三维坐标。由于某种原因，1986年和1996年测绘时，第13层的第5个测量点出现了数据缺失。塔尖测量4个点，由于塔随时间的变形，2009年和2011年测绘时，塔尖数据出现了部分缺失。运用数学方法，研究古塔各层中心位置的计算方法，计算各次测量时古塔各层的中心坐标。

1　数据分析与处理

数据的观测和采集，对于后续的研究至关重要。观测数据的采集需要大量的人力、财力和物力，而且还会对研究对象造成一定程度的破坏。因此，在制定具体采样策略和计划时 ，要充分估计每个样品所能反映的最大信息，样品太少无法得到正确的结果，太多又会造成不必要的浪费［21-22］。所给的古塔各层数据，具有代表性，要能够反映古塔各层的变形情况。从理论上讲，同年同层观测点应该共面。基于以上分析 ，可认为这8个点分布在以该层中心点为原心的圆周上［23］。1986年和1996年的观测数据如表1所示，其它年份可查阅当年数据 ，在此不再赘述。

表1　观测点坐标 单位：m

1.1数据的增补

在表1所给数据中，1986年和1996年13层观测点5数据缺失。为了后续数据处理的完整性，在此，采用牛顿插值法，利用对应年中前两层第五点的数据，推测出缺失的数据，利用MATLAB计算，结果如表2所示。

表2　第13层观测点5插值结果　　单位：m

1.2共面情况研究

鉴于此，笔者认为我国事业单位在实施经费管控的过程中，单位管理者及相关人员应放眼宏观市场经济环境，积极转变陈旧思想，主动学习成本费用管控知识，提高认知度和重视程度。唯有主观上予以重视，才能从根本上接受，才能号召单位内部各部门、各人员共同参与经费管控之中。与此同时，有条件的事业单位还应在单位内部组织培训和制度宣贯，加强对成本费用管理思想的宣传，逐渐消除单位员工对经费管控的抵触思想。通过这种方式，力争将经费管控的作用发挥到最大。

观测中，当同层的塔面出现断裂、错位时，其观测点将不在同一平面，这样就不能利用空间圆法。因此，首先通过已知数据，对各层观测点的共面情况加以检验，根据取样原理可知 ，每次观测取点对称且均匀。将 k年塔的第i层上取坐标z值的最大值、最小值和中间值对应的坐标数据记为系数数据，利用系数数据构建空间平面方程。记任意一层的 z坐标最大值 ，最小值和中值对应的点为 Mmax（x0j，y0j，z0j），Mmin（x1j，y1j，z1j），Mmid（x2j，y2j，z2j）。这三点可以构成一个平面，首先计算出过这三点平面的法向量→n，根据向量垂直的相互关系，法向量→n与向量x都垂直，而，，取他们的向量积为n→，则有：化简整理后，运算结果记为：

则根据空间平面的点法式，可得出这三点的平面方程为：

式（2）经过化简，可得到过这三个观测点的空间平面一般方程：式中：i=1，2，…，13；k=1986，1996，2009，2011。得到平面方程后，k年塔的第j层上其余的5个点记为检验数据，设检验数据任意一点的坐标为 S（xrj，yrj，zrj），则 S到平面的距离为：

该距离称为离差，它反映了检验数据点偏离该平面的程度。离差越大，说明该点离该平面越远；离差越小，观测点越靠近该平面。如果第 i层上的8个观测点共面，则式（4）得到的结果应该均为零，即这些点共面。由于测量手段、人为原因的影响，实际中即使相同层级的观测点均处于同一平面，测出的数据也不会完全吻合［24］，当误差在一定的范围内时 ，可以认为同层所有观测点共面。因此，通过上述分析 ，每层到平面的距离都会有五个数据 ，计算出各层检验数据后，分析各层中最大的｛Drj｝，作为该层的离差，进行统计分析。不同年份各层离差统计如图1所示。

图1　离差统计曲线图

从图1可知，年份不同，各层离差并不相同，最大离差在1986年第13层观测点，离差为0.0801 m；最小离差在2011年的第1层观测点，离差为0.0581 m，离差的变化范围为0.022 m，基于以上分析，可认为古塔各层的8个观测点在空间上均处于同一平面。

2　模型的建立

在空间平面中，根据分析可知观测点是关于该层中心对称且均匀分布。设任意一层中心位置的坐标为O（xki，yki，zki），其中 i=1，2，…，13为古塔的层数，k=1986，1996，…，2011为观测的年份，则中心到该层8个观测点的距离，从理论上分析应该相等，观测点到该层中心点 O的距离记为Rki。

为便于分析计算，将公式（3）列为矩阵的形式，首先对公式（3）进行化简，化简后得：为便于运算，将式（5）写成矩阵的形式 ，则有：

将各层的最大值 Zmax、最小值 Zmin和中值 Zmid对应点的坐标带入式（6），即可求出不同年份各个塔层的平面方程。

2.2空间球体的拟合

根据前文分析，同层的八个观测点分布在以O（xki，yki，zki）为圆心 ，以Rki为半径的圆周上。设过任意一层八个观测点的空间球体方程为：

整理化简可得：

令 A=2 a，B=2b，C=2c，D=a2+b2+c2-R2可以得到：写成矩阵形式：

解得A、B、C、D，代入：

由于最值和中值的观测点数据已用于空间平面的拟合和求解，故在求解空间球体时，用其余五个观测点的其中四个数据解析。

2.3空间圆的拟合和圆心的求解

空间圆没有特征方程，需要采用一定的方法对其表征。在此提出空间圆拟合法，当空间平面Π与球体Ω相交时，球体被平面截切，在其表面产生的交线称为截交线，如图2所示。截交线具有典型的共有性和封闭性，即截交线上的任意一点均在空间平面与球体表面的共有线上，所形成的线段是封闭的。根据空间几何可知，空间平面与球体的截交线形成的图形是圆。

图2　平面和球体相交

圆上任意一点既在平面上，又在球体表面，其圆心为 O。因此，将空间平面方程和球体方程联立，得空间圆方程为式（11）：

通过带入观测点的数据，即可求出球体方程和空间平面方程，两方程联立，即可求出古塔各层的中心位置坐标，利用消元法的思想，分析计算出圆心的空间坐标，即古塔各层中心位置坐标，利用MATLAB软件计算，得到1986年、1996年古塔各层的中心位置坐标如表3所示；2009年和2011年古塔各层中心位置坐标如表4所示。

表3　1986年、1996年测量的古塔各层的中心坐标　　单位：m

3　结　语

古塔作为古代杰出建筑的代表，具有重要的历史意义。古塔不同层级的中心位置偏移，最能表征古塔的整个变形情况和发展趋势。通过综合考虑各层的中心位置偏移特性，能够从宏观上整体反映其变形的倾向。通过同一年份不同层级的中心位置偏移情况，可以定量的分析出不同层级的偏移程度。通过比较不同年份相同层级的中心位置变化情况，可以定量分析出随着时间的推移 ，古塔变形的发展趋势。综上所述，通过本文的分析研究，可为相关部门的古塔保护和监测提供参考和借鉴。

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中图分类号：TU196

文献标识码：A

文章编号：1672—1144（2015）03—0082—05

DOI：10.3969/j.issn.1672-1144.2015.03.016

收稿日期 ：2015-01-12修稿日期：2015-02-05

基金项目 ：陕西省科学技术研究项目（2013KRZ21）；陕西省教育厅科研项目（14JK1309）；西安市科技计划项目（CXY1439（2））

作者简介 ：赵洁（1977—），女 ，陕西西安人 ，讲师 ，主要从事给水处理方面的研究。E-mail：7711zhaojie@163.com

Study on the Location of Each Floor Center in an Ancient Tower After Deformation

ZHAO Jie1，CHEN Yong-dang2，LI Peng2
（1.Department of Architectural Engineering，Xi’an Vocational and Technical College，Xi’an，Shaanxi 710077，China；2.School of Mechanical&Electrical Engineering，Xi’an Polytechnic University，Xi’an，Shaanxi 710048，China）

Abstract：In order to locate the coordinate of the tower center after deformation，a spatial circle fitting model was established based on the 3-D coordinates of the spatial circle and spatial sphere.Moreover a universal method of calculating the center of each floor in the tower was developed.At first，through the calculation of the maximum and intermediate value of coordinate Z，the spatial plane equation of corresponding floor was deduced.The remaining data of the observation points was used as test data to do a deviation analysis，through which a coplane of 8 observation points on the same floor of the same year was obtained.And then Newton interpolation was applied to acquire the missing data.According to the test data，the equation of the spatial sphere was established，and the characteristic equation of the spatial circle was derived by combining the the spatial plane equation with the spatial sphere equation，through which the center coordinate of each floor in the ancient tower was determined.

Keywords：ancient tower deformation；Newton interpolation；spatial sphere equation；deviation analysis