二维多洞穴电磁散射问题的快速算法

茹 静,马富明

(1.吉林化工学院 理学院,吉林 吉林 132022;2.吉林大学 数学研究所,长春 130012)



二维多洞穴电磁散射问题的快速算法

茹 静1,2,马富明2

(1.吉林化工学院 理学院,吉林 吉林 132022;2.吉林大学 数学研究所,长春 130012)

针对无界域上具有矩形结构多洞穴电磁散射问题的数值计算提出一种快速算法,该算法可快速计算尺寸较大及高波数的洞穴散射问题.数值算例验证了方法的有效性.

散射问题;Helmholtz方程;Fourier级数

洞穴散射问题通常指由于平面局部凹陷而产生的散射现象,在军事领域,尤其是飞机设计中应用广泛.由于飞机的进气道、尾喷管雷达舱等均可视为洞穴结构,而这种结构会对入射场产生较强的散射,因此也是雷达探测的主要对象,目前洞穴散射问题的研究和计算已得到广泛关注.从数学角度研究洞穴散射问题,通常假设洞穴开口与无限地平面一致,从而简化洞穴外部区域的模型.Ammari等[1]对洞穴内部可以是非均匀介质的洞穴散射问题进行了研究,给出了其解的存在性和唯一性结果.目前已有很多方法用于研究洞穴散射问题,如有限元方法[2-5]、边界元方法[6]、杂交有限元方法[7-8]以及模态匹配法[9-10]等.本文考虑一类无界域上洞穴形状为矩形的多洞穴散射问题,这类问题有实际应用背景,但目前关于其计算方法的研究不多,Li等[11]讨论了此类问题.本文采用模态匹配法进行数值计算,该算法具有精度好、效率高、可处理高波数情况的优点.

1 数学模型

设平面波ui(x,y)=ei(αx-βy)由洞穴上方入射,其中α=k0sinθ,β=k0cosθ,k0是波数,θ∈(-π/2,π/2)是入射角.设u为Ω中的全场,记u|Ωj=uj(j=0,1,2).TM情形下洞穴散射问题可描述为：给定平面入射波ui,求解全场u,使得u满足Helmholtz方程

图1 开洞穴Fig.1 Open cavity

(1)

当(x,y)∈Ω0时,全场u0(x,y)=ui(x,y)+ur(x,y)+us(x,y),其中:ur=-ei(αx+βy)为反射场;us为散射场,us满足辐射条件:

(2)

当(x,y)∈Ωj(j=0,1,2)时,全场uj满足边界条件:

(3)

其中Γj=(aj,bj)×{0},j=1,2.

在洞穴开口处,即(x,y)∈Γ1∪Γ2时,全场u满足连续性条件:

(4)

(5)

2 数值方法

对全场u的求解可分为无界域Ω0和有界域Ω1∪Ω2两部分.当(x,y)∈Ωj(j=1,2)时,由方程(1)和边界条件(3),用分离变量法易求出全场uj(j=1,2)的表达式如下：

(6)

(7)

根据连续性条件(4),

(8)

将式(8)代入式(7),可得

(9)

进而可计算

记M(ξ)=-γ0(ξ),特别地,

再根据连续性条件(5),有

结合式(4),整理可得方程

(10)

(11)

由式(6)知：

(12)

(13)

将式(12),(13)代入式(10)得

(14)

其中:

(15)

(16)

其中:

(17)

将式(16)与式(17)的求和做有限项截断,即取充分大的N.记

并令

(18)

下面给出计算散射问题(1)的模态匹配法,步骤如下：

2)解方程(16)和(17)构成的方程组(18);

3)计算u1(x,y),u2(x,y);

4)计算us(x,y),最后求出u0(x,y).

3 数值实验

采用表1所列的3组数据进行数值实验,洞穴形状如图1所示,选取不同的截断数N、波数、入射角及洞穴的尺寸进行数值实验,实验结果如图2～图4所示.其中l1,l3,l2分别表示两个洞穴开口的尺寸和两洞穴间的距离.图2～图4分别表示表1中3组数据取不同截断数N时对应的|u0(x,0)|在洞穴开口Γ1∪Γ2处的取值.图中坐标系的坐标原点取为洞穴开口Γ1的左端点,横坐标表示洞穴开口的尺寸,纵坐标表示开口处|u0(x,0)|的值.

表1 入射角与洞穴尺寸Table 1 Incident angles and open cavity sizes

3组数值实验中,第一组数据截断数N分别取不同的数值,当N取很小的数20和40时,计算结果就很好了,与有限元方法相比计算量小很多,速度也较快.第二组和第三组数据分别计算了洞穴开口尺寸很大及波数k的取值很大的情况,这两种情况很多传统算法都处理不了,本文的计算结果较好.

图2 第一组数据对应的|u0(x,0)|Fig.2 |u0(x,0)| of the first data

图3 第二组数据对应的|u0(x,0)|Fig.3 |u0(x,0)| of the second data

[1] Ammari H,BAO Gang,Wood A W.Analysis of the Electromagnetic Scattering from a Cavity [J].Japan J Indust Appl Math,2002,19(2):301-310.

[2] ZHANG Deyue,MA Fuming,DONG Heping.A Finite Element Method with Rectangular Perfectly Matched Layers for the Scattering from Cavities [J].J Comput Math,2009,27(6):812-834.

[3] ZHANG Deyue,MA Fuming.The Two-Dimensional Electromagnetic Scattering from Periodic Chiral Structures and Its Finite Element Approximation [J].Northeast Math J,2004,20(2):236-252.

[4] LI Huiyuan,MA Heping,SUN Weiwei.Legendre Spectral Galerkin Method for Electromagnetic Scattering from Large Cavities [J].SIAM J Numer Anal,2013,51(1):353-376.

[5] BAO Gang,SUN Weiwei.A Fast Algorithm for the Electromagnetic Scattering from a Large Cavity [J].SIAM J Sci Comput,2005,27(2):553-574.

[6] Wood W D,Jr,Wood A W.Development and Numerical Solution of Integral Equations for Electromegnetic Scattering from a Trough in a Ground Plane [J].IEEE Trans Antennas and Propagation,1999,47(8):1318-1322.

[7] XIANG Zhonghui,Chia T T.A Hybrid BEM/WTM Approach for Analysis of the EM Scattering from Large Open-Ended Cavities [J].IEEE Trans Antennas and Propagation,2001,49(2):165-173.

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[9] BAO Gang,ZHANG Weiwei.An Improved Mode-Matching Method for Large Cavities [J].IEEE Antennas Wirel Propag Lett,2005,4:393-396.

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[11] LI Peijun,Wood A.A Two-Dimensional Helmhotlz Equation Solution for the Multiple Cavity Scattering Problem [J].J Comput Phys,2013,240:100-120.

(责任编辑：赵立芹)

FastAlgorithmforTwo-DimensionalMultipleCavityScatteringProblem

RU Jing1,2,MA Fuming2

(1.CollegeofSciences,JilinUniversityofChemicalTechnology,Jilin132022,JilinProvince,China;2.InstituteofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China)

A fast algorithm was proposed for the numerical computation of the electromagnetic scattering by multiple rectangular cavities embedded on an infinite ground plane,the algorithm can be used to compute the scattering problems with large cavities and high wave numbers.The numerical experiments confirm the effectiveness of our method.

scattering problem;Helmholtz equation;Fourier series

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.13

2014-09-30.

茹 静(1978—),女,汉族,博士研究生,讲师,从事数学物理反问题的研究,E-mail:rujing10@mails.jlu.edu.cn.

国家自然科学基金(批准号：11371172).

O241.82

：A

：1671-5489(2014)03-0419-05