几类函数的留数定理

何 萍，汤俊肖（红河学院 数学学院，云南 蒙自 661199）

几类函数的留数定理

何 萍，汤俊肖
（红河学院 数学学院，云南 蒙自 661199）

留数；对数留数；共轭

1 引言及结论

留数在复变函数论及实际应用中都是十分重要的，其和计算积分的问题有密切关系，可以把计算实积分或周线积分转化为计算留数。

在实际应用中，会发现定理A和定理B对计算积分的范围不广，为了便于计算，本文给出了定理1和定理2，分别对定理A和定理B进行了改进。

2 相关引理

引理2［4］设 P（z）=a0zn+a1zn-1+…+an-1z+an，Q（z）=b0zm+b1zm-1+…+bm-1z+bm，其中ai∈R，bj∈R，i=0，1，2…，n，j=0，1，2…，m，且Q（z）≠0，则有

3 定理的证明

3.1 定理1的证明

证明 （Ⅰ）因为a为 f（z）的m阶零点，则在点a的邻域内有 f（z）=（z-a）mg（z）成立。其中g（z）在点a的领域内解析，且g（a）≠0，由于

则

所以

同理可证明定理1（Ⅱ）。

3.2 定理2的证明

所以

根据引理1有

而

所以（2）式可写为

则

同理，

根据引理2，结合引理3有

证毕。

（References）

［1］ 张忠诚，王成.对数留数定理的推广及应用［J］.洛阳大学学报，2006，21（2）:20-22.

［2］ 李明泉.实系数有理分式函数的共轭复极点的留数［J］.安庆师范学院学报:自然科学版，2007，13（4）:96-98.

［3］ 华东师范大学数学系.数学分析［M］.北京:高等教育出版社，2004:108.

［4］ 同济大学应用数学系.高等数学［M］.北京:高等教育出版社，2002:100-101.

［5］ 钟玉泉.复变函数论［M］.北京:高等教育出版社，2004.

（责任编辑:胡燕梅）

Theorem of Residue of Several Functions

HE Ping，TANG Junxiao
（Department of Mathematics，Honghe University，Mengzi 661199，Yunnan，China）

residue；logarithmic residue；conjugate

O174.52

A

1673-0143（2015）05-0401-04

10.16389/j.cnki.cn42-1737/n.2015.05.004

2015-05-15

国家自然科学基金资助项目（11301160）；云南省自然科学基金资助项目（2013FZ116）；红河学院后备人才项目（2014HB0204）；红河学院博士科研项目（14bs18）；红河学院专业带头人科研项目（ZYDT1308）；红河学院科研基金资助项目（XJ14Y05）；红河学院双语课程项目（SYKC1404）

何 萍（1981—），女，副教授，硕士，研究方向：复分析。