拓展例题，举一反三

叶华茂

概率知识在近几年中考中所占分值在10～15分之间，题型丰富，载体形式多样，以考查应用数学知识解决实际问题的能力为主.下面就以课本上的摸球实验为概率模型，介绍几种常见的概率试题，以供同学们参考.

【例题】一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球.求两次都摸到红球的概率.

【解析】画树状图（如图1），由树状图可知共有9种等可能结果，两次都摸出红球的情况数有4种，故P（两次都摸到红球）= .

拓展一：说理判断

一只不透明的袋子中，装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同.

（1） 小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，摸出白球和红球是等可能的，你同意他的说法吗？为什么？

（2） 搅匀后从中一把摸出两个球，如果摸出两个红球，则小明得1分，否则小刚得1分，你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由.

（3） 搅匀后从中任意摸出一个球，要使得摸出的白球概率为 ，应如何添加白球？

【分析】（1） 分别求出摸到白球与摸到红球的概率，比较这两个概率，即可知道哪一种情况的可能性大，概率大则可能性就大；（2） 考查了树状图法或者列表法求概率，解题时要注意此题为不放回实验；（3） 考查了借助方程思想求概率的问题，解题的关键是找到等量关系.

解：（1） 不同意小明的说法，因为摸出白球的概率是 ，摸出红球的概率是 ，因此摸出白球和摸出红球不是等可能的.

（2） 搅匀后从中一把摸出两个球，相当于摸一个球后不放回再摸第二个球，树状图如图2，P（两个球都是红球）= = < ，故这个游戏对双方不公平.

（3） 设应添加x个白球，由题意得 = ，解得x=3，经检验，x=3是原方程的解，所以应添加3个白球.

【点评】此题考查了对概率问题的理解，还考查了用列表法或树状图法求概率，同时涉及方程思想的应用.解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.

拓展二：修改规则

一只不透明的布袋里装有3个白球，这3个球分别标有数字1、2、3，这些球除数字以外其他都相同.小聪和小明玩摸球游戏，游戏规则如下：先由小聪随机摸出一个球，记下球的数字后放回，搅匀后再由小明随机摸出一个球，记下球的数字.若数字之和为偶数，则小聪胜，否则小明胜.请你利用画树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平.若公平，请说明理由；若不公平，请你对本游戏设计一个对双方都公平的游戏规则.

【分析】依据题意画出树状图或列表，然后分别求出两种情况发生的概率，相等则公平，否则就不公平.修改游戏规则，关键要使游戏双方取胜的机会相等，即双方取胜的概率相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等，此题答案不唯一.

解：这个游戏规则对双方不公平.

列表如下：

由表格可知，共有9种等可能的结果，其中和为偶数有5种，和为奇数有4种.则P（小聪胜）= ，P（小明胜）= ，所以这个游戏规则对双方不公平.

设计的游戏规则不唯一. 例如：增加一个标有数字5的球，两人同时摸出一个球，记下球的数字，若数字之和为偶数，则小聪胜，否则小明胜.

【点评】本题是一道策略开放题.试题一改传统的命题方式，注重将基础知识与应用相结合，加大了解决问题能力的考查力度，体现了“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆”.

拓展三：设计方案

一只不透明的袋子中，装有大小和外形都相同的6个小球，球上面依次标有数字1、2、3、4、5、6.

（1） 搅匀后从中任意摸出一个球，摸出球上数字为奇数的概率是多少？

（2） 请你用这个装有小球的袋子设计一个摸球游戏（各球上标有的数字不变），使搅匀后从中任意摸出一个球，摸出球的数字的概率为 ，并说明你的设计理由.

【分析】（1） 先求出奇数数字在整个袋中数字所占的份数，再根据概率的求法可知.

（2） 由摸出球的数字的概率为 ，可以自由设计，具有开放性.

解：（1） 搅匀后从中任意摸出一个球，摸出球的数字为1，2，3，4，5，6的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中球上数字为奇数1，3，5有3种结果，故P（摸出球上数字为奇数）= .

（2） 搅匀后从中任意摸出一个球，摸出球的数字不大于4的情况有4种，则P（摸出球的数字不大于4）= .（方案较多，不唯一）

【点评】本题考查概率的求法，也是一道开放性问题，又是数学知识应用的方案设计问题，有利于数学思维能力和思维品质的培养.

拓展四：迁移方法

在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：

（1） 请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________.

（2） 假如你去摸一次，你摸到白球的概率是________，摸到黑球的概率是________.

（3） 试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只.

（4） 解决了上面的问题，小明同学猛然醒悟，过去一个悬而未决的问题有办法了.这个问题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数（可以借助其他工具及用品）？请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法.

【分析】先根据表中的数据，估计出摸到白球的频率，利用摸到白球的频率即可求出摸到白球的概率，即可求出口袋中白颜色的球有多少只.

解：（1） 频率具有稳定性. 观察表格得摸到白球的频率将会接近0.6.（2） 摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率是1-0.6=0.4.（3） 20×0.6=12，20×0.4=8，故黑球8个，白球12个.（4） ①添加：向口袋中添加一定数目的黑球，并充分搅匀；②实验：进行大数次的摸球实验（有放回），记录摸到黑球和白球的次数，分别计算频率，由频率估计概率；③估算： =球的总个数，球的总个数×摸到白球的概率=白球的个数.

【点评】本题取材于摸球实验，蕴涵着研究性学习的思想方法.研究性学习是一种崭新的学习方式，在解题中需要关注遇到的相关信息，并做研究，是知识考查新趋势.

拓展五：交汇知识

在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y，则点P（x，y）落在直线y=-x+5上的概率是________.

【分析】考查列表法与树状图法.首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与数字x、y满足y=-x+5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.

解：列表得：

∵共有16种等可能结果，数字x、y满足y=-x+5的有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），

∴数字x、y满足y=-x+5的概率为： .

故答案为： .

【点评】试题形式新颖，富有个性，集点的坐标、一次函数与概率知识于一体，多方位、多角度地考查知识的掌握与理解，体现了数学知识点之间的紧密联系，有利于数学思维能力的培养.

（作者单位：江苏省宝应县实验初级中学）