巧用抛物线的对称性

侯海静

抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）是轴对称图形，对称轴是平行y轴的直线，利用其对称性特点寻求解题途径，往往会出现意想不到的效果.

（1） 抛物线y=a（x-h）2+k的对称轴为：直线x=h；

（2） 若抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），则对称轴为：直线x= ；

（3） 若抛物线经过点（m，p），（n，p），则对称轴为：直线x= .

一、 在表格中寻找对称点巧用抛物线的对称性

例1 （2014·山东枣庄）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的x、y的部分对应值如下表：

则该二次函数图像的对称轴为（ ）.

A. y轴 B. 直线x=

C. 直线x=2 D. 直线x=

【分析】依据表格发现，当x=1和x=2时的函数值相等，所以点（1，-1）和点（2，-1）是抛物线上的两个对称点，从而可求出对称轴.

解：∵x=1和2时的函数值都是-1，

∴对称轴为直线x= ，即x= .

因此选D.

【反思】抛物线是轴对称图形，所以在用描点法画函数图像时，在列表过程中，往往依据其对称性来选取一些适当的值.同样在分析二次函数对应的表格时，首先要观察其中是否有对称点，这样可以让解题变得更简单.

二、 在图像中寻找对称点巧用抛物线的对称性

例2 抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图1所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（ ）.

A. ，0 B. （1，0）

C. （2，0） D. （3，0）

【分析一】因为解析式中只有一个待定系数a，所以由图像上的一个已知点（-3，0）代入即可确定解析式，从而求出交点坐标.

解一：将（-3，0）代入y=ax2+2ax+a2+2中，得9a-6a+a2+2=0，解得a=-1或a=-2.

当a=-1时，y=-x2-2x+3=-（x+3）（x-1），与x轴交点的坐标是（-3， 0）、（1，0）；

当a=-2时，y=-2x2-4x+6=-2（x+3）（x-1），与x轴交点的坐标是（-3， 0）、（1，0）.

因此抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（1，0）.

【分析二】由图像知抛物线与x轴的一个交点为（-3，0），由于抛物线与x轴的两个交点是对称点，因此要求抛物线与x轴的另一个交点，只要能确定对称轴即可.

解二：因为y=ax2+2ax+a2+2，配方得y=a（x+1）2+a2-a+2， 所以对称轴为x=-1，得另一交点为（1，0）.

【反思】显然解法二要比解法一简单得多，解法二就是抓住抛物线的对称性，让问题变得清晰，让解法变得简单.

例3 （2014·江苏扬州）如图2，抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a-2b+c的值为________.

【分析】根据题意可确定抛物线的对称轴，其中点P是抛物线与x轴的一个交点，结合图像能确定另一个交点的坐标，而这个点恰好是代数式4a-2b+c所必需的x=-2的值.

解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q.

∵抛物线的对称轴过点（1，0），抛物线与x轴的一个交点是P（4，0），

∴抛物线与x轴的另一个交点Q（-2，0）.

把（-2，0）代入解析式得：0=4a-2b+c，

∴4a-2b+c=0.

故答案为：0.

【反思】本题考查了抛物线的对称性，知道抛物线与x轴的一个交点和对称轴，我们就能够表示出抛物线与x轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键.

三、 借助特殊点位置关系巧用抛物线的对称性

例4 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点 A（-2，7），B（8，7），C（5，-5），则此抛物线上纵坐标为-5的另一个点D的坐标是________.

【分析】由A（-2，7），B（8，7）两点的纵坐标相同，知A，B两点是抛物线上的对称点，可求得对称轴.又因为D点与C点的纵坐标相同，所以C，D两点也是抛物线上的对称点，从而解得答案.

解：因为A（-2，7）、B（8，7）两点的纵坐标相同，

所以A、B两点是抛物线上的对称点，对称轴为直线x= ，即直线x=3.

又因为C、D两点的纵坐标相同，所以C、D两点也是抛物线上的对称点.

设D点坐标为D（m，-5），得3= ，所以m=1.因此D的坐标是（1，-5）.

【反思】常规解法是根据三点坐标用待定系数法设函数关系式，即建立三元一次方程组，再解方程组，从而得到函数关系式，然后将y=-5代入，即可求得D点坐标，显然解题过程较复杂.给出的解法巧妙地两次运用抛物线的对称性，极大地降低了运算难度.同学们要养成细心审题的好习惯，理解题意，寻找更好、更巧的解题方法.

四、 数形结合，画出图像巧用抛物线的对称性

例5 （2014·台湾）已知a、h、k为三数，且二次函数y=a（x-h）2+k在坐标平面上的图像通过（0，5）、（10，8）两点.若a<0，0

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7

【分析】先画出抛物线的大致图像，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于抛物线过（0，5）、（10，8）两点.若a<0，010-h，然后解不等式进行判断.

解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，

而（0，5）、（10，8）两点在抛物线上，

∴h-0>10-h，解得h>5.

故选D.

【反思】依据题意画出函数图像是解题的关键，数形结合，再借助抛物线的对称性能让问题得到巧妙解决.

五、 借助二次函数图表点的对称性巧解不等式

例6 （2014·江苏南京）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：

则当y<5时，x的取值范围是________.

【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=4时，y=5，然后写出y<5时x的取值范围即可.

解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，所以当x=4时，y=5.

所以，当y<5时，x的取值范围为0

【反思】本题考查了二次函数与不等式的相互关系，借助图表利用二次函数图像的对称性，得到y=5时的另一个x的值是解题的关键.

六、 解决实际问题过程中巧用抛物线的对称性

例7 某市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，

4，5，6，7，8）.已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如图4所示），则6楼房子的价格为________

元/平方米.

【分析】根据抛物线的对称性，x=2和6时的函数值是相等的.

解：观察图像，抛物线的对称轴是直线x=4，所以当x=2和x=6时，函数值相等，即6楼房子的价格与2楼房子的价格相等，为2 080元/平方米.所以本题应填2 080.

【反思】仔细阅读图像，在图像上获取有用信息是解题的关键.

例8 （2012·山东济南）如图5，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需________秒.

【分析】由条件当行驶到10秒和26秒时拱梁的高度相同，我们要想到此时这两个位置的点关于对称轴对称.

解：如图6，设在10秒时到达A点位置，在26秒时到达B点位置.

∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，

∴A，B关于对称轴对称.

又∵从A到B需要26-10=16（秒），

∴从A到D需要8秒，

又∵O到D需要10+8=18（秒），

∴从O到C需要2×18=36（秒）.

即小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需36秒.

【反思】与二次函数有关的实际问题中，构建二次函数模型，并利用二次函数的性质，特别是借助图像，巧用对称性常常让问题很顺利地得以解决.

（作者单位：江苏省泗阳县实验初级中学）