在动手操作中经历“数学化”

郭由湘

“平行四边形的面积"是在学生掌握了长方形面积的计算和认识了平行四边形的基本特性的基础上的教学内容。在我区小学数学“同课异构”展示活动中，彭小红老师展示的“平行四边形的面积”课堂教学非常精彩，让学生在动手操作中经历“数学化”的过程。下面摘取其中几个精彩片段与同仁们分享。

【片段一】创设情境，激发“探”欲

师（导入）：在动物村里住着两只小兔，一只小白兔，一只小黑兔。小白兔住在村东头，它的菜地却在村西头；小黑兔住在村西头，它的菜地却在村东头，它们都觉得很不方便。于是它们商量把地换一下。可是小白兔的菜地是长方形的，小黑兔的菜地是平行四边形的，同学们，你们说这样交换公平吗？谁能帮帮它们吗？

生1：只要算出这两块地的面积，比比就知道了。

师：我们已经学过哪些图形的面积计算公式？

生2：学了长方形的面积计算公式，长方形的面积=长×高。

师：那么怎么求出平行四边形的面积呢？这就是我们今天要探究的问题。

……

【赏析】彭老师用学生喜欢的小故事导入，让学生产生想帮助小兔的强烈愿望，进而激发他们希望尽快找到平行四边形面积的计算方法，这样就充分调动了学生主动探索的积极性，为下面的探究活动做好了铺垫。

【片段二】借助实验，积极探究

师：请大家尝试算算下列平行四边形（底为6，邻边为5，高为4）的面积，并说明算法。

（学生分组活动：计算，讨论，交流结果，教师巡视。）

生1：我算得平行四边形面积为6×5=30。（邻边×邻边）

生2：我的算法是：底×高=6×4=24。

师： 好。出现了两种不同的算法，到底哪种算法合理呢？下面大家一起来探究平行四边形的面积和谁有关系？（拿出学具）

学生活动：拉一个长方形框架，慢慢变成平行四边形， 最后拉平。

师：在慢慢拉的过程中，周长变了吗？

生3：周长没有变。

师：图形的面积变了吗？

生4：面积变了。

师：面积是怎么变化的？

生5：面积逐渐变小，最后会变成0。

生6：这也证明了刚才同学的算法（邻边×邻边）是错误的。因为拉动框架时，四条边都没有变化，但面积却变小了。

师：那为什么面积变小了？

生7：平行四边形的高在逐渐变小。

师：这个实验说明平行四边形面积与高有关。

投影（动画）：平行四边形的一组对边逐渐延长，高不变。

师：大家看到什么变了？什么没变？

生8：平行四边形变“长”了。

生9：平行四边形的底变长了，周长变长了。

师：很好，那它的面积有没有变化？

生10：面积逐渐增大。

师：是什么原因使面积变大的？

生11：由于底变长使平行四边形的面积变大。

师：你真棒！说明平行四边形的面积与它的底有关。综合以上探究，说明平行四边形的面积与它的底和高有关。

【赏析】首先让学生尝试求平行四边形的面积，由此产生两种结果，引发学生思维冲突。接着，通过拉伸平行四边形框，让学生进一步感悟平行四边形的特性，从而自主发现平行四边形的面积与它的底和高有关，这样既训练了学生的思维能力，又培养了学生的合情推理能力。

【片段三】观察比较，引发猜想

师：在学习推导长方形的面积公式时，我们最初使用了数方格的方法。今天学习计算平行四边形的面积，能不能也用这个方法？

学生活动：请仔细观察课本中方格纸上的两个图形，数一数，把表格填完整。（1小格代表1平方米，不满1格的都按半格计算。）

生1：长方形的面积是24平方米。

师：请说说长方形的面积是怎样数出来的？

生2：先横着数有6格，再竖着数有4格，6×4=24格，是24平方米。

师：平行四边形的面积你们是怎样数出的？

生3：先数有20个整格是20平方米；再数有8个半格，把每2个半格合成一个整格是4平方米，共有24平方米。

生4：先数一行，整格的有5个。然后再把左边不满一格的移到右边的不满一格刚好拼成一个整格，每行都有6个整格。共有4行，6×4=24个整格，也就是24平方米。

如图所示：

师：你真聪明！想法很独特，有创意，把不完整的格拼成完整的格，体现了“割补”的数学思想方法。大家鼓励鼓励他！

师：同桌交流一下填法，谁愿意汇报一下你的成果？

生5：平行四边形的底是6米，高是4米，面积是24平方米；长方形的长是6米，宽是4米，面积是24平方米。

师：观察表格你发现了什么？

生6：我发现平行四边形的底和长方形的长相等，平行四边形的高和长方形的宽相等，平行四边形的面积和长方形的面积也相等。

【赏析】用数方格的方法得到图形的面积，是学生熟悉的、直观计量面积的方法。同时呈现平行四边形和长方形两个图形，暗示了它们之间存在某种联系，由数据上的相关性引发出学生大胆的猜想：“平行四边形的面积也应该等于底×高。”更加精彩处在于：有学生在数方格时指出，每两个半格可以拼成一个整格，即每一行左边的半格“移到”和最右边的半格可以拼成一个整格。这就是“割补”法的原型，为下一步剪拼图形提供理论依据和思考方法。

【片段四】动手剪拼，感悟“转化”

师：看来，数方格的方法可以得到这个平行四边形的面积，现在我想得到一个很大的平行四边形花坛的面积，你认为数方格的方法怎么样？

生1：不合适。

师：那能不能找到一种方法，适用于计算所有平行四边形的面积呢？

课件演示：我们把等底等高的平行四边形和长方形两个图形平移、重叠，你们发现了什么？

生2：两个图形不能完全重合，当底完全重合时，刚好相差一个直角三角形。

生3：设想把多出的三角形剪下来向左平移，如果能刚好拼接成长方形，那么原来的平行四边形和长方形的面积一样大。

生4：由此得到启示，我们可以把右边的三角形剪下来，移到左边就拼成一个长方形。这样，平行四边形就变成了长方形。

师：对，平行四边形转化成长方形，新知识变成旧知识，多么好的方法呀！这里用到了“转化”的数学思想。

生5：剪歪了怎么办？

师：问得好！谁来帮助？

生6：可以先用尺子画一条高，再去剪。

（学生活动：用准备好的学具（平行四边形纸板、剪刀），分小组合作剪一剪、拼一拼图形，教师巡视，各组代表上台汇报展示。）

组1：我们组把平行四边形沿高剪下一个直角三角形，向右平移，能拼成一个长方形。（学生把拼接后的长方形与原来的平行四边形一上一下贴在黑板上，使长方形的长与平行四边形的底一样长。）

组2：我们组把平行四边形沿高剪下一个直角梯形，向左平移，也能拼成一个长方形。（学生把拼接后的长方形与原来同样的平行四边形纸板，一左一右贴在黑板上，使长方形的宽就是平行四边形的高。）

（板书：沿高剪—平移—拼接）

师：其他同学还有什么补充吗？

生7：只要沿着任意一条高剪下，都可以拼成一个长方形，这样平行四边形就转化成了长方形。

师：同学们，刚才我们把不会求的平行四边形的面积，通过剪拼，变成了会求的长方形的面积，其实这种方法是数学上的一种重要的思想方法——转化。转化就是把不会求的转化成会求的，把未知的转化成已知的。

师：为什么要沿着高剪呢？

生8：这样沿着高剪，才能把平行四边形拼成一个长方形。

师：很好！可我有点不明白，把它拼成了长方形，这个长方形的面积还是原来平行四边形的面积吗？

……

【赏析】教师让学生在画、剪、拼等一系列实验活动中理解和掌握平行四边形和转化后的长方形之间的联系， 通过合作、观察、思考、交流等活动验证了“平行四边形面积=底×高”的正确性。在探索活动中，留给学生充分探索、交流的空间，使学生学会与他人合作，同时也使学生学到了怎样由已知探索未知的思维方式与方法，培养他们主动探索的精神，让学生在活动中学习，在活动中发展。

总之，本课的教学主线非常清晰，内容丰富，构思巧妙。教学过程由浅入深，由具体到抽象，由感性到理性。引导学生通过数方格、拉方框、剪拼图等形式，步步深入，紧扣主题，让学生亲身经历数学知识的“再发现”“再创造”过程，引起学生浓厚的学习兴趣，促使他们积极主动地参与探究知识形成过程。学生在观察中理解，在操作中感知，沟通了知识的内涵，领悟了学习方法，转变学习方式，极大地提高了教学效益。

教学中，教师让学生“做中学”，经历“数学化”的过程，使学生“学会思考”，感悟“数学思想”。让学生学会数学地思考，是数学课程的重要目标之一。教师借助数方格的方法，学生由长方形面积公式猜想平行四边形的面积计算公式；在数平行四边形的面积时发现同一行的两个半格可以“剪拼”成一个整格，学生学会了“割补” 方法，通过“剪拼”，平行四边形转化成了长方形，学生感悟了“转化”的数学思想。这些教学活动的安排，不仅吸引学生充分参与数学学习过程，自觉调动已有的知识经验和心智技能，从而促使数学学习活动有效地展开并不断深入，更重要的是让学生学会数学思考，学会用数学方法解决现实中的问题。（作者单位：江西省吉安市青原区教研室）

责任编辑 周瑜芽

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