向量优化中（C，ε）-真解的一个非线性标量化特征

夏远梅，林安，赵克全

（重庆师范大学数学学院，重庆401331）

向量优化中（C，ε）-真解的一个非线性标量化特征

夏远梅，林安，赵克全

（重庆师范大学数学学院，重庆401331）

利用一类Minkowski型非线性标量化泛函及相应的分离定理给出了向量优化问题（C，ε）-真解的一个新的非线性标量化特征.此外，给出了一些例子对主要结果进行了解释.

向量优化；（C，ε）-真解；非线性标量化

1　引言

近年来，近似解在向量优化领域中扮演了十分重要的作用.到目前为止，一些学者已经通过不同方式，借助不同工具提出了向量优化问题的各种不同类型的近似解概念.特别地，文献［1-2］利用co-radiant集引入了ε-有效解，这类新的近似有效解概念包含了许多近似解作为其特例.文献［3］通过co-radiant集提出了一类新的近似真有效解概念-ε-真有效解，并获得了这类近似真有效性的一些性质.在文献［3］的基础上，文献［4］提出了一类新的（C，ε）-真有效解概念，指出在一定条件下这两类近似真有效解概念是等价的，并给出了（C，ε）-真有效解的一些线性标量化特征.此外，利用一些非线性标量化泛函及其相应的分离定理，一些学者也已经研究了向量优化问题各类解的非线性标量化特征（见文献［5-8］）.

受文献［3-4，6］中研究工作的启发，本文利用Minkowski型非线性标量化泛函给出了向量优化问题（C，ε）-真解的一个新特征并给出了一些具体例子对主要结果进行了解释.

2　预备知识

假定X是实线性空间，Y是实Hausdorff拓扑线性空间，Rn是n维欧几里得空间.对于非空集合A⊂Y，用int A，cl A，bd A和YA分别表示A的拓扑内部、拓扑闭包、拓扑边界和补集.A的生成锥定义为如果A满足对任意的d∈A和α＞1，αd∈A，则称A是co-radiant集.此外，如果A∩（-A）⊂｛0｝，则称A是点的；如果int A≠∅，则称A是solid的；如果A≠∅且A≠Y，则称A是真的.设C⊂Y是真点solid co-radiant集.定义

引理2.1［12］设C是solid凸集.则

（i）C（0）+C（ε）⊂C（ε），∀ε≥0；

（ii）C（0）是solid凸锥；

（iii）int（cl C（ε））=int C（ε），∀ε＞0.

本文考虑下面的向量优化问题：

其中，f：X→Y，S⊂X且S≠∅.基于真点锥D⊂Y定义的Y中的偏序“≤”为：

定义2.1［12］设ε≥0.可行点称为问题（VP）的弱C（ε）-有效解，如果

问题（VP）的弱C（ε）-有效解全体记为WAE（f，C，ε）.

定义2.2［34］设ε≥0.可行点称为问题（VP）的（C，ε）-真解，如果

问题（VP）的（C，ε）-真解全体记为PAE（f，C，ε）.

本文将用到文献［6］中提出的Minkowski型非线性标量化泛函φq，G：Y→R∪｛±∞｝：φq，G（y）=inf｛s∈R|y∈sq-G｝，其中∅≠G⊂Y，y∈Y且q∈Y.约定inf∅=+∞.根据文献［3］中的引理4.2，下面的分离定理是显然的.

引理2.2设C是真闭solid凸集且q∈int C.则对任意ε＞0，φq，C（ε）（y）连续且满足：

3　（C，ε）-真解的一个非线性标量化特征

本节首先给出一些例子表明文献［3］中建立的（C，ε）-真解的非线性标量化定理的逆不一定成立.进而提出问题（VP）的（C，ε）-真解的两个新的非线性标量化特征.

文献［3］中建立了下面的非线性标量化定理.

定理3.1设C是真闭solid凸集，0∉C，q∈int C且ε＞0.则

下面建立向量优化问题（VP）的（C，ε）-真解的两个新的非线性标量化特征.

定理3.2设C是真solid凸集且q∈int C，ε≥0，β=inf｛c∈R+|cq∈cl C（ε）｝.则

定理3.3设C是真solid凸集且q∈int C，ε≥0，β=inf｛c∈R+|cq∈cl C（ε）｝.如果C（0）是开集，则

［1］Gutiérrez C，Jiménez B，Novo V.A unified approach and optimality conditions for approximate solutions of vector optimization problems［J］.SIAM Journal on Optimization，2006，17（3）：688-710.

［2］Gutiérrez C，Jiménez B，Novo V.On approximate efficiency in multiobjective programming［J］.Mathematical Methods of Operations Research，2006，64（1）：165-185.

［3］Gao Ying，Yang Xinmin，Teo K L.Optimality conditions for approximate solutions of vector optimization problems［J］.Journal of Industrial and Management Optimization，2011，7（2）：483-496.

［4］Gutiérrez C，Huerga L，Novo V.Scalarization and saddle points of approximate proper solutions in nearly subconvexlike vector optimization problems［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2012，389（2）：1046-1058.

［5］Zaffaroni A.Degrees of efficiency and degrees of minimality［J］.SIAM Journal on Control and Optimization，2003，42（3）：1071-1086.

［6］Göpfert A，Tammer C，Riahi H，Zălinescu C.Variational Methods in Partially Ordered Spaces［M］.New York：Springer-verlag，2003.

［7］Tammer C，Zălinescu C.Lipschitz properties of the scalarization function and applications［J］.Optimization，2010，59（2）：305-319.

［8］Flores-Bazán F，Hernández E.A unified vector optimization problem：complete scalarizations and applications［J］.Optimization，2011，60（12）：1399-1419.

A nonlinear scalarization characterization of（C，ε）-proper solutions in vector optimization

Xia Yuanmei，Lin An，Zhao Kequan

（College of Mathematics Science，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China）

In this paper，a new nonlinear scalarization characterization of（C，ε）-proper solutions is obtained by means of a kind of Minkowski-type nonlinear scalarization functionals and the corresponding separation theorem for vector optimization problems.Some examples are given to illustrate the main results.

vector optimization，（C，ε）-proper solutions，nonlinear scalarization

O221.6

A

1008-5513（2015）05-0503-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.010

2014-12-08.

国家自然科学基金（11301574，11271391）；第二批重庆市高等学校青年骨干教师资助计划.

夏远梅（1990-），硕士生，研究方向：向量优化理论及应用.

2010 MSC:90C29，90C30，90C46