工程波动理论浅析

周俊宏

摘要：弹性动力学主要研究弹性物体对动力荷载的响应。加载过程使物体产生显著的加速度，且有加速度所引起的惯性力对物体的变形和运动有着明显地变化。弹性动力学的主要任务就是从连续介质最基本的定律出发，建立描述物体运动的支配方程，并由此求解物体的动力响应。弹性动力学是属于连续介质力学的一个组成部分，所以连续性假设仍然是弹性动力学的分析基础。

关键词：弹性动力学；波动理论

前言

工程波动理论与方法精论述了有关工程波动理论与研究方法的问题。主要内容包括[1]：弹性波动理论的一些基本概念；弹性波动定解问题，特别是近场波动问题的求解方法；波动数值模拟的边界元和时域显式有限元方法；求解近场非线性波动问题的时域显式整体分析方法及其在混凝土高坝结构抗震分析中的应用[2]。

一、简要叙述弹性动力学问题的提法

弹性动力学主要研究弹性物体对动力荷载的响应。加载过程使物体产生显著的加速度，且有加速度所引起的惯性力对物体的变形和运动有着明显地变化。弹性动力学的主要任务就是从连续介质最基本的定律出发，建立描述物体运动的支配方程，并由此求解物体的动力响应。

1.运动方程的导出

设体积为V、质量密度为ρ的物体内单位质量受到的体力（不包括惯性力）为fi，外表面S上单位面积受到的面力为pi，质点的位移为ui，则考虑惯性力在内的力平衡条件为：

（1）

考虑到外法相为nj的单位外表面受到的面力pi与应力之间的关系：

（2）

并运用Gauss公式可得：

（3）

于是式（1）变为：

（4）

上式对于任意的体积V都成立，因此有：

（5）

式（5）即为物体的运动方程，与静力平衡方程相比多了惯性力这一项。

2.弹性动力学问题的提法

对于体积为V，质量密度为ρ，表面为S的均匀各向同性线弹性体的动力问题的控制方程为：

运动方程： （6）

几何方程： （7）

物理方程： （8）

其中应力和应变均为对称张量，各自有6个独立分量，再加上3个位移分量ui，一共15个作为空间变量xi和时间变量t的未知函数。控制方程为15个偏微分方程构成的偏微分方程组。在这里我们假定t≥t0（t0是初始时间），整个物体体积上的体力是已知的。在所有三类问题中，由于考虑用位移法求解，所有我们的目的都是要确定位移场，使其在整个物体上对于t≥t0，满足运动方程，并满足初始条件：

（9）

其中是预先给定的函数。

三类问题的区别，在于满足不同的边界条件。

第一类问题（位移边值问题）：

（10）

第二类问题（应力边值问题）：

（11）

第三类问题（混合边值问题）：

（12）

这里，且，都是预先给定的函数。在第二、三类问题中预先在整个边界或部分边界上给出，在这些边界上，应力边界条件：

（13）

必须被满足。通过本构关系和几何方程可以将应力边界条件转化为位移边界条件。

综上所述，弹性动力学问题的提法就是在给定的初始条件和边界条件下求解运动方程。

二、用位移和位移势表示的运动方程

1.用位移表示的运动方程

在无限小应变下线性化的运动方程

（14）

式中的体力fi一般是预想给定的，称为源函数。σij和ui是未知的待求场量。可以通过用本构方程将应力分量用应变分量表示，再通过几何方程将应变分量用位移表示。

由本構方程

（15）

代入式（1），得

（16）

注意到，及有

（17）

将上式写成矢量的形式

（18）

其中▽为矢性的Hamilton微分算子，▽2为Laplace算子，即

（19）

（20）

式（18）可以化为：

（21）

这是运动方程的另外一种很有用的形式。

2.矢量场的Helmholtz分解

首先给出矢量场的Helmholtz分解定理

若F（x）是单值、分段连续。有界的矢量场，则该矢量场恒可作如下分解

，且 （22）

其中f（x）是个标量场，G（x）是个矢量场，分别成为F（x）的标量势和矢量势。

这个定理的证明归结为对所给定的矢量场F（x），构造满足式（22）的势函数f（x）和G（x）。

如果F（x）定义在有限的闭区域V上，则按照下述的方法构造两个势函数恒满足式（22）。

（23）

在（11）中因子是无界域上Poisson方程的Green函数。由数学物理方程中的Green函数法可知，由式（11）定义的W（x）在F（x）连续的区域V内各点满足矢量形式的Poisson方程，而在区域V以外的点满足矢量形式的Laplace方程，即

（24）

利用作用于矢量函数的性质，则在V内有：

（25）

若按式（10）定义f（x）和G（x），显然这样定义G满足。于是式（8）的分解在V内成立。如果将V取的足够大，则可知该定理在任何有限的空间内部均成立。

参考文献：

[1]马宏伟.吴斌弹性动力学及其数值解法[M]北京：中国建材工业出版社，2000.

[2]伊文W.层状介质中的弹性波[M]刘光鼎，译北京：科学出版社，1996.