有限元及其在现代机械工程中的运用

孙建民　徐冰晶

【摘要】有限元法最早是在变分原理的基础上发展起来的，是一种在工程科学中经常使用的高效率的计算方法，能够成功解决很多复杂的计算问题和设计难题，如今已经成为现代工程设计以及工程分析的重要工具和手段。随着计算机技术的应用与发展，有限元法获得了更大的发展空间，成为CAE技术的一种，具有很大的优越性。

【关键词】有限元法；有限元分析软件；发展与应用

随着市场竞争的日益激烈，为了取得竞争中的优势，很多企业都迫切想开发出成本低廉，性能优良的产品，但以往的产品设计都是由专家根据自身经验进行设计，制造出样机后，通过反复试验，不断优化产品，最终才能投入生产，这样的过程十分漫长，并且会耗费大量的人力、物力、财力。而有限元法可以省略或减少样机的制造和试验的过程，降低产品的生产制造成本，为企业获取更大的利润。

1.有限元法的应用目的及特点

1.1有限元法的应用目的

计算机科学的发展带来了一场革命，人们的思想观念悄然转变，工作方式与生活方式也与之前大不相同。在工程科学中，以虚拟样机为代表的计算机辅助工程（CAE）广泛应用在工程分析与设计中，可以大大缩短产品的开发设计与试验过程，由于产品成本、产品从研制到推向市场所需的时间都与产品设计有关，因此，在工程科学中的运用可以大大降低生产成本，为企业创造更多的效益。此外，CAE法还可以发现产品制造中的潜在问题，有助于提高产品性能。CAE法包括有限元法（FEM）、边界元法（BEM）、有限差分法（BEM）等，其中，有限元法是使用最为广泛的一种，也是企业在市场竞争中制胜的一个重要工具，因此，在生产中使用有限元分析法可以适应市场对产品瞬息万变的要求，有助于提高企业的核心竞争力。

1.2有限元法的特点

1.2.1有限元法的优点。有限元法最初是在变分原理的基础上发展起来的，因此在拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中得到了广泛应用，之后，一些学者在研究流体力学时，使用最小二乘法以及加权余数法等也获得了有限元方程，从而使有限元法的应用范围得以扩展，能够应用到任何微分方程描述的各种物理场中。有限元法要优于常规的力学方法，可以对各种各样的复杂几何形状进行模拟，并可以对非均质的工程结构进行分析，求出近似解。有限元软件基本上都具有较好的前处理和后处理技术，解题步骤呈现系统化、标准化的特点，还能够迅速用图形表示计算结果，可以用来对各种复杂材料之间的结构关系、荷载关系以进行分析，并能够对大量的设计方案进行优化。有限元法的每个单元本身都具有各自的插值函数，因此无需适应于整个结构的插值函数，使数学处理过程更加简化。

1.2.2有限元法的缺点。虽然有限元法应用于工程科学中具有很大的优势，但是它依旧存在一些不足之处，包括计算耗时长、消耗资源多、无法很好解决无限求解域问题等。目前最流行的有限元软件是来自NSYS、ADINA、ABAQUS、MSC四个大公司的软件产品，它们大多使用了网格自适应技术，但是这个技术还不成熟，因而在软件的实际应用中，还需要使用者根据自身经验来进行网和密度的选择。利用有限元法对工程问题进行分析可以有效解决问题，但是如果使用者本身没有理解这个工程问题，也就无法为结构模型施加正确的约束和引入正确的边界条件，也就无法构建出合适的结构模型。

2.有限元法的基本原理

使用有限元法进行分析的第一步是“剖分”，也就是对目标区域进行分割，对其进行离散化操作，使目标区域离散成有限个元素的集合。对于杆系结构来讲，离散的单元是每一个杆件，对于连续体来讲，离散的单元是各种形状，进行离散操作时，各個元素的形状不受限制，可以任意选择，一般来讲，二维问题使用三角形单元或者是矩形单元，三维问题使用四面体或者是多面体。单元数量依照所需的计算精度而定，划分的单元越小，描述就越精确，计算量也会相应增大，因此要综合考虑计算精度和计算量等因素，采用适当的网格密度。第二步是进行单元特性分析，就是将分割单元的任意点的未知函数都用这个分割单元中的形状函数以及离散网格点上的函数进行展开，建立一个线性插值函数，也就是进行分片插值。第三步是求解近似变分方程。有限元法将区域离散成有限个单元之后，每个单元的场函数都是只包含有限个带定节点参量的简单场函数，将这些简单场函数集合起来就能够近似地代表整个连续体的场函数。根据能量方程等，建立起有限个待定参量的代数方程组，求解这个离散方程组的解就能够得到有限元法的数值解。

3.有限元法在现代机械工程中的应用

机械产品的生产往往是先制造出样机，随后进行大量的样机试验，在试验中不断优化机械性能，最后再投入生产，由于进行样机试验的成本比较高，而且试验模拟的可靠性要高于计算机模拟试验，因此，有限元法在机械工程中的运用比较少，往往只是对机械产品的关键件、重要件以及特殊零件进行有限元分析。但是，随着时代的变迁以及科技的发展，现代机械产品的制造精度以及性能需要达到更高的水平，因此，有限元法在现代机械工程中的应用范围也在逐步拓展。

在现代机械工程中，静力学分析是有限元法在机械工程中最为常见的利用方式，主要是对二维或三维的机械结构经受荷载后的应力、应变和变形进行分析。由于有限元法具有很强的通用性，因此在机械工程中被广泛用于解决线性以及非线性问题，接触分析以及屈曲分析都处于非线性分析，前者的应用十分常见，主要是对两个结构物体之间发生接触时的接触面状态、法向力等进行分析，是一种状态分析，而后者是用于确定结构开始变得不稳定时的临界载荷和屈曲模态形状，是一种几何分析。模态分析和谐响应分析和瞬态动力学分析都属于动力学的研究范围，前者主要研究结构的固有频率和自振型式等振动特性，而后者主要是研究结构对周期载荷和非周期载荷的动态响应。在现代机械工程中应用有限元法还包括各种有限元模型的构建，例如协调元、混合元、杂交元以及拟协调元等，由于有限元法的应用范围十分广泛，使用效果十分明显，目前已经有很多基于有限元分析的大型系统或者专用程序系统应用到工程设计当中，将有限元法与计算机辅助技术进行结合，有助于进行计算机辅助制造。

4.有限元软件的发展趋势

目前，商业的有限元软件在工程科学中得到了广泛应用，但是进行有限元软件二次开发的人却比较少。这些种类繁多的有限元软件都具有较好的处理能力，但是但是真实性与适应性较差，因此在未来，有限元软件的开发与研究会由单一物理场向多物理场综合模拟以及相互作用模拟的方向发展，会更加注重整机模拟方式，软件对非线性问题的求解能力会有所提升。在未来，有限元软件的分析功能会逐步优化，并会努力与其他综合评估功能等进行结合，不断加强数据转换能力以及设计集成，向与CAD或CAM无缝化集成的方向发展。此外，为了便于软件的二次开发，有限元软件会逐步实现智能化、本地化以及友好化，提高软件的可视化能力和后处理数据输出能力，使软件的功能更为强大。

结语

有限元法一直处于不断的探索与发展过程中，在生产中的应用前景十分广阔。在市场竞争日益激烈的今天，使用有限元法提高企业的设计效率，对设计方案进行修改与优化，可以缩短产品的开发时间，使企业更快地推出新产品，迅速抢占市场。目前，已经有越来越多的企业以及技术人员意识到有限元法在企业生产中的重大作用，认识到有限元法可以创造巨大的生产力，相信在不久的将来，有限元法定能取得更好的发展。

参考文献

[1]高强.有限元法及CAE技术在现代机械工程中的应用[J].机械科学与技术，2003（22）：126-128.

[2]王成煮.现代机械设计——思想与方法[M].上海：上海科学技术文献出版社，1999.