广义部分线性模型基于似然距离的局部影响分析

王越等

1.似然距离

为了对广义部分线性模型作统计推断，假设：对于响应变量Y密度函数的积分，可以關于参数β在积分号下求倒数。可进一步得到响应变量Y关于兴趣参数β的得分函数（β）、观察信息阵-（β）和Fisher信息阵J（β）的表达式。

又l（）在处的Taylor展开可得：

l（）≈l（）+（）（-）+（-）（）（-）

≈2{（）（-）+（-）{-（）}（-）}。从而可得到（）=0，-（）≈J（）。因此似然距离可近似地表示为LDi（β）≈（-）（）（-）

2.曲率

设原模型为M受到扰动变为M（ω）。l（θ）为模型M中随机变量 Y的对数似然函数。模型M（ω）相应的对数似然函数为l（θ/ω）。根据Cook（1986），可取LD（ω）=2[l（）-l（）]

容易得出LD（ω0）=0，并且LD（ω）在ω0处的一阶导数也为0，因此 LD（ω）在ω0附近的变化情况应取决于二阶导数，即曲率。为了定义曲率，我们把方程z=LD（ω）改写为如形式：π：α=，α在ω0处沿k方向（k=1）的影响曲率可表示为C（θ）=-2kk，=△。其中=，为l（θ）关于θ的二阶导数，且以上各量均在 （，ω0）处计值。易见，Ck大的值有较强的局部影响。记kmax为使得Ck达到最大的方向，由于很难判断Cmax为多大才表示模型的扰动影响很大，而kmax的意义比较明确，并且通过散点图（i，（kmax）i）可以很明显的看出影响最大的分量，从而识别出是否从在异常值。

3.扰动模型

②单个解释变量扰动模型：对于广义部分线性模型考虑只有一个解释变量扰动的情形。

假设只扰动矩阵X=（x1，...，xn）T的第t列Xt，即Xt扰动为Xtω=Xt+stω，其中st为Xt的某种模。ω0=（0，...0）T表示模型没有扰动。 [科]