例说“线段图”助解一次函数中行程问题

董秀明

苏教版八上第六章内容为“一次函数”，首次接触“函数”这个比较抽象的概念，很多学生感觉比较吃力，尤其是在本章的后半部分，一次函数的应用中对于用一次函数解决行程问题学生更是觉得吃力。在平常授课的过程中，我总是试图让学生分析问题中的函数关系，读懂图像，但是效果却并不明显。

期末复习期间，我们完成的练习卷上有多道一次函数解决行程问题这样的“难题”，面对学生的错误和“空白”，我也在思索，什么样的方法可以帮助学生更好地理解题意，更好地“得分”呢？经过思考，我觉得小学里学生经常碰到的行程问题，老师们会画线段图帮助学生分析问题中的数量关系。学生现在进入初中，他们已经具备了一定的绘画线段图的能力，我想：我何不尝试画线段图帮助学生来分析问题中函数关系呢？

下面是我在期末复习期间讲评两道典型一次函数行程问题时带着学生一同画线段图，在模拟测试时发现效果挺不错，我忍不住把它们记录下来，以飨读者。

问题一

从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进.已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km.设小明出发xh后，到达离甲地ykm的地方，图中的折线OABCDE表示y与x之间的函数关系.

（1）小明骑车在平路上的速度为km/h；他途中休息了h；

（2）求线段AB、BC所表示的y与x之间的函数关系式；

（3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，那么该地点离甲地多远？

这道题的前两小问学生都比较容易解决，第3小问学生的错误率比较高，尤其是很多同学此小问都是空白，不会做。

试卷批改后，我先“设计”了线段图。

课堂实录

师：同学们，这道题的第3小问很多同学没有做出来，在我找了一些同学面批后发现，大家基本能读懂图像，但是对这一问到底对应着图像上哪一个点或者哪一部分不太理解，所以感觉无从下手。那我们先试着从图像入手解解看。

同学们先观察图像，图像上每一条线段的含义是什么？

生1：OA代表去的时候走在平路，AB代表去的时候走在上坡路，BC代表返回的时候走在下坡路，CD代表返回时走完下坡路后在休息，DE表示返回时走到起点甲地。

师：说得很好。那请问大家，经过途中的同一地点是在哪里呢？

……

学生们大多还是很茫然（不过已经有个别同学看出来了）

我原来的想法是在课堂上把利用函数关系进行求解以及我事先设计的线段图帮助求解的方法都讲解一遍，但基于课堂现状，我打算先从事先设计的线段图入手。

师：我们不妨换一个方法来解解看，请同学们跟着我一起来画一个线段图表示本题的数量关系。

于是我在黑板上带着大家一同画线段图（学生们的线段图确实画得还是比较好的），一边画图一边讲解，最后我们共同完成了我事先“设计”好的线段图。（如下图）

师：现在，大家从线段图上能看出小明两次经过途中的同一地点是在哪里呢？

没有想到，同学们异口同声：“在坡路NP上”。

我请一位同学说理由，谁知同学们七嘴八舌：如果在平路上的话，返回的时间远超过0.15h了。

显然，同学们从线段图上看明白了。

师：我们假设这一地点在坡路NP的点Q，那么请问0.15h为哪一段的时间呢？

我继续请同学来回答。

生2：0.15h为Q到P再从P返回到Q的时间总和。

同学们七嘴八舌地说：正确。

师：那我们如果设PQ长为zkm，你能找到等量关系列出方程吗？

学生们列方程。

生3：m10+m20=0.15，解得m=1

生4：所以该地点（点Q）到甲地的距离为6.5-1=5.5（km）

此题顺利解决，从学生的表情可知，他们几乎都理解了。

下课回到办公室，我仍然在想：解决这一问，我发现学生画线段图也比较熟练，也基本能够根据题意绘画出线段图，线段图显然比函数图像更直观，更容易理解。

问题二

甲、乙两个港口相距72千米，一艘轮船从甲港出发，顺流航行3小时到达乙港，休息1小时后立即返回；一艘快艇在轮船出发2小时后从乙港出发，逆流航行2小时到甲港，并立即返回（掉头时间忽略不计）.已知水流速度是2千米/时，下图表示轮船和快艇距甲港的距离y（千米）与轮船出发时间x（小时）之间的函数关系式，结合图象解答下列问题：

（顺流速度=船在静水中速度+水流速度；逆流速度=船在静水中速度﹣水流速度）

（1）轮船在静水中的速度是千米/时；快艇在静水中的速度是千米/时；

（2）求快艇返回时的解析式，写出自变量的取值范围；

（3）快艇出发多长时间，轮船和快艇在返回途中相距12千米？（直接写出结果）

本题解析

第3小问虽然是让学生直接写出结果，但是很多学生在考试的时候没有做出来。讲评试卷的时候，我同样地要求学生和我一同绘画线段图。（如下图）

回顾反思

作为一名中学数学教师，我经常会想，学生为什么会在某些题目上高零分率，其间一定有他们不能理解题目的原因，我能为他们做什么？让他们不断地去练习，还是去掌握方法，在这两个问题中，我把学生比较熟悉的線段图引过来，帮助他们在函数问题中加以应用，线段图让问题中的数量关系更直观，更形象，也更具体，学生更容易接受和理解。

但是我也在想，函数作为解决这类问题的一种工具，教学时候不能完全脱离了函数，例如在讲解问题一的时候，我在后续的数学课上又帮助学生去读懂图像，分析函数关系，不过可喜的是，学生对图像中体现出来的函数关系的理解更清晰了。