被动式Stewart隔冲平台刚度特性研究*

张春辉， 汪　玉， 温肇东， 赵建华

（1.海军工程大学动力工程学院 武汉，430033）（2.海军装备研究院 北京，100161）



被动式Stewart隔冲平台刚度特性研究*

张春辉1， 汪玉2， 温肇东2， 赵建华1

（1.海军工程大学动力工程学院 武汉，430033）（2.海军装备研究院 北京，100161）

建立了Stewart隔冲平台的运动微分方程，分析了隔冲平台三个方向的动态刚度特性，讨论了刚度大小对平台抗冲击性能的影响，对隔冲平台进行了落锤式冲击试验，并与仿真结果进行了对比。研究结果表明：被动式Stewart隔冲平台的三向动态刚度近似呈线性；隔冲平台的横向冲击隔离率大于纵向冲击隔离率，纵向冲击隔离率大于垂向冲击隔离率；试验所得的冲击隔离率达到86.39％以上。研究成果可为Stewart隔冲平台在船舶设备抗冲击中的实际应用提供理论和试验依据。

Stewart平台；冲击隔离；刚度特性；冲击试验

引 言

船舶上的导航设备是通过测量载体相对于惯性空间的角运动和线运动参数，计算后实施船舶导航任务的装置，具有定位精度高、自主性强、提供航行参数多等优点，是保证船舶准确航行的重要设备［1］。导航设备的静动态力学性能直接影响着惯性仪表的工作精度，进而影响船舶的导航精度。船舶在水中航行时受到的各个方向的冲击作用（如水下非接触爆炸或接触爆炸产生的多角度冲击）是影响船舶导航设备静动态力学性能的主要因素之一［2］。因此，研究高精度导航组件的抗冲击技术，设计出满足导航精度的抗冲击隔离系统，对于增强导航组件的抗冲击性能、提高导航精度和寿命具有重要意义。

六自由度Stewart平台是一个包含多环闭链结构的复杂多体系统，具有刚度高、承载能力强、动态特性好等优点［3］，其在飞行器敏感设备的隔振［4］、并联机床［5］、精密定位［6-7］、主动隔振领域［8］的应用比较成熟，但在多自由度抗冲击方面的研究较少。冲击响应属于瞬态运动，主动和半主动控制需要一定的反应时间和外部能源［9］，目前尚不能较好地应用到冲击隔离中，而被动隔冲是当前最普遍使用的冲击隔离技术，其结构简单，造价低，易于维护，只要选择合理的弹性元件和阻尼元件就可以达到较好的冲击隔离效果［10］。笔者以被动式六自由度Stewart隔冲平台为研究对象，运用矩阵传递法建立了Stewart平台的数学模型，分析了隔冲平台三个方向的动态刚度特性；以质量体模拟被隔离的精密电子设备，采用落（摆）锤式冲击试验机对隔冲平台进行了冲击试验，并与仿真结果进行了对比。

1 Stewart隔冲平台数学模型

1.1单个隔冲器特性分析

六自由度Stewart隔冲平台的简化结构如图1所示，主要由基座、6个隔冲器和支撑平台组成。为了研究Stewart平台的动力学特性，取广义坐标（xA，yA，zA，αA，βA，γA）和（xB，yB，zB，αB，βB，γB）分别表示基座和支撑平台的运动，如图2所示。

图1　Stewart平台示意图Fig.1 Stewart platform diagram

根据旋转矩阵和卡尔丹角坐标转动原则［11］，可以得到任意一个隔冲器i上下两端之间的相对位移矢量DiQi在惯性坐标系中的表达式：

图2　Stewart平台基本坐标系Fig.2 Stewart platform fundamental coordinate system

其中：RA，RB分别为A/B坐标系中的向量与惯性坐标系的转换矩阵。

同理，可以得到支撑平台B关于惯性坐标系的转动惯量Ji的表达式

其中：Ji0为支撑平台关于随体坐标系的转动惯量。

令惯性坐标系的惯性基为（ex，ey，ez），第i个隔冲器的轴向单位矢量为方向由Qi指向Di。假设第i个隔冲器的轴向刚度为Ki，阻尼为Ci，则其在惯性坐标系中的3向分解如图3所示。3个方向的刚度分量表达式如下：

结合图2、图3可以看出，第i个隔冲器在某一时刻对三个坐标轴的力矩分别为

由上式可推得支撑平台3个方向的总刚度分别为

其中：θx，θy，θz分别是某一时刻支撑平台绕3个方向的转角。

同理可得支撑平台3个方向的总阻尼系数分别为

其中：Cix，Ciy，Ciz分别为第i个隔冲器在惯性坐标系3个方向的阻尼系数分量；MiCx，MiCy，MiCz分别是第i个隔冲器3个方向的阻尼分力对平台产生的力矩。

图3　单个隔冲器刚度的3向分解Fig.3 Three-direction decomposition of single shock isolator

1.2Stewart平台运动微分方程

选取适当的坐标系B，使其坐标轴与支撑平台的惯性主轴重合，且保证6个隔冲器的刚度分量方向与惯性坐标系方向相同，则被动式Stewart缓冲平台的振动微分方程为

其中：［M］为质量矩阵，且

其中：m为支撑平台质量；Jxx，Jyy，Jzz分别为支撑平台关于x，y，z轴的惯量；

K为刚度矩阵，且

C为阻尼系数矩阵，且

｛δ｝为上下平台的相对运动向量，且｛δ｝=（δx，δy，δz，δα，δβ，δγ），令向量AB的单位矢量为eAB，由图2可以看出，δx=|AB|eAB·ex，δy=|AB|eAB·ey，δz=|AB|eAB·ez。［F（t）］为激励力组成的矩阵。

2 数值仿真

2.1Stewart隔冲平台的动态刚度仿真

根据推导的运动微分方程，对被动式Stewart隔冲平台的动态刚度进行仿真分析。分析之前，把基座固定，给支撑平台施加一个垂向位移激励，使其按照正弦规律围绕平台静平衡位置作上下往复运动。平台的垂向动态刚度与位移的关系曲线如图4所示。从图中可以看出，隔冲平台的垂向刚度近似呈线性，但在压缩阶段（0～-0.018 m）和反弹阶段（-0.032～-0.015 m）存在非线性特性，这是由于系统的非线性因素致使响应发生了畸变。隔冲平台的垂向动态等效刚度为

图4　隔冲平台垂向动态刚度曲线Fig.4 Vertical dynamic stiffness of the shock isolation platform

由式（8）可以计算得到垂向动态刚度约为370.34（k N/m）。

同理，在x轴横向和z轴纵向分别施加相同的位移激励函数，分析平台的横（纵）向动态刚度，结果如图5，6所示。从图中可以看出，隔冲平台横向和纵向动态刚度近似成线性，横向动刚度值约为106.445（k N/m），纵向动刚度值约为109.417（k N/m）。横向与纵向刚度值不同的原因是隔冲器轴向刚度在x轴横向和z轴纵向的分解量不同，如图3所示。由此，可以判断出Stewart平台的垂向等效刚度大于纵向等效刚度，纵向等效刚度大于横向等效刚度。

图5　隔冲平台横向动态刚度曲线Fig.5 Horizontal dynamic stiffness of the shock isolation platform

图6　隔冲平台纵向动态刚度曲线Fig.6 Longitudinal dynamic stiffness of the shock isolation platform

2.2隔冲器刚度大小对平台抗冲击性能的影响

为了深入研究单个隔冲器的刚度对平台抗冲击性能的影响，分别计算了在不同刚度值下被隔离设备在3个方向的冲击响应，分析刚度对冲击响应幅值的影响。用50 kg的质量体模拟被隔离设备，对于冲击激励，按照德国军标BV043-85推荐的正负双半正弦时域信号对模型基础施加冲击输入，即：

相应的载荷谱值分别为：加速度谱值A=100 g，速度谱值V=4.2 m/s，位移谱值d=0.04 m。

由于3个方向的刚度均近似为线性刚度，以垂向冲击为例，不同刚度下被隔离设备的垂向冲击响应曲线如图7，8所示。从图中可以看出，在冲击载荷作用下，设备的响应幅值均发生在第2个峰值处，且刚度越大，设备的响应越早达到峰值。加速度响应幅值随着刚度的增大而增大，相对位移幅值随着刚度的增大而减小。

图7　不同刚度下垂向冲击加速度响应曲线Fig.7 Vertical shock acceleration vs.isolator stiffness

图8　不同刚度下垂向冲击相对位移响应曲线Fig.8 Vertical shock relative displacement vs. isolator stiffness

冲击响应过程中，一般用冲击隔离率来表示隔离器的隔冲效果，其值越大，表示隔离器的冲击隔离作用越好。冲击隔离率η计算公式为

其中：Amax1为基础加速度幅值；Amax2为设备加速度响应幅值。

不同刚度下Stewart隔冲平台3向冲击隔离率和相对位移幅值曲线如图9，10所示。从图9看出，隔冲平台3个方向的冲击隔离率随着刚度的增大而减小，横向冲击隔离率最高，纵向隔离率次之，垂向隔离率最小，主要原因是隔冲平台的垂向动态等效刚度大于纵向动态等效刚度，纵向动态等效刚度大于横向动态刚度，即刚度越大，冲击隔离率越小。从图10看出，被隔离设备与基础的相对位移幅值随着刚度增大而减小，且刚度越大，相对位移幅值的减小幅度越小；垂向相对位移幅值大于横向和纵向相对位移幅值，这主要是因为与垂向冲击相比，横向和纵向冲击时，Stewart平台发生了较大的转动。

图9　不同刚度下平台的3向冲击隔离率Fig.9 Three-direction shock isolation rate vs. isolator stiffness

图10　不同刚度下平台的3向相对位移幅值Fig.10 Three-direction relative displacement vs. isolator stiffness

3 Stewart隔冲平台冲击试验及对比分析

为了研究Stewart隔冲平台在船舶精密电子设备抗冲击领域中的可行性，验证仿真模型的准确性，研制了一台试验样机，并用落（摆）锤式轻型冲击机对其进行了冲击试验，根据GJB150.18-86确定试验工况，具体如表1所示。试验过程中采用一台杭州Econ AVANT MI-7018采集仪（序列号155255813）、一台B&K 2692电荷放大器（序列号1503807）和4个B&K 4384V传感器测量被隔离设备和基础的加速度信号，具体的冲击测试状态如图11，12和表2所示。以垂向冲击为例，将试验测量的基础加速度信号作为仿真模型基础的输入信号，计算隔冲平台上被隔离设备的冲击响应，并与试验结果对比。仿真和试验测量的加速度时域曲线如图13～15所示。

表1　冲击试验工况Tab.1 Shock test plan

图11　试验台结构简图Fig.11 Test structure diagram

图12　冲击试验照片Fig.12 Photo of impact experiment

表2　冲击测试状态参数Tab.2 Shock testing parameters

图13　0.3 m时被隔离设备的加速度响应曲线Fig.13 Acceleration curve of the protection equipment on 0.3 m

图14　0.9 m时被隔离设备的加速度响应曲线Fig.14 Acceleration curve of the protection equipment on 0.9 m

图15　1.5 m时被隔离设备的加速度响应曲线Fig.15 Acceleration curve of the protection equipment on 1.5 m

从图13～15可以看出，仿真得到的响应曲线与试验所得曲线变化趋势整体相似，加速度峰值相近，但仿真所得曲线比较光滑，没有毛刺，且响应相对滞后，这主要是由复杂的试验环境和50 Hz的工频干扰造成的。进一步做统计分析，可以得到仿真和试验的冲击隔离率对比（表3）。从表中可以看出，试验效果比较理想，试验的冲击隔离率达到86.39％以上；仿真结果与试验结果相比误差较小，冲击隔离率误差在3.50％以内。

表3　仿真与试验的冲击隔离率对比表Tab.3 Shock isolation rate comparison of simulation and test

4 结束语

文中以被动式六自由度Stewart隔冲平台为研究对象，建立了Stewart隔冲平台的运动微分方程，分析了隔冲平台三个方向的动态刚度特性，讨论了隔冲器刚度大小对隔冲平台抗冲击性能的影响，结果表明：隔冲平台三个方向的刚度近似成线性，且垂向刚度最大，纵向刚度次之，横向刚度最小；与之相反，隔冲平台的横向冲击隔离率大于纵向冲击隔离率，纵向冲击隔离率大于垂向冲击隔离率。为验证仿真结果，对隔冲平台进行了落（摆）锤式冲击试验，通过对比发现：Stewart平台隔冲效果比较明显，试验冲击隔离率达到86.39％以上；试验结果与仿真结果比较接近，冲击隔离率误差在3.50％以内。研究结果可为Stewart隔冲平台在船舶设备抗冲击中的实际应用提供理论和试验参考。

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O322

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.02.011

张春辉，男，1988年2月生，博士生。主要研究方向为船舶设备的振动、冲击防护。曾发表《平方阻尼在冲击隔离中的特性与作用研究》（《船舶力学》2014年第7期）等论文。

E-mail：502773429@qq.com

*国家重点基础研究发展计划（“九七三”计划）资助项目（613157010102）；“十二五”预研基金资助项目（4010304030202）

2014-08-04；

2014-09-24