世间最神秘的三个数字（九）

刘玮

鹏飞：“还记得那个让你惊奇的等式吗？”

皓天：“是说欧拉的 +

+ +…= 吧？”

鹏飞：“对，更神奇的是1+ + + +…+ =e。”

皓天：“又是神一样的表达！干脆写成e= + + +

+…+ +…全体自然数阶乘的倒数和居然就是e——真乃大自然也！”

鹏飞：“还有更奇妙的，y=ex的导数仍然是它自身！”

皓天：“这有啥奇妙的？没看出来。”

“在所有函数当中，唯有这个函数具有这一奇妙性质，这就导致大自然的许多规律和现象都会遇到e。我们讨论过，人的感觉是以物理强度的几何级数，动植物的生长繁衍也是以几何级数方式进行的。”

“比方说……”

“一个地区的某种生物，在外界环境稳定的条件下，繁殖率k也一定，于是一小段时间dt内新出生的个体数dw一定与该生物总数成正比，即dw = kwdt，这个式子变形后可得：kdt = ，由积分就可得：kt = lnw + c，开始时即t =0时，设生物总数为w0，则c = -lnw0，即：kt = ln ，再写成指数形式就是：w = w0ekt。植物、动物、人口，以及生物个体的生长发育在一定阶段，都是以这个方式增长的。”

皓天：“我上网搜一下‘胎儿体重增长标准 ……哈！还真是的，16周内胎儿体重就是按指数规律增长的，大约每周增加1倍。可为什么以后就不再按照这一规律了呢？马尔萨斯预言的人口增长理论也是这个规律，事实是不可能的，即使不实行人工干预，人口也不会无限增长。就像我自己，15岁以后几乎没见长，人到老的时候还会缩，就像你鹏飞，看起来比以前好像还矮了些。”

鹏飞：“事物的发展都有促进和抑制两方面，是矛盾对立斗争的结果。胎儿在前几周内抑制因素较弱，主要是细胞的分裂生长，细胞这一变两、两变四地只分裂不衰败，当然是指数式生长了。但到了后期，空间、营养及细胞老化等抑制因素逐渐占了上风，而且胎儿的成长模式也发生了转换，主要转向器官功能完善方面了，体重增加自然就慢了。”

“辩证法都用上了啊。看来任何新生事物在发展壮大期都是指数式增长。一棵小草的发芽如此，春天一片草地的生长理所当然也如此。胎儿如此，人口在早期无限制的增长也会像马尔萨斯预言的一样快速增长。个体与整体的发展是相似的，看来相似性处处存在。”

“老子《道德经》第四十二章说道：‘道生一，一生二，二生三，三生万物。‘道是世界的本源，宇宙从无中产生了混沌或太一，这‘一又一分为二，‘二就是矛盾对立的两方面。阴阳两方面斗争的结果就产生了新生事物——第三者，如此便产生了万物。”

皓天：“看来这e的发现应归功于老子，哈哈！那么事物衰败的模式也应该是指数式缩减咯？”

鹏飞：“放射性元素的衰变规律还记得吗？”

皓天：“是个统计规律，有个半衰期τ，每过一个半衰期，放射性元素减少一半，经过时间t，原来m0的放射性物质只剩下m = 。咦，这里怎么没有e呢？”

鹏飞：“可以这样来考虑，假设单位时间内单位质量的放射性物质有k个单位的质量衰变了，k显然小于1，则一小段时间dt内放射性物质减少了，其质量增加量dm = -kmdt，将该式变形后，与刚才得到的式子差不多： = -kdt，积分后可得：m = m0e-kt，当m = m0时，t就是半衰期τ，所以：τ = ，看到吗？所有的指数规律都与e有关。”

皓天：“如果我们把事物壮大的规律y = ex 和衰败规律y = -ex 画在同一个图上，会非常对称。”

鹏飞：“你知道把这两个函数相加是什么吗？”

皓天：“代表新旧事物的更替演化过程呗！”

鹏飞：“y = ex + e-x 恰好就是一根悬挂的链子具有的形状。”

皓天：“链子一端悬挂下垂，慢慢地另一端又挂上去，正好代表了新旧事物的更替。”

鹏飞：“悬链线蕴含了辩证法，展示了事物发展演化的形象。我再考考你，以前和你谈到鹦鹉螺长的形状与e也有关，你知道它的曲线方程是什么吗？象牙、野猪的獠牙、向日葵果盘上的纹路又是什么曲线？”

皓天：“这个……”

鹏飞：“换个问题吧：一根1米长的橡皮绳，假设可以被无限均匀拉长而不会断，每秒被拉长1米。一只小虫子从一端开始，相对绳子以1厘米/秒的速度匀速爬向另一端，小虫能爬到头吗？如果不能，为什么？如果能，那需要多长时间？给你一个月的时间思考。”