非奇异M－矩阵Hadamard积的最小特征值的改进估计式

周平 （文山学院数学学院，云南 文山663000）

1 基本概念和引理

令N＝｛1，2，…，n｝，Cn×n（Rn×n）表示所有n×n阶复（实）矩阵构成的集合。

定义1［1～9］设A＝（aij）∈Rn×n，若aij≥0；i，j∈N，则称A为非负矩阵，记为A≥0；若aij＞0；i，j∈N，则称A为正矩阵，记为A＞0。

定义2［1～9］记Zn×n＝｛A＝（aij）∈Rn×n｜aij≤0；i，j∈N；i≠j｝，称Zn×n中的矩阵A为Z－矩阵，简记A∈Zn×n。

定义3［1］设σ（A）＝｛λi＝1，2，…，n｝（λi是A的所有特征值），则σ（A）叫做A的谱；矩阵A的n个特征值的模的最大者称为A的谱半径，记为ρ（A），即ρ（A）＝max｛｜λi｜，i∈N｝。

定义4［1］若A＝（aij）∈Zn×n可表示为A＝sI－P，其中P≥0，s≥ρ（P），则称A为M－矩阵。

特别地，当s＝ρ（P）时，称A为奇异M－矩阵；当s＞ρ（P）时，称A为非奇异M－矩阵。记所有n×n阶非奇异M－矩阵所成之集为Mn。

引理1［1］设A∈Zn，则A∈Mn当且仅当A－1≥0。

引理2［1］设A≥0，若A的谱半径ρ（A）是A的一个特征值，即ρ（A）∈σ（A），此时称ρ（A）为A的Perron特征值。

定义5［1］设A＝（aij）∈Zn×n，记τ（A）＝min ｛Re（λ）∈σ（A）｝，称τ（A）为A的最小特征值。

引理3［2］若A∈Mn，则τ（A）为A的模的最小特征值，且τ（A）＝＞0。

定义6［1～9］设A＝（aij）∈Cm×n，B＝（bij）∈Cm×n，用A◦B表示A和B的对应元素相乘而成的m×n阵，即：

称其为A和B的Hadamard积，也称为Schur积。

引理4［2］设A，B∈Rn×n都为M－矩阵且B非奇异，则A◦B－1为M－矩阵。

引理5［1］若A是M－矩阵，则存在正对角矩阵D，使得D－1AD是行严格对角占优M－矩阵。

引理6［1］设A，B∈Rn×n，且D，E∈Rn×n是对角矩阵，则：

引理7［1］设A∈Mn，D＝diag（d1，d2，…，dn），di＞0（i＝1，2，…，n），则D－1AD是M－矩阵。

引理8［6］若A＝（aij）∈Cn×n，则对任意的0≤α≤1和任意的正实数组x1，x2，…，xn，A的特征值位于下列区域：

设A＝（aij）∈Rn×n是非奇异M－矩阵，对任意i，j，k∈N；i≠j，定义：

引理9［9］如果A＝（aij）∈Rn×n是一个行严格对角占优M－矩阵，则A－1＝（βij）存在，且：

引理10［9］如果A＝（aij）∈Mn是一个行严格对角占优M－矩阵，则A－1＝（βij）存在，且：

引理11［9］如果A＝（aij）∈Rn×n是M－ 矩阵，A－1＝（βij）是双随机矩阵，则：

2 主要结论

定理1 设A＝（aij）∈Mn，B＝（bij）∈Mn，A－1＝（βij），则：

证明 因为A∈Mn，所以应用引理4～引理7，存在正对角矩阵D，使得D－1AD是严格对角占优M－ 矩阵，且有τ（B◦A－1）＝τ（D－1（B◦A－1）D）＝τ（B◦（D－1AD）－1）。为了不失一般性，假设A是严格行对角占优M－矩阵。

（Ⅰ）如果矩阵A和B都是不可约矩阵，令＝ajk｜mki；i，j∈N；j≠i，则：

因此，存在实数εji（0≤εji≤1），使得：

从而：

又令εj＝，则0＜εj≤1（如果εj＝0，则A是可约矩阵，这与假设矛盾），所以：

因为A是不可约矩阵，所以：

记τ（B◦A－1）＝λ，则根据引理8和引理9知，存在i（1≤i≤n），有：

即：

由引理3，上式可变为：

故：

（Π）如果A和B中至少有一个是可约矩阵时，令：

由于A，B∈Mn，从而对任意正数δ，只要δ足够小时，A－δT与B－δT的所有主子式为正，且A－δT，B－δT是不可约的非奇异M－矩阵［3］，用A－δT和B－δT分别替换A，B，并且令δ→0，由（Ⅰ）和连续性可得该结论。

注1 在定理1中，当α＝0时，得到：

即为文献［9］中的定理3.4。

事实上，因为：

所以：

定理2 若A＝（aij）∈Rn×n是严格行对角占优M－矩阵，A－1＝（βij），则：

证明 类似于定理1的证明，只须将定理1的证明过程中的bij替换成aij，bii替换成aii，便可得到定理2的结果。

定理3 设A＝（aij）∈Mn，B＝（bij）∈Mn，且A－1＝（βij）是双随机矩阵，则：

类似定理1的证明即可得到以上结论。

定理4 设A＝（aij）∈Mn，A－1＝（βij）是双随机矩阵，则：

证明 在定理3中令B＝A即可得到该定理。

注3 在定理3和定理4中，当α＝0时，分别得到：

即为Cheng Guanghui等［9］给出的定理3.1。

根据注1、注2、注3和注4可知，笔者所给出的这些估计式在一定条件下改进了已有文献的结果。

3 算例分析

例1 令：

显然A，B∈Mn。

应用 Matlab7.0计算τ（B◦A－1）＝0.2148；

应用文献［2］中定理5.7.31的估计式，得τ（B◦A－1）≥0.07；

应用文献［7］中定理9的估计式，得τ（B◦A－1）≥0.052；

应用文献［8］中定理2.1中的估计式，得τ（B◦A－1）≥0.075；

但应用定理1，取α＝时，得τ（B◦A－1）≥0.1742。

在这里，A是双随机矩阵，应用 Matlab7.0计算τ（B◦A－1）＝0.9755。

应用Fiedler和 Markham的猜想得τ（A◦A－1）≥0.05；应用文献［7］中定理3.1得τ（A◦A－1）≥0.06624；应用文献［8］中定理3.2得τ（A◦A－1）≥0.7999；应用文献［9］中定理3.1得τ（A◦A－1）≥0.8250。但应用定理4，取α＝时，得τ（A◦A－1）≥0.9211。

对该算例的计算结果作比较可知，笔者给出的新估计式改进了Fiedler和Markham的猜想以及现有文献的结果，所得结论是对相关文献的一个有益补充。

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