大学物理实验教学中关于实验数据的不确定度的计算和分析

孙红章 王翚 苏向英

摘要：本文首先讨论了大学物理实验教学中关于不确定理论中的直接测量量的A类、B类标准不确定度和合成不确定度以及间接测量量的不确定度的通常表示方法，随后推算出了几个基本物理实验中各个测量量不确定度的计算公式，对大学本科学生的物理实验教学具有指导意义。

关键词：大学物理实验教学;不确定度计算;固体密度测量;杨氏弹性模量测量;共轭法测凸透镜焦距

中图分类号：G642     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2015）35-0169-02

现如今在大学物理实验教学中为了更加准确和精确的表示实验测量结果，常使用不确定度理论来表示实验测量结果。[1，2]在大学物理实验教学中，不确定度的计算一直是一个难点，也是一个重点，许多本科学生因为不确定度的计算方法非常复杂，而且计算量很大，而放弃对实验数据的科学处理。这里我们将阐述大学物理实验教学中不确定度的通常表示方法，并结合有关的基本物理实验，在课堂上用多媒体演示，使大学一年级学生很容易掌握不确定度的计算，取得了良好的教学效果。

一、不确定度理论的一般原理和计算方法[3，4]

不确定度理论对于直接测量量把数据的不确定度根据数据的性质来分类，把符合正态分布统计规律的称之为A类标准不确定度，而不符合正态分布统计规律的称之为B类标准不确定度。把两类不确定度的平方和的根称之为测量量的合成标准不确定度，或者简称为不确定度。

大学物理实验中物理量的直接测量量的平均值的标准偏差即为A类标准不确定度，它的计算公式为：

t的大小与物理量的测量次数n和置信概率p有关系，置信概率p一般约定取值为68.3%，特殊情况下置信概率p取95.4%。如果我们测量9次，置信概率取p=68.3%，那么置信因子取t=1.07。如果我们测量5次，置信概率取p=68.3%，置信因子取t=1.14。

物理测量量的B类不确定的计算公式为：uB=

Δ仪/C，Δ仪被称之为实验仪器的“最大允差”，C是实验仪器误差概率分布的置信因子系数。实验仪器的误差分布一般有正态分布和均匀分布，呈正态分布时C=3，呈均匀分布时C= 。但是如果实验仪器误差的分布不能确定为何种分布，我们可以把它简单认为是均匀分布。如果当A类不确定度和B类不确定度是相互独立的时候，它们的合成绝对不确定度的计算公式为：u = =（u  +u  ） 。直接测量量的相对不确定度的计算公式为：E =u   ×100%.

如果实验中间接测量量的函数关系方程是

N=f（x1，x2，…，xn），那么它的标准不确定度的计算公式是：

u = = （？鄣f/？鄣x ） u   （2）

在公式中u 为实验中各直接测量量xi的合成绝对标准不确定度，它的相对标准不确定度的计算公式是：

E = = （？鄣ln f / ？鄣x ） u   （3）

这两个公式被称之为不确定度的传递公式，如果测量量的表达式是各个直接测量量的积和商的形式，先计算其相对不确定度较方便。间接测量量的标准不确定度和相对不确定度的关系为u = ·E ，所以测量量最终结果的一般形式表示为：

N= ±u E =u   100%，p=68.3%。 （4）

二、固体密度的测量实验中不确定度的计算方法

固体密度的测量实验是大学物理实验教学中的一个重要基础实验。

当待测物体是一铜圆柱体时，其直径的多次测量的平均值为 ，高度的多次测量的平均值为为 ，质量的多次测量的平均值为为 ，则铜圆柱体密度的最佳值为 =4 （π 2 ）-1，我们先计算出各个直接测量量的不确定度，因为铜圆柱体密度的表达式是各个直接测量量的积和商的形式，所以先计算其相对不确定度较方便，根据不确定度的传递公式得到铜圆柱体密度的相对不确定度：

铜圆柱体密度的绝对不确定度表示为：u = Eρ。

当待测物体是一空心的铝圆管时，设其外径的多次测量的平均值为 ，内径的多次测量的平均值为 ，高度的多次测量的平均值为 ，质量的多次测量的平均值为 ，则铝圆管密度的最佳估计值为

=4 （π（ 2- 2） ）-1。我们先计算出各个直接测量量的不确定度，因为铝圆管体密度的表达式主要是各个直接测量量的积和商的形式，所以先计算其相对不确定度较方便，然后根据不确定度的传递公式得到空心铝圆管密度的相对不确定度：

铝圆管密度的绝对不确定度为：u = Eρ。

三、共轭法测薄凸透镜焦距实验中的不确定度的计算方法

测量薄透镜的焦距实验是大学物理实验中重要的基本光学实验，共轭法是测定薄透镜焦距的主要方法之一[1]。我们设f为薄凸透镜焦距，物和像屏的距离为D（要求D>4f）。当移动薄凸透镜在某一位置处，像屏上将出现倒立放大的实像。当薄凸透镜又在另一位置时，在屏上得到倒立缩小的实像，这就称之为共轭法。如果两次成像间位移为d，那么我们得到焦距的基本公式：f=（D2-d2）（4D）-1。只要我们测出D、d，就能够计算出f的大小。共轭法最大的优点是很大程度上避免了物距和像距在测量时因对薄凸透镜光心位置估计不准而带来的偏差，而把f测量归为对精确测量量D和d的精准测量。

因为焦距f的表达式主是各个直接测量量的积和商的形式，所以先计算它的相对不确定度较方便，根据不确定度的传递公式，其相对不确定度为：

焦距f的绝对不确定度uf=Er* 。

四、杨氏弹性模量测量实验的不确定度计算方法

弹性模量又被称之为杨氏模量，是表示材料抵抗形变性能的一个很重要的物理参量，有着重要的实际应用意义。[5]杨氏模量测量实验是大学物理实验本科教学中的一个非常重要的基础实验。实验仪器主要有：望远镜光杠杆镜尺组、杨氏模量测定仪、千分尺、钢卷尺、游标卡尺、砝码等。在实验中我们采用拉伸法测量钢丝的杨氏弹性模量，这里采用光杠杆法来测量钢丝因受力而产生的微小形变，这是实验的关键。

測钢丝杨氏模量的公式为Y= ，其中Y表示钢丝的杨氏模量，F是单个砝码对应的重力，L是钢丝的原长，D为光杠杆的镜面到标尺的距离，d是钢丝的直径，b是光杠杆前后脚之间的距离，Δn为镜中的标尺读数加减单个砝码的平均变化量的大小，Δn的大小用逐差法处理测量数据而得到。

因为杨氏模量Y的基本表达式是各个直接测量量的积和商的形式，所以我们先计算其相对不确定度比较方便，根据不确定度的传递公式得到

Er=

钢丝杨氏模量的绝对不确定度为u = ·E 。

五、结束语

本文总结了大学物理实验教学中关于不确定理论中的直接测量量的A类、B类标准不确定度和合成不确定度以及间接测量量的不确定度的通常表示方法，随后得到了固体密度的测量实验、共轭法测薄凸透镜焦距实验和杨氏弹性模量测量实验中的各测量量不确定度的计算公式，并且我们在课堂上用多媒体演示，使大学一年级学生很容易掌握不确定度的计算，取得了不错的教学效果，这对大学本科学生的物理实验教学具有积极的指导意义。

参考文献：

[1]陈庆东.大学物理实验[M].北京：机械工业出版社，2006：1-20.

[2]陈庆东，巩晓阳.大学物理实验教程[M].北京：机械工业出版社，2013：56-69.

[3]赵志刚，等.多维测量结果不确定度评价方法初探[J].清华大学学报，2007，47（10）：1557-1561.

[4]贾翠红，等.测量不确定度及其估算[J].福建师范大学学报，2007，23（1）：96-98.

[5]胡益丰，等.用拉伸法测钢丝杨氏模量实验中的不确定度分析[J].广西物理，2007，28（4）：56-59.