基于奇异值的鲁棒图像隐写算法

姚楚茂，汤光明，辜刚林

（信息工程大学三院，河南 郑州450000）

0 引 言

数字图像隐写是信息隐藏的一个重要分支，图像隐写将秘密信息嵌入在载体图像中，在不引起第三方注意的前提下传输给接收方［1－3］，不仅隐藏了秘密信息的内容，而且隐藏了秘密信息的存在性。矩阵编码［4，5］是图像隐写常用的技术手段，以降低载体数据的利用率为代价提高了嵌入效率，能够提高隐写算法的安全性和嵌入容量。Crandall等［6］提出通过矩阵编码实现高效率的隐写方法，可使2k－1个载体数据的LSB负载k比特秘密信息，最多只需改动一个LSB；Andreas Westfeld［7］提出的F5 矩阵编码算法，能够有效的减少不必要的修改，具有较高的容量；Zhang等［8］提出了EMD （exploiting modification direction）隐写编码算法，在n个像素中嵌入一个 （2n＋1）进制的秘密信息，最多只修改一个单位。矩阵编码的优点在于能以较小的修改量达到较高的嵌入率，提高了隐写算法的嵌入容量并且减小了嵌入造成的失真，但矩阵编码算法的鲁棒性较差，图像的微小改动可能导致秘密信息不能正确的提取。Yao等［9］提出的EMD－like隐写算法在像素块的平均值上嵌入秘密信息，算法的鲁棒性得到了一定的提高，但秘密信息直接嵌入在图像空域的像素中，嵌入失真较大，而且鲁棒性仍不能满足实际需求。本文以EMD 矩阵编码算法为基础，利用矩阵奇异值分解的稳定性，提出了一种基于奇异值分解 （singular value decomposition，SVD）和EMD 的鲁棒隐写算法。通过对图像块进行奇异值分解，提取出每个小块的最大奇异值，然后结合EMD 编码算法以相邻两个小块的最大奇异值为单位嵌入一个5 进制的秘密信息比特，在保持较高图像质量的前提下，提高了原始EMD 编码算法的鲁棒性，能够很好地应用于噪声环境下的图像信息隐藏。

1 EMD 编码算法

EMD 隐写算法是一种数字图像隐写编码算法，它拥有隐写容量大、修改率低等优点。EMD 编码算法可以在长度为n的载体图像像素中嵌入一个2n＋1 进制的数，而这n个载体图像像素仅需其中的一个像素改动一个单位的值。由于有n个图像像素，每个像素都可以进行加减1，这就使得n个像素可以产生2n＋1 （包括所有像素不变的情况）种变化，EMD 隐写编码算法的基本原理就是把这2n＋1种变化映射为一个2n＋1进制的数值。因此可以嵌入2n＋1进制的数。EMD 算法的嵌入步骤如下所示：

（1）把秘密信息表示为2n＋1进制的数，设秘密信息用d 表示。

（2）将载体图像分为连续的像素组，记为g1，g2，......，gn。

（3）计算权值函数f，公式如下

（4）计算差值s＝（d－f）mod（2n＋1），根据s的值进行嵌入：

1）如果s为0，则像素组不进行任何修改；

2）如果s不为0，且k≤n 时，修改像素组中gs值加1，否则对g2n＋1－k值进行减1。

通过上述修改规则得到修改后的像素组为g′1，g′2，......，g′n，由EMD 编码算法的嵌入原理可得嵌入后的像素组满足

因此提取秘密信息时即可通过式 （2）求出秘密信息比特。

以n＝2为例，2个像素的变化情况有5种 （如图1所示），可表示五进制的秘密信息比特。

图1 n＝2时像素组的变化情况

对秘密信息进行5进制数值转换。若要嵌入的秘密信息比特为d，2个载体像素分别为g1，g2，定义权重函数为

计算差值s＝（d－f）mod5，根据表1修改像素值。

表1 像素值的修改

像素值通过表1的修改后成为g′1，g′2，使得

因此，秘密信息的提取可根据式 （4）求得。

2 本文提出的算法

奇异值分解［10，11］是对矩阵进行数值分解的分析方法，经常运用于通信、图像等领域，可以解决矩阵的特征值、逆矩阵等问题。

2.1 奇异值分解

若一个实数矩阵用A 表示。矩阵A 的奇异值分解定义为

其中m 阶酉矩阵U∈Rm＊n和n 阶酉矩阵V∈Rm＊n满足UUT＝E，VVT＝E。T 表示对矩阵进行转置，σ∈Rm＊n为矩阵A的酉等价标准型矩阵，对角线上的非零数值σi叫做A 的奇异值。

为了保证奇异值分解的唯一性，奇异值按照由大而小排列顺序，假设灰度图像矩阵表示为A，A 为m 行n 列的矩阵，对A 进行SVD 分解得出：A ＝UσVT，其中，σ即为图像的奇异值向量，σ是非负的对角矩阵，对角线上的元素是从大到小排列的，即λ1≥λ2≥… ≥λi，因此σ可由A唯一确定。

奇异值分解具有如下性质［12］：

性质1 设矩阵A∈Rm＊n，ΔA 为对矩阵A 的微小扰动，满足A′＝A＋ΔA，其中A 与A′的奇异值分别满足：σ1≥σ2≥...≥σp，δ1≥δ2≥...≥δp，其中p＝min （m，n），则有

由此可知，当对矩阵A 进行微小的干扰使之产生变化，矩阵A 奇异值的变化总是小于或等于扰动矩阵的2－范数，因此图像像素矩阵的奇异值不随着图像矩阵的扰动而进行大的波动；而且图像像素矩阵的各个奇异值代表着图像矩阵数值之间的内在关系，这种关系并不能从图像本身的视觉上察觉，因此当图像的奇异值进行微小的改变时，图像从视觉上不会产生大的变化，人眼不能识别这种微笑的变化。本文的隐写算法在EMD 矩阵编码算法的基础上引入基于SVD 的特征提取。SVD 提取的稳定奇异值确保了良好的鲁棒性，并且EMD 矩阵编码算法具有小的改动为图像质量提供了保证。

2.2 秘密信息的嵌入

载体图像用矩阵A 表示，嵌入的秘密信息比特流为d＝（d1，d2，...dn），为了保证算法的嵌入容量，对图像矩阵A 进行分块，对每个图像块进行奇异值分解提取出奇异值向量，秘密信息嵌入在每个图像块最大的奇异值中。根据EMD 算法的嵌入公式可知，以两个像素点为一个单位时算法的容量最大，因此本文算法以两个图像块的最大奇异值作为一个嵌入单位。算法的嵌入步骤如下：

（1）把图像矩阵A 分成互不重叠的2＊2小块，对每个图像块进行SVD 分解得到奇异值向量 （σi1，σi2），提取每个小块奇异值向量的最大奇异值σi1作为秘密信息的嵌入载体。

（2）以每两个小块的最大奇异值为一个单位计算权重函数f

依此类推，求出每个单元的权重函数f1，f2，...，fk。

（3）把秘密信息d 转化成5进制比特流，即d＝ （d1，d2，...dn），其中di＝0，1，2，3，4。

（4）计算差值si＝ （di－fi）mod5，根据si的取值按照表1修改像素值。依照相同的规则依次修改每个奇异值数组。

（5）对修改后的奇异值向量 （σ′i1，σ′i2）进行SVD 逆变换得到新的2＊2矩阵，对图像块组合生成新的载密图像矩阵A′。

2.3 秘密信息的提取

若嵌入秘密信息后的载密图像用矩阵A 表示，秘密信息的提取可以看作是嵌入的逆过程，对矩阵A 按照相同的分块大小分块后进行奇异值分解，提取每个图像块矩阵的最大奇异值组成载体向量（σ1，σ2，σ3，...σn）。根据EMD 算法仍以两个奇异值为一个单位按式 （7）计算权重函数f。由式 （4）可知，秘密信息的提取公式如下

3 实验结果

为了测试算法的鲁棒性，本文的实验选取8 幅512＊512＊8的自然灰度图像作为载体图像，如图2所示。实验对每副图像都嵌入本文算法最大容量的秘密信息比特即64 kb的秘密信息，并对文献 ［9］的EMD 隐写算法和本文的算法进行了性能比较。本文的实验为了比较嵌入秘密信息前后图像的失真大小采用峰值信噪比来衡量，公式如下

式中：M，N——图像的长和宽。PSNR 越大，则图像的失真越小，表明载密图像与原始图像越相似，即算法的透明性越好。反之，图像失真越大，算法的透明性差。

图2 实验测试图像

采用位错率 （bit error ratio，BER）作为算法鲁棒性的客观评判标准，如式 （10）所示

当载密图像受到干扰后提取出秘密信息，在相同的干扰条件下，比较两种算法的位错率BER和PSNR。实验对载密图像采取的干扰方式有高斯噪声、JPEG 有损压缩两种典型的图像干扰，其中高斯噪声选取的干扰强度为0～15dbw，JPEG压缩的压缩质量因子为55。然后对受到干扰后的载密图像进行秘密信息的提取，并计算出位错率BER，BER越高说明算法的鲁棒性越差，反之，算法的鲁棒性越好。

表2给出了本文算法和文献 ［9］算法在受到JPEG 有损压缩后的性能比较，实验选取的JPEG 压缩的质量因子为55。表中数据比较了两种算法嵌入秘密信息后反应载密图像失真度的PSNR 值，并且对两种算法的载密图像进行JPEG 压缩，对压缩后的图像进行秘密信息的提取，计算并对比两种算法提取的秘密信息的误码率。

表2 算法抵抗JPEG 压缩的实验结果比较

由表2的实验结果可知，本文算法的位错率要远小于EMD 隐写算法，即本文提出的算法在鲁棒性方面有了很大的提高。由于本文算法并不是直接在空域嵌入秘密信息比特，而是将秘密信息嵌入在奇异值上，因此本文算法的PSNR要大于文献 ［9］算法，表明本文提出的算法具有较好的透明性。

图3为本文提出的隐写算法与文献 ［9］的算法抵抗高斯噪声干扰的性能比较，实验以lena图像为实验测试图像，采用0～15dbw 区间不同强度的高斯噪声对载密图像进行干扰，对受到干扰后的载密图像按算法的提取步骤提取出秘密信息比特，并按式 （10）计算出误码率。

图3 算法抵抗高斯噪声的性能比较

由图3可知，随着噪声强度的增大，提取出的秘密信息的误码率越高，文献 ［9］的EMD 隐写算法在噪声强度增大时误码率明显提高，而本文提出的隐写算法的误码率随着噪声强度的增大始终保持较低的值，要远低于文献［9］的EMD 隐写算法，表明本文的算法能更好地抵抗高斯噪声的干扰。

表3为两种算法的各自8幅载密图像受到高斯噪声干扰后的平均误码率，实验选取的高斯噪声强度为1～15dbw。

表3 算法抵抗高斯噪声的实验结果比较

由表3的数据可知，当噪声强度增大时，两种算法的平均误码率都增大，文献 ［9］算法的误码率随着高斯噪声强度的增大而明显增大，本文算法的误码率始终保持较低的值，本文算法在8幅图像上都能取得比文献 ［9］算法低的误码率，因此，本文提出的算法更能抵抗高斯噪声的干扰。

4 结束语

本文提出了一种基于奇异值分解和矩阵编码的图像信息隐藏算法。与其它基于编码的鲁棒隐写算法相比，本文的算法在像素块的奇异值上嵌入秘密信息，提高了载密图像的质量，并且提高了算法的鲁棒性。实验结果表明，本文算法相比于其它算法能更好地抵抗JPEG 压缩、高斯噪声的干扰，而且嵌入秘密信息后的载密图像具有较好的图像质量。该算法以嵌入容量为代价提高鲁棒性，若在隐写容量方面有较大需求可与其它矩阵编码算法相结合以增大修改量为代价提高嵌入容量。

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