具有Dirichlet边界条件的非等熵MHD方程组的小马赫数极限

徐自立，孙振营，王 术

（1．北京工业大学应用数理学院，北京100124；2．中州大学信息工程学院，河南郑州450044）

具有Dirichlet边界条件的非等熵MHD方程组的小马赫数极限

徐自立1，2，孙振营2，王 术1

（1．北京工业大学应用数理学院，北京100124；2．中州大学信息工程学院，河南郑州450044）

研究了在半平面上速度场和磁场都具有Dirichlet条件的非等熵的MHD方程组的不可压极限．在具有好始值的前提下，在小时间区间上建立了不依赖于小马赫数ε∈（0，1）的一致估计，其中也包括了在边界上法线方向上的速度的高阶导数的估计．

小马赫数；Dirichlet条件；非等熵；MHD方程组

在描述流体在磁场中运动的状态的磁流体力学偏微分方程组（简称MHD方程组）中，当小马赫数趋于0时，从物理意义上看，这时携带着流体中势能部分的高速声波就能够产生．如果是周期流体，这些声波将会一直存在并且频率不断增加．而从数学的角度来看，这就意味着可压的MHD方程组的解收敛到不可压的MHD方程组的解．小马赫数问题因其物理背景的重要性、复杂性、其数学方面的挑战性，吸引了许多知名数学家的研究兴趣，同时也取得了很多好的结果［1－4］．

当κ＝0时，MHD方程组在全空间上的局部光滑解的小马赫数极限问题被Fan［5］等严格证明，Jiang［6－7］等研究了具有热传导系数时在全空间或者环上的局部光滑解的小马赫极限，但是都没有涉及有边界的情况．而具有物理意义的边界问题，Dou和Ju［8］证明了速度场具有非光滑边界条件而磁场具有物理上完美传导边界条件的等熵MHD方程组的小马赫数极限问题．

本文研究的是在二维半平面上速度场和磁场都具有Dirichlet边界条件的情形时小马赫数极限．实际上本文作者［9］已经证明MHD方程组光滑解的整体存在性和唯一性，并证明了在速度场满足Navier光滑边界条件且具有好始值时的小马赫数极限．与文献［9］中速度场满足Navier光滑边界而磁场满足完美传导边界条件的情形相比较，本文的能量一致性估计将变得更加复杂．特别地，对于边界上的估计将要分为切线和法线两个方向的估计才能获得．

1 主要结果

令p＝1＋q，重写MHD方程组的模型如下：

其中ρ，u和H分别表示流体的密度、速度和磁场，p：＝（γ－1）ρe表示压力．

方程组（5）～（8）的初值条件为：

边值条件为：

curlH＝∂1H2－∂2H1，边界∂Ω＝（x1，0）的外法向量记作n：＝（n1，n2）＝（0，－1）．

本文的主要结果如下：

定理1．1 已知Ω⊂R R2是一个具有边界｛（x1，x2）｜x2＝0｝的上半平面，且ν＝μ＋λ≥0．如果存在一个不依赖ε∈（0，1］的正常数C0，并且在（5）中的初始值

则初边值问题（1）～（6）在C（［0，T0］；H2（Ω））中存在一个唯一解（ρε，uε，qε，Hε），其中T0也是一个不依赖ε∈（0，1］的正常数．此外，（ρε，uε，qε，Hε）满足

这里C＝C（δ0，C0）是一个不依赖ε∈（0，1］的正常数．另外，当ε→0时，（ρε，uε，Hε）在Sobolev空间收敛到（ρ，u，H），且存在一个函数P（x，t），使得在C（0，T0；H2（Ω）3×H1（Ω））中，（ρ，u，P，H）为下面非齐次不可压具有初边值问题的MHD方程组的解：

（ρ0，u0，H0）在Ω内，这里（ρ0，u0，H0）为在H2（Ω）中的弱极限，同时在Ω中几乎处处有

这里先给出定理，后面将给出证明．

2 “线性化”及其定理

由于问题（1）～（6）是非线性的，我们给定一个确定的v满足和u相同的初边值条件，通过下面的方程（7）可以解出密度ρ，而通过方程（10）可以解出磁场H，所以此时方程（8）表面上不是线性的，但由于解出密度ρ和磁场H后，本质上是线性，故我们称之为“本质线性化”；下面我们将方程组（1）～（6）“本质线性化”为：

在这里我们利用等式

这样，为了证明定理1．1，我们要先给出下面的定理：

则对于某个T＞0，初边值问题（7）～（12）具有唯一解

在Ω×（0，T）中满足ρε＞0和下面的正则性：

下面的命题对于证明定理1．1．和定理2．1非常重要：

命题2．1 如果初始值（ρ0，u0，q0，H0）对于某个不依赖于ε∈（0，1］的正常数C0，G0≤C0，并且假设（ρ，u，q，H）是定理2．1的唯一局部解．则这里存在不依赖ε∈（0，1］的正常数T0（G），C（C0）和G，使得

此外，如果G是固定的，则T0＝T，这里的C依赖于G和ρ．

为了证明命题2．1，我们有下面一些引理来分别对k≥2，H和（u，q）的低阶和高阶导数来分别进行先验估计．

3 先验估计

3．1 ρ的估计

对于任意的整数k≥2，我们对式（7）两边乘以－ρ－k并且分部积分，得出

这里存在的C不依赖于k．然后利用Gronwall不等式并让k→＋∞，我们能得到

然后再得出ρ的H2估计，最后我们有下面的定理：

引理3．1 存在一个正的连续函数F（·，·），正常数T1：＝min（T，（1＋G2）－1）和C，对于任意的t∈［0，T1］和0≤ε≤1，使得

以后的Fi（·，·）（i＝1，2，…）是不依赖ε和正常数η，δ的连续函数．

3．2 对H的估计

由于在边界上H＝0，我们只能得出H的低阶估计，而其高阶估计将和速度场u的高阶估计放在一起用相同的方法进行估计．

引理3．2 存在一个正常数T1和C，使得对于任意的t∈［0，T1］，有

此外，对任意t∈［0，T］和正的连续函数F（·，·）有，

证明 首先，对方程（10）两边点乘H并在Ω上积分，能得到

利用条件（12），Young不等式以及插值不等式，能得到

对于t∈［0，T2］，这里

T2：＝min（T，（1＋G4）－1）．下面，记curlH为φ，由（10）容易知道φ满足下面的方程

在上式两边同乘以φ然后在区域Ω上积分，利用边界条件（12），得出

对式（17）两边同乘以Ht并积分，能得到

再利用Gronwall不等式和定义2．1和（13）得出

3．3 （u，q）的L2估计

我们很容易得出（u，q）的L2估计：

引理3．3 存在一个连续函数F0（·），是的对于任意t∈［0，T2］，这里的T2：＝min（T，（1＋G4）－1），有

此外，存在一个正的连续函数F（·，·），是的对于任意的t∈［0，T2］，将F0（G0）更换成F2（G0，G）上面的估计照样成立．

3．4 对（u，q，H）的高阶估计

下面分别进行估计K1，K2，K3，最后得出，对于任意的t∈（0，T2］和ε∈（0，1］，有

然后，又能得到，对于任意的t∈（0，T3］和ε∈（0，1］，有

这里的T3：＝min（T，（1＋G34）－1）．

首先要估计低阶项．采用常规的稳定的Stokes问题的估计方法［10］（参见Galdi书中第4章内容）、利用Sobolev嵌入定理以及引理3．2，对于特定的函数F2（G0）＞1和任意的t∈（0，T3］，能够得出

类似的，我们得（u，q）到的高阶导数的估计：

然后结合式（21），对于某个特定的函数F2（G0）＞1和任意的t∈（0，T3］，推出

然后结合式（18）、（19）、（20）和（23），得出下面的引理：

引理3．4 存在一个正常数C1和T3（G），使得对于任意的t∈（0，T3］和ε∈（0，1］，有

我们将采用Valli的思想［11－12］和Jiang［13］的方法，分别对区域的内部和边界进行估计．

（1）区域内部估计

下面先给出内部估计，为了方便，我们采用爱因斯坦求和约定，，并且令χ0是函数，对式（8）作用∂jk，然后和作内积，得

对式（9）作以上类似的处理，经过仔细计算，导出：

（2）区域边界上切线方向上导数的估计

由于在∂Ω上，χ0∂1u＝0，χ0∂11u＝0，其中的∂1，∂11都是边界切线方向上的导数，同样的，χ0∂1v＝0， χ0∂11v＝0，这样，对式（8）作用∂11，再乘以，然后积分，经过计算得出

对于任意的t∈（0，T3］和ε∈（0，1］，有

（3）区域边界上法线方向上导数的估计

首先对式（8）作用∂1，然后两边同乘以（divu），最后积分．接着对式（9）作用∂12，然后两边同乘以，最后积分．结合上面两次积分后的式子，得出：

对于任意的t∈（0，T3］和ε∈（0，1］，有

为了封闭对divu的估计，对式（8）作用∂2，两边同乘以然后积分．对式（9）作用∂22，两边同乘以然后积分．结合上面两次积分后的式子，得出：

对于任意的t∈（0，T3］和ε∈（0，1］，有

为了估计三阶的法向量，继续利用上面的Galerkin问题导出：

综合上面的关于边界的估计，我们得出下面的引理：

引理3．5 存在一个正函数F8，正常数C和T3（G），使得对于任意的t∈（0，T3］和ε∈（0，1］，有

综合引理3．1至引理3．5，我们再得出下面的引理：

引理3．6 存在一个正函数F9和T3（G），使得对于任意的t∈（0，T3］和ε∈（0，1］，有

4 命题2．1的证明

取F10（G0）：＝F1（G0）＋F9（G0），这里的F1（·）与F9（·）分别是由引理3．1和引理3．6定义的，利用选择的G和T0，我们有

对于任意的0＜ε≤1，能得到

这样用常规的方法就能得到命题2．1的证明．接着运用Galerkin方法和正则性定理能建立“线性方程组”（7）～（12）的解的局部存在性和整体存在性．

5 定理的证明

基于局部存在性定理和整体存在性定理，我们再运用用经典的连续定理和命题2．1中的一致估计就能证明出定理2．1．

最后，利用不动点定理，“本质线性”方程组解的整体存在性定理，以及命题2．1中的一致估计，我们能容易地证明出定理1．1．

本文解决的是半平面上的Direchlet条件的MHD方程组的不可压极限问题，情况相对简单，如果是有界区域上的Direchlet边值问题，我们将不得不采用坐标变换的方法处理边界，情况会更见复杂．

另外，我们还可以考虑三维的情形．

［1］ZAJACZKOWSKI W M．On nonstationary motion of a compressible baratropic viscous fluids with boundary slip condition［J］．Journal Application Analysis，1998，4：167－204．

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［责任编辑：王景周］

Low mach number limit of the non-isentropic magnetohydrodynamic equations with the Dirichlet bounded conditions

XU Zili，SUN Zhengying，WANG Shu
（1．College of Applied Sciences，Beijing University of Technology，Beijing 100124；2．College of Information Engineering，Zhong Zhou University，Zhengzhou 450044，China）

The incompressible limit of the non-isentropic magnetohydrodynamic equations with the Dirichlet bounded conditions for velocity and for magnetic field in the half plane was studied．Under the premise of the initial data that is well-prepared，the uniform estimates，which exclude the estimate of high-order derivatives of the velocity in the normal directions to the boundary，are estimated within a short time interval independent of Mach number ε∈（0，1）．

Low Mach number limit；Dirichlet conditions；Non-isentropic；MHD equations

O175．29

A

1000－9965（2015）01－0081－08

10．11778／j．jdxb．2015．01．015

2014－09－21

国家自然科学基金资助项目（11371042）；北京市自然科学基金资助项目（1132006）

徐自立（1974－），博士研究生，副教授，研究方向：流体力学中的偏微分方程方面的研究，Mobile：13783443852，E-mail：xuzili102647＠sina．com