紧空间上的压和一类非紧压的关系

紧空间上的压和一类非紧压的关系

王威

(应天职业技术学院基础部,江苏 南京210023)

摘要：文章主要对动力系统中一类非紧致集合上拓扑压的性质进行分析,并讨论与紧致集合拓扑压的关系,及对平衡态存在问题进行研究。

关键词：变分原理;拓扑压;非紧集合;压函数

收稿日期：2014-11-12

作者简介：王威(1978-),男,硕士,讲师，主要研究方向为动力系统、遍历理论。

中图分类号：O189

Relationship Between Topological Pressure for Compact

Subset and Topological Pressure for Some Non-compact Subset

WANG Wei

(YingTian College,Nanjing,210023)

Abstract:The properties of certain non-compact subset of the topological pressure in dynamical system were analyzed, and then discussed the relationship between non-compact and compact subset of topological pressure, and the problems in equilibrium.

Key words:variational principle; topological pressure; non-compact sets; pressure function

1引言

动力系统中,熵和拓扑压出现引起了学者的浓厚兴趣。在反映系统复杂性的时候往往可以通过熵和压刻画得出重要的结果.上世纪70,80年代Bowen,Pesin[1]人将熵的概念从紧空间拓展到了非紧空间.Faloner[2]在混合排斥子上建立了次可加的变分原理。Barreira[3]在紧致空间中建立了任意非可加的变分原理。之后它成为拓扑动力系统研究中的热点和难点问题.进入二十一世纪,在非紧空间上拓扑压的工作吸引了很多数学家研究和探索.Cao[4,5,6], Feng[7],Climenhage[8], Mummert[9]得到了很多有价值的结论,并建立了非紧致集合上的变分原理,特别文献[4]在不加任何限定的条件得到了次可加函数列的变分原理。[10]讨论了非紧空间拓扑压函数的凸性。本文主要是在[10]的条件和结论的基础上进一步的讨论。

非紧集合的拓扑压的变分原理:若V(x)∩E(Z,T)≠φ,∀x∈Z,则对任意实值连续函数φ:X→R, 有P(Z,φ)=sup{h(T,μ)+∫Zφdμ:μ∈E(Z,T)}.

若φ=0, 即为非紧集的拓扑熵的变分原理. 若Z为紧致集合,则与经典变分原理一致. 2010年丰德军和黄文[7]定义了极限次可加函数并且给出了极限次可加函数序列下熵的变分原理.

相关的动力系统中的定义,读者可以查阅相关书籍或文献。

2本文需要用到的定义

本文涉及的主要概念有次可加函数列;极限次可加函数列;Lyapunov 指数;压函数等。详细的定义可以参见文献[10].

成立的μ的集合,若I(φ+qF,T)≠φ,则称I(φ+qF,T)中的元素为关于φ+qF的平衡态。

3几个引理

(1)

(2)

证明:首先证明I(φ+qF,T)非空。

对每个q>0,由命题3.1知,∃{μn}⊂M(X,T)使得

假设μ是{μn}的极限点,则由熵映射和F*的上半连续性及φ的连续性有

再由命题3.1得

即μ∈I(φ+qF,T)。

亦知I(φ+qF,T)中的极限点仍属于I(φ+qF,T),从而知I(φ+qF,T)是闭的,进而知I(φ+qF,T)是紧致的。

设μ是I(φ+qF,T)的端点,下证μ是遍历的,且μ也是M(X,T)的端点。

设μ1,μ2∈M(X,T),∃p>0使得μ=pμ1+(1-p)μ2。又有

所有

利用命题3.1知μ1,μ2∈I(φ+qF,T),μ是I(φ+qF,T)的端点,所以μ=μ1=μ2,即μ也是M(X,T)的端点。所以μ是遍历的。

下证P(φ+qF)的导数形式,固定q>0,取μ∈I(φ+qF,T),对∀t>-q

所以P(φ+(q+t)F)-P(φ+qF)≥tF*(μ)。

故有P′(φ+(q+)F)≥F*(μ)和P′(φ+(q-)F)≤F*(μ)

由μ的任意性知

(3)

(4)

所以P′(φ+qF)存在时,对∀μ∈I(φ+qF,T)有

对于(3.1)只需证明存在ν∈I(φ+qF,T)使得

因为P(φ+qF)是(0,+∞)内的凸函数,所以∃{qn}↓q,使得对每个n,P′(φ+qnF)存在,且

选取νn∈I(φ+qF,T),ν是{νn}的极限点,不失一般性,我们有νn→ν,则

所以ν∈I(φ+qF,T),且

由(3.3)及上式可得(3.1).同理可得(3.2).

引理3.2:对任意实数r,Ir(φ+tF,T):={ν∈I(φ+qF):F(ν)=r}是凸的紧的。

证明:设ν1,ν2∈Ir(φ+tF,T),p∈(0,1),则F*(ν1)=F*(ν2)=r。

设ν=pν1+(1-p)ν2。由I(φ+qF,T)是的凸性知

ν=pν1+(1-p)ν2∈I(φ+qF,T),pF*(ν1)+(1-p)F*(ν2)=r=F*(ν)

Ir(φ+tF,T):={ν∈I(φ+qF):F(ν)=r}是凸的。

下证紧的。设{νn}⊂Ir(φ+tF,T),νn→ν⊂M(X,T),由上半连续性

hν(T)+∫φdν+tF*(ν)≥

=P(φ+qF)

由命题3.1知ν∈I(φ+qF),而且hν(T)=hνn(T)=P(φ+qF)-tr-∫φdν,

F*(νn)=F*(ν)=r,所以ν∈Ir(φ+tF)。即Ir(φ+tF)是紧的。

得证。

4本文的主要结果

(1) 对于任意的α=P′(φ+F(t+))或α=P′(φ+F(t-)), 则EF(α)≠φ,且

其中P′(φ+F(t+)),P′(φ+F(t-))分别表示P(φ+qF)关于q在t处的右左导数,P(φ+qF)=PX(T,φ+qF).当α=P′(+∞)时上式也成立;

P′(φ+tF)=hμ(T)+∫φdμt

=infq>0{P(φ+qF)-P′(φ+qF)q}

由命题3.1知ν1,ν2∈I(φ+qF,T),由引理3.1知

同时

所以α=F*(ν1)=F*(ν2)。从而ν1,ν2∈Iα(φ+qF,T)。又由ν是Iα(φ+tF,T)的端点,所以ν=ν1=ν2,那么ν也是M(X,T)的端点。即ν是遍历的。

同理可证,Iβ(φ+tF,T)也包含遍历测度。

由Kingman Sub-additive 定理有ν(EF(α))=1。所以由命题3.2

另一方面,由推论4.1[10]

当α=P′(+∞)时,

(5.1)

由定理3.1(3)[10]知

存在μn→μ∈M(X,T),使得

由定理3.1(1)[10]知

所以等式(5.1)成立。所以(1)得证。

证明(2)

由(1)和等式(5.1)及定理3.1(3)[10]可得。

证明(3)

假设t>0,使得φ+tF有唯一的平衡态μt,则由引理3.1

由(1)(2)可得(3)成立。

综上所述,定理4.1得证。

参考文献

1Y. Pesin, B. Pitskel, Topological pressure and thevariational principle foe noncompact sets, {Funktsional. Anal. I Prilozhen}, 1984 (4): 50-63 (in Russian).

2K.J.Falconer, A subadditive thermodynamic formalism for mixing repellers, J.Phys. A. 1988 (21):737-742.

3L. Barreira, A non-additive thermodynamic formalism and applications to dimension theory of hyperbolic dynamical systems, Ergodic Theory Dynam, 1996(16),871-927.

4Y.Cao, D. Feng,W.Huang.The thermodynamic formalism for sub-additive potentials,Discrete Contin.Dyn.Syst., 2008 (20),639-657.

5Y.Zhao and Y.Cao,Measure-theoretic pressure for subadditive potentials,Nonlinear analysis, 2009 (70),2237-2247.

6W.Cheng,Y.Zhao and Y.Cao, Pressures for asymptotically subadditive potentials under a mistake function,Discrete Contin.Dynam.Syst.Ser.A, 2012 (32):487-497.

7D.J.Feng,W.Huang, Lyapunov spectrum of asymptoticallysub-additive potentials. Commun. Math. Phy, 2010(297):1-43.

8V. Climenhage, Bowen’s equation in the non-uniform setting, Ergodic Theory and Dynamical Systems, 2011 (31):1163-1182.

9A.Mummert, Thermodynamic formalism for almost-additive sequences, discrte contin. dyn. syst. 2006 (16):435-454.

10王威,陈明朋 非紧拓扑压函数的性质 安徽建筑工业学院学报2014,22(1):86-90.