对流占优扩散方程的一种新C—N 紧致差分格式

冯立伟+席伟

摘要：给出了对流扩散方程一种新的C-N紧致差分格式，其截断误差为时间二阶空间四阶，且为无条件稳定的。编制了MATLAB程序，数值试验表明了格式的有效性。

关键词：对流扩散方程；紧致格式；C-N格式

中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）30-0173-04

A New C-N Compact Difference Scheme for Solving Convection-Diffusion Equation

FENG Li-wei1，XI Wei2

（1. ShenYang University of Chemical Technology ， Shenyang 110142， China； 2. ShenYang University of Chemical Technology ， Shenyang 110142， China）

Abstract： It gives a new C-N compact finite difference scheme for solving Convection-diffusion equation. Its error is two order in time and four order in space， and is unconditionally stable， and writes MATLAB programs. Finally， a numerical experiment shows the effectiveness of the scheme.

Key words：convection-diffusion equation； compact scheme；C-N scheme；

对流扩散方程描述了在自然界中大量出现的对流和扩散现象，在流体力学、环境科学以及能源开发等诸多领域有着广泛的应用。因此研究对流扩散问题的数值计算方法就尤为重要[1-3]。田振夫、葛永斌等[4-6]使用Hennite 插值思路给出了求解对流扩散方程的空间四阶差分格式。杨志峰和陈国谦等[7-9]使用综合变换建立了求解对流扩散方程的一种两层隐式四阶紧致差分格式。肖建英等[10]通过引入指数变换造了一种高精度的紧致隐式差分格式，本文采用指数变换将含源项的对流扩散方程变为纯扩散方程，扩散项使用pade逼近的紧致差分离散，时间层上采用C-N格式，得到了一种不同于[10]文的新紧致差分格式。

1 差分格式的建立

一维对流占优扩散方程

[?u?t+a?u?x=ε?2u?x2+fx，t] （ 1 ）

对[x-t]平面进行矩形网格剖分，分别取[h，τ]为空间步长与时间步长， [xj=jh ]，[tk=kτ ]

作指数变换[u=vea2εx-a24εt]，对流扩散方程变为扩散方程

[?v?t=ε?2v?x2+F] （ 2 ）

其中[F=ea24εt-a2εxf]

下面对（ 2 ）式推导差分格式

把[δ2x1+h212δ2xvn+1/2j=?2v?x2n+1/2j+Oh4]代入式（2）得到

[δ2x1+h212δ2xvn+1/2j=1ε?v?t-Fn+1/2j+Oh4]

即

[δ2xvn+1/2j=1ε?v?t-Fn+1/2j+h212εδ2x?v?t-Fn+1/2j+Oh4] （ 3 ）

将右端偏导项离散

[?v?tn+1/2j=δtvn+1/2j+Oτ2]，

[δ2x?v?tn+1/2j=?3v?t?x2n+1/2j+Oh2=?3v?x2?tn+1/2j+Oh2 =δt?2v?x2n+1/2j+Oτ2+h2=δtδ2xvn+1/2j+Oτ2+h2]

将上两式代入（ 3 ）式得

[δ2xvn+1/2j=1εδtvn+1/2j+h212εδtδ2xvn+1/2j-1εFn+1/2j-h212εδ2xFn+1/2j+Oτ2+h2]

即

[ε2δ2xvn+1j+δ2xvnj=δtvn+1/2j+h212δtδ2xvn+1/2j-12Fn+1j+Fnj-h224δ2xFn+1j+δ2xFnj+Oτ2+h2]令[ετh2=r]，略去高阶无穷小项后得差分格式

[Aj-1vn+1j-1+Ajvn+1j+Aj+1vn+1j+1=Bj-1vnj-1+Bjvnj+Bj+1vnj+1+Cj] （4）

其中

[Aj-1=1-6r，Aj=10+12r，Aj+1=1-6r]

[Bj-1=1+6r，Bj=10-12r，Bj+1=1+6r]

[Cj=τ2Fn+1j+1+10Fn+1j+Fn+1j-1+Fnj+1+10Fnj+Fnj-1]

利用反变换[v=uea24εt-a2εx]得到对流扩散方程的C-N紧致差分格式

[Aj-1Un+1j-1+AjUn+1j+Aj+1Un+1j+1=Bj-1Unj-1+BjUnj+Bj+1Unj+1+Cj] （5）

其中

[Aj-1=1-6rea2τ4ε+ah2ε，Aj=10+12rea2τ4ε，Aj+1=1-6rea2τ4ε-ah2ε]

[Bj-1=1+6reah2ε，Bj=10-12r，Bj+1=1+6re-ah2ε]

[Cj=τ2ea2τ4ε-ah2εfn+1j+1+10ea2τ4εfn+1j+ea2τ4ε+ah2εfn+1j-1+e-ah2εfnj+1+10fnj+eah2εfnj-1]

其中[k=1，2，…，N-1， j=1，2，…，M-1]。

由上面的推导得到

定理1 对流扩散方程（1）的C-N紧致差分格式（5）的截断误差为[O（τ2+h4）]

2 数值特性

定理2 对流扩散方程（1）的C-N紧致差分格式（5）是无条件稳定的

证明：差分格式（4）对应的齐次差分格式为

[Aj-1vn+1j-1+Ajvn+1j+Aj+1vn+1j+1=Bj-1vnj-1+Bjvnj+Bj+1vnj+1]

以[vnj=Vnexpikxj]代入上式消去公因子[expikxj]得

[Vn+11-6reikh+e-ikh+10+12r=1+6reikh+e-ikh+10-12rVn]

得到增长因子为

[G=10-12r+1+6r2coskh10+12r+1-6r2coskh=10+2coskh-12r1-coskh10+2coskh+12r1-coskh]

[G≤1]，差分格式（4）是无条件稳定的，所以差分格式（5）也是无条件稳定的

3 差分格式的计算

将差分格式（5）改写成便于计算的形式，并代入边界条件后，得到

[A0A1A-1A0A1???A-1A0A1A-1A0 Un+11Un+12?Un+1M-2Un+1M-1=B0B1B-1B0B1???B-1B0B1B-1B0 Un1Un2?UnM-2UnM-1+Cn1+B-1Un0-A-1Un+10Cn2?CnM-2CnM-1+B1UnM-A1Un+1M][Cn1Cn2?CnM-2CnM-1=τ2C0C1C-1C0C1???C-1C0C1C-1C0 fn+11fn+12?fn+1M-2fn+1M-1+D0D1D-1D0D1???D-1D0D1D-1D0 fn1fn2?fnM-2fnM-1+D-1fn0+C-1fn+100?0D1fnM+C1fn+1M]因为差分格式系数矩阵为对角占优阵，所以差分方程的解存在且唯一。

4 数值实验

使用前面的差分格式（5）求解下面的对流扩散方程的初边值问题。定义网格点[xj，tn]上的误差[enj=u（xj，tn）-Unj]，使用指标 [en2=1Mj=1Menj2]来度量第[n]个时间层上的总体误差。

算例1：

[?u?t+?u?x=ε?2u?x2，x，t∈-1，1×0，1]，

该问题的准确解为[u（x，t）=exp1εx+1-1εt]

相应的初边值条件为

[u（x，0）=expxε]，[u（0，t）=exp1-1εx，u（1，t）=exp1ε+1-1εt]

取[ε=0.1]，空间网格步长为[h=0.1]，时间网格步长为[τ=0.01]，计算结果绘制成图像如下：

例2，考虑以下一维常系数模型问题

[?u?t+a?u?x=ε?2u?x2+fx，t∈0，1×0，Tu（x，0）=sinπx 0≤x≤1u（0，t）=0，u（1，t）=0 0≤t≤1]

解析解设为[u（x，t）=e-tsinπx]，右端函数由解析解确定

取[a=1，ε=0.1]，空间和时间网格步长[h =0.1，τ=0.01]，计算到[t=2]。

5 结论

通过上述两个数值实验，可看出本格式可实现对流扩散方程的求解。

参考文献：

[1] 王同科.一维对流扩散方程C-N特征差分格式[J].应用数学，2001，14（4）：55-60.

[2] 王文洽. 变系数对流扩散方程的交替分段Crank-Nicolson方法[J]. 应用数学和力学，2004，24（1）：29-36.

[3] 由同顺. 对流扩散方程的本质非振荡特征差分方法[J]. 应用数学， 2000，13（4）：89-94.

[4] 田振夫.一维对流扩散方程的四阶精度有限差分法[J].宁夏大学学报：自然科学版，1995，16 （1）： 30-35.

[5] 葛永斌，田振夫，詹咏，等.求解扩散方程的一种高精度紧致隐式差分方法[J].上海理工大学学报，2005， 27（2）：107-110.

[6] 葛永斌，田振夫，吴文权.含源项非定常对流扩散方程的高精度紧致隐式差分方法[J].水动力学研究与进展（辑），2006， 121（5）：619-625.

[7] 杨志峰，陈国谦.含源扩散方程的一种高精度差分方法[J].北京师范大学学报：自然科学版，1992，28（3）： 315-316

[8] 杨志峰，陈国谦.含源汇非定常对流扩散问题紧致四阶差分格式[J].科学通报，1993，38 （2）：113-116.

[9] 王煊，杨志峰. 基于非均匀网格求解非线性对流扩散问题的一种高精度差分格式[J].北京师范大学学报，自然科学版，2003，39（1）：131-137.

[10] 肖建英 刘小华 李永涛.非定常对流扩散方程得高阶差分格式[J]. 西南石油大学：自然科学版，2012，34（3）：145-149.