标准Ⅱ型马蹄形断面水面线的积分算法

标准Ⅱ型马蹄形断面水面线的积分算法

张志昌，贾斌

(西安理工大学 水利水电学院，西安710048)

摘要：标准Ⅱ型马蹄形断面由于几何形状复杂，水面线的计算较为困难，研究其工程设计中的简化计算方法是完全必要的。根据标准Ⅱ型马蹄形断面的几何关系分析了标准Ⅱ型马蹄形断面不同区域内相对断面面积、相对湿周、相对水力半径、相对水深和相对水面宽度的计算方法。根据明渠恒定非均匀流水面线的微分方程，给出了标准Ⅱ型马蹄形断面水面线的分段试算法公式。根据最小二乘法拟合原理，给出了j′，Fr′2与相对水深h/r1的近似关系，并以此关系给出了标准Ⅱ型马蹄形断面水面线的积分公式，积分公式为显函数关系式，计算方便。通过3个算例比较了试算法和积分法的结果，其中试算法的步高取为1 mm，积分法与试算法相比，最大误差为0.965%，计算精度满足工程设计要求。

关键词：标准Ⅱ型马蹄形断面；明渠；水面线；分段试算法；积分法

中图分类号：TV131 文献标志码：A

收稿日期：2013-12-02；修回日期：2013-12-16

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51308091)；国家“十二五”科技计划支撑项目(2011BAB10B05)；中央高校基本科研业务费资助项目；归国留学人员科研启动基金资助项目

作者简介：赵红华(1977-)，女，山东郓城人，讲师，博士，主要从事岩土与环境力学问题研究，(电话)0411-84706036(电子信箱)zhaoh@dlut.edu.cn。

DOI:10.3969/j.issn.1001-5485.2015.04.013

1研究背景

棱柱体明渠水面线的计算是明渠边墙高度设计的重要依据。明渠水面线的计算方法主要有分段试算法、数值积分法、水力指数法和简化计算方法等。分段试算法实际上是将水面线的微分方程变为差分方程，由于不需借助图表而在工程中广泛应用[1]，但分段试算法计算过程比较复杂，计算精度与所取的断面水深或流段长度有关[2]。数值积分法常用矩形法、梯形法或辛普生法进行近似计算[3]。水力指数法和简化计算方法中的参变量需借助表格查算，操作起来比较麻烦。近年来，为了简化水面线的计算，人们进行了各种尝试。文献[4]对水面线计算的水力指数法采用级数解，在求解时需先判断水面曲线的类型，再利用相应的级数解公式进行分段计算，计算过程比较复杂。文献[5]对分段试算法公式改造为迭代计算公式，适应于矩形和梯形断面的水面线计算，不适应于复杂断面水面线的计算。文献[6]采用牛顿迭代法计算水面线，文献[5]认为，该方法只能求解矩形渠道和宽浅河道, 且存在函数表达式复杂, 计算精度不高, 初值选择受限等问题。文献[7]基于恒定渐变流基本微分方程，采用数值分析理论，得到圆形断面流程与始、末端水深的解析函数。文献[8]采用与文献[7]同样的分析方法，得到了梯形断面恒定渐变流水面线的解析解。文献[9]采用龙格-库塔法计算明渠水面线，但该文算例中的计算过程不符合水面线计算的原则，该方法值得商榷。文献[10]研究了六圆弧蛋形断面水面曲线的简化计算方法，该方法通过积分可以直接计算水面曲线，是一种值得借鉴的方法。文献[11]仍采用文献[7]的方法计算标准Ⅰ型马蹄型断面的水面线。

由以上综述可以看出，明渠水面线的计算方程比较复杂，近年来采用的迭代法、积分法、级数解法仅限于矩形或梯形相对简单的断面。对于断面形状比较复杂的马蹄形断面，目前只有标准Ⅰ型马蹄形断面的积分计算方法，对于标准Ⅱ型马蹄形断面，尚未看到水面线计算的新方法。因此，本文根据明渠恒定非均匀流水面线的微分方程，通过优化拟合给出了标准Ⅱ型马蹄形断面水面线的积分方程，以降低分段试算的难度。

2标准Ⅱ型马蹄形断面的结构形式

图1　标准Ⅱ型马蹄形断面 Fig.1　Horseshoe cross section of standard type-Ⅱ

标准Ⅱ型马蹄形断面如图1所示，它由底部的弓形、两侧的扇形和上部的半圆形组成。弓形、两侧的扇形半径均为2r，上部半圆形的半径为r，下部弓形的圆心角为2α，侧面扇形的圆心角为α，α=24.295 19°。标准Ⅱ型马蹄形断面的水深可能有3种情况，一是水深处于图1中的ab线以下(含ab线)；二是水深处于图1中的ab线与ef线之间(含ef线)；三是水深处于图1中的ef线以上。第1种情况出现的可能性很小。第3种情况的水深不会充满拱顶，因《水工隧洞设计规范》规定，洞内水面线以上的富余空间面积不宜小于隧洞断面面积的15%，净空高度不应小于0.4 m，洞内水面线以上的富余空间应该控制在此区域内。

3标准Ⅱ型马蹄形断面水力参数计算

3.1　水深处于图1中的 ab线以下(含 ab线)

此时水深处于底部弓形断面内，相对断面面积、相对湿周、相对水力半径、相对水深和相对水面宽度分别为

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：A为断面面积；χ为湿周；h为水深；φ为水深h时的半圆心角，0<φ≤24.295 19°；R为水力半径；B为水面宽度。

3.2　水深处于图1中的 ab与 ef线之间(含 ef线)

A/r2=0.196 124 2+4(β-sinβ)+[2cos(α-β)-

0.177 124 3][0.822 875 64-2sin(α-β)]；

(6)

χ/r=4α+4β；

(7)

(8)

h/r=1-2sin(α-β)；

(9)

B/r=4cos(α-β)-2。

(10)

式中0<β≤24.295 19°。

3.3　水深处于图1中的 ef线以上

A/r2=1.746 497 03+θ+sinθcosθ；

(11)

χ/r=3.392 25+2θ；

(12)

(13)

h/r=1+sinθ；

(14)

B/r=2cosθ。

(15)

式中0<θ<90°。

4水面线的计算

4.1　试算法

标准Ⅱ型马蹄形断面水面线的计算仍用明渠恒定非均匀流的水面线的差分公式，该公式为

(16)

Es=hcosω+Q2/(2gA2)。

(17)

式中：h为断面水深；ω为渠底与水平面的夹角；Q为流量；A为断面面积；g为重力加速度。

(18)

将式(17)、式(18)代入式(16)，对于一般明渠，底坡很小，cosω≈1，则

(19)

对于标准Ⅱ型马蹄形断面，水面曲线的计算公式(19)可以写成下面的形式，即

(20)

由式(20)可以看出，只要知流量、渠道的粗糙系数、渠道某一断面的水深和面积，然后假定另一断面的水深，判断计算区域，用上面求出的A/r2和R/r代入式(20)就可以分段计算标准Ⅱ型马蹄形断面的水面线。式(20)为差分方程，计算的精度与所选取的水深或长度有关，计算时长度不可取太长，否则会造成较大的误差。

4.2　积分法

水面曲线的微分方程为

(21)

式中：Fr为弗劳德数，Fr2=Q2/(gA3/B)；j=n2Q2/(A2R4/3)=n2Q2χ4/3/A10/3。

标准Ⅱ型马蹄形断面的水面宽度可以根据水深的不同，分别选用式(5)或式(10)或式(15)计算。水力坡度和弗劳德数可以写成：

(22)

(23)

将式(22)和式(23)代入式(21)得

(24)

令a=ir16/3/(n2Q2)，b=gr5/Q2，代入上式可得

(25)

表1　积分计算参数 Table 1　Parameters of integral calculation

由标准Ⅱ型马蹄形断面水力参数的计算可以看出，B/r,A/r2和χ/r均为h/r的函数， Fr′2和j′也应为h/r的函数，经分析Fr′2和j′与1/(h/r)2的关系如图2所示，可以看出，Fr′2和j′随着1/(h/r)2的增大而增大，为抛物线型关系，可以表示为:

(26)

(27)

图2　Fr′ 2和j′与1/(h/r) 2的关系 Fig.2　Relationship between Fr′ 2, j′ and 1/(h/r) 2

对图中的关系进行拟合，得到式(26)、式(27)中的系数，见表1。

经分析，在表1的适用范围内，j′的最大误差为2.158%，平均误差为0.219%，Fr′2的最大误差为1.39%，平均误差为0.169%。

将式(26)和式(27)代入式(25)得水面曲线的积分关系为：

(28)

(29)

5水面线计算中所遇问题的处理

在判断水面线的类型时，必须知道渠道的正常水深和临界水深。对于正常水深，文献[12]和文献[13]都给出了不同水深时的迭代公式，但这些公式均比较复杂，本文利用数据处理软件1stOpt，给出标准Ⅱ型马蹄形断面正常水深的显函数计算公式，已知正常水深求流量时：

当0

(30)

当0.25

(31)

已知流量求正常水深时：

(32)

(33)

(34)

式(30)、式(31)的最大误差为1.025%，平均误差为0.093%，式(32)、式(33)、式(34)的最大误差为1.114%，平均误差为0.225%。

对于临界水深，吕宏兴给出了迭代公式，王正中和张宽地给出了直接计算公式，这里用张宽地公式[13]计算临界水深。

在计算隧洞水面曲线时，当隧洞水流为急流时，需先计算隧洞进口收缩断面的水深，文献[14]给出了计算收缩断面水深的计算公式为

(35)

式中:H0为上游引渠的总水头；hc为收缩断面水深；Ac为收缩断面的面积；A0为引渠断面的面积;ξ为局部阻力系数，其值可查参考文献[1]。对于标准Ⅱ型马蹄形断面，相对断面面积与相对水深的关系可以用式(1)、式(6)或式(11)计算，为了计算方便，拟合了相对断面面积和相对水深的关系为:

当0

(36)

当0.2

(37)

式(36)、式(37)的最大误差为0.79%，平均误差为0.156%。

6算例

下面用3个算例来说明积分公式的正确性，一个是水深处于图1中的ef线以上，一个是水深处于图1中的ab线与ef线之间，最后一个是水深从ef线以上过渡到ef线以下的3种情况。

6.1　算例1

某引水式电站输水隧洞断面为标准Ⅱ型马蹄形断面，已知r=1.5 m，底坡i=0.013 1，粗糙系数n=0.015，上游引渠宽15 m，引渠的过水断面面积A0为51.83 m2，喇叭形进口，进口局部阻力系数ξ=0.1，上游进口高程为100 m，水面高程为103.455 m，流量Q=26.22 m3/s，隧洞长1 000 m，试计算沿程水面曲线。

解：

求临界水深，k=[2Q2/(gr5)]1/3=2.644，由张宽地公式求得hk=2.135 m。

经验算，正常水深的理论值为1.538 m，误差为0.52%。

假设隧洞进口相对水深0.2

由以上计算可以看出，h

6.1.1试算法

因为水深的计算范围在1.8 ～1.56 m之间，水深在图1中的ef线以上，所以计算时相对面积用式(11)计算，相对水力半径用式(13)计算，θ用式(14)计算，将相对面积、相对水力半径、流量、底坡、粗糙系数、半径代入式(20)，计算的步高间隔取为1 mm，计算水面线长度为175.04 m。

6.1.2积分法

计算得h/r的范围为1.04 ～1.2，查表1可知，取0.8≤h/r≤1.35段的系数进行计算,计算水面线长度为176.73 m，与试算法相差为0.965%。

6.2　算例2

万家寨引黄工程南干1号隧洞的坡降为i=1/1 500，n=0.014，r=2.12 m，流量为8.6 m3/s，计算水面线，已知下游控制断面水深为1.6 m。

解：

可以看出，正常水深大于临界水深，为壅水曲线，由下游至上游计算，计算时，取下游控制断面水深为1.6 m，上游控制断面水深为h0=(1+1%)h=1.485 m。

6.2.1试算法

水深计算范围在1.6 ～1.485 m之间，处于图1中ab线与ef线之间，所以计算时相对面积、相对水力半径和β分别用式(6)、式(8)和式(9)计算，将计算结果和流量、底坡、粗糙系数、半径代入式(20)，计算的步高间隔取为1 mm，计算水面线长度为1 275.29 m。

6.2.2积分法

计算得h/r的范围为0.700 5 ～0.754 7，查表1可知，取 0.4≤h/r≤0.8段的系数进行计算,计算水面线长度为1 279.9 m，与试算法相差为0.361%。

6.3　算例3

某工程输水隧洞用标准Ⅱ型马蹄形断面，已知r=1.5，i=1/1 000，n=0.014，Q=5.0 m3/s，取下游控制断面为1.7 m，计算水面线。

可以看出，正常水深大于临界水深，为壅水曲线，由下游至上游计算，计算时，取下游控制断面水深为h1=1.7 m，上游控制断面水深为h0=(1+1%)h=1.171 6 m。由于h0/r<1，h1/r>1，所以计算要分为2个部分。

6.3.1试算法

当h/r>1时，即计算范围为1.7 ～1.5 m，水深在图1中ef线之上，计算过程与算例1相同，计算的步高间隔取为1 mm，计算结果为287.0 m。当0.25

6.3.2积分法

计算得h/r的范围为0.781 ～1.133，根据表1中的分段范围，需分为0.781 ～0.8，0.8 ～1.133两段计算，查表1可知，取0.4≤h/r≤0.8段与0.8≤h/r≤1.35段的系数进行计算,计算结果分别为343.07 m与1 075.4 m，相加得1 418.47，与试算法相差为0.085%。

图3为分段试算法与积分法的计算结果比较图。由图3可以看出，积分法的计算值完全处在分段试算法的曲线上，由此说明本文提出的积分法是可行的，而且计算简单，精度符合工程设计需要，解决了标准Ⅱ型马蹄形断面水面线计算繁琐的问题。

图3　分段试算法与积分法 计算结果比较 Fig.3　Comparison of calculated results between trial-and-error method and integral method

7结语

本文详细推导了标准Ⅱ型马蹄形断面相对面积、相对湿周、相对水力半径、相对水深和相对水面宽度的计算公式。给出了分段试算法和积分法2种计算水面线的方法，为了方便地判断水面线的类型，还给出了正常水深的简化计算方法。通过算例可以看出，积分法计算简单，精度满足设计要求。但在用积分公式计算时需注意，当水深接近临界水深时，弗劳德数趋近于1，此时积分方程的分子趋近于零，流线弯曲很大，已不属渐变流动，积分遇到困难，这时应用分段试算法更为可行。

参考文献：

[1]张志昌. 水力学(下册)[M]. 北京：中国水利水电出版社，2011. (ZHANG Zhi-chang. Hydraulics (Volume 2)[M]. Beijing: China Water Power Press, 2011. (in Chinese))

[2]张良然.明渠水面曲线的简化计算[J]. 南昌大学学报，2002，24(2)：66-69. (ZHANG Liang-ran. A Simplified Calculation of Open Channel’s Water Surface Curve[J]. Journal of Nanchang University (Engineering & Technology), 2002, 24(2): 66-69. (in Chinese))

[3]清华大学水力学教研组.水力学(下册)[M]. 北京：人民教育出版社，1981. (Hydraulics Research Team of Tsinghua University. Hydraulics(Volume 2)[M]. Beijing: People’s Education Press, 1981. (in Chinese))

[4]张邦朝，赵中丽.棱柱体明渠水面曲线的级数解法[J]. 云南农业大学学报，2002，22(2)：917-920. (ZHANG Bang-chao, ZHAO Zhong-li. Method on the Progressional Value of the Water Surface Line Which Lie in Prismatic Channel and the Application of It[J]. Journal of Yunnan Agricultural University, 2002, 22(2): 917-920. (in Chinese))

[5]张建民，王玉蓉，许唯临，等.恒定渐变流水面线计算的一种迭代方法[J]. 水利学报，2005，36(4)：501-504. (ZHANG Jian-min, WANG Yu-rong, XU Wei-lin,etal. New Iteration Method for Calculating Water Level of Gradually Varied Steady Flow[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2005, 36(4): 501-504. (in Chinese))

[6]任苇, 郝秀运.明渠水面线能量方程的牛顿迭代法求解[J]. 西北水资源与水工程学报，2002，13(4)：60-61. (REN Wei, HAO Xiu-yun. Calculation of Water Surface Profile for Open Channel with Newton Iteration[J]. Journal of Water Resources and Water Engineering, 2002, 13(4): 60-61. (in Chinese))

[7]黄朝煊.圆形无压隧洞恒定渐变流水面线计算的近似法[J]. 灌溉排水学报，2012，31(5)：113-116. (HUANG Chao-xuan. New Analysis Method of the Water Surface Curve Computation about the Constant and Gradually Varied Flow in the Circular Section Tunnel under Free Flow[J]. Journal of Irrigation and Drainage, 2012, 31(5): 113-116. (in Chinese))

[8]黄朝煊.梯形渠道恒定渐变流水面线计算的新解析法[J]. 长江科学院院报，2012，29(11):46-49. (HUANG Chao-xuan. A New Analytical Method of Computing Water Surface Curve of Constant and Gradually Varied Flow in Trapezoidal Channel [J]. Journal of Yangtze River Scientific Research Institute, 2012,29(11): 46-49. (in Chinese))

[9]霍倩，李广晶.龙格-库塔法计算明渠恒定渐变流水面线[J].水文，2011，31(1)：22-25. (HUO Qian, LI Guang-jing. Calculation of Water Surface Profile of Gradually Varied Steady Flow in Open Channel with Runge-Kutta Method[J]. Journal of China Hydrology, 2011, 31(1): 22-25. (in Chinese))

[10]滕凯，李新宇.六圆弧蛋形断面无压隧洞水面线解析计算模型[J]. 水资源与水工程学报，2013,24(4)：174-179. (TENG Kai, LI Xin-yu. Calculation Model of Water Surface Line Analysis in Tunnel of Six Circular Egg-shaped Section without Pressure [J]. Journal of Water Resources & Water Engineering, 2013,24(4):174-179. (in Chinese))

[11]黄朝轩.马蹄形无压隧洞恒定渐变流水面线计算的新解析法[J]. 中国农村水利水电，2012, (10)：91-94. (HUANG Chao-xuan. A New Analytic Method of Water Surface Curve Computation about Constant and Gradually Varied Flows in the Horseshoe Section Tunnels under Free Flows[J]. China Rural Water and Hydropower, 2012, (10): 91-94. (in Chinese))

[12]吕宏兴，辛全才，花立峰. 马蹄形过水断面正常水深的迭代计算[J]. 长江科学院院报，2001，18(3)：7-10. (LV Hong-xing，XIN Quan-cai, HUA Li-feng. Calculation on Normal Depth of Horseshoe Cross Section by Iterative Method[J]. Journal of Yangtze River Scientific Research Institute, 2001,18(3):7-10. (in Chinese))

[13]张宽地，吕宏兴，陈俊英.马蹄形过水断面临界水深的直接计算法[J].农业工程学报，2009,25(4)：15-18. (ZHANG Kuan-di, LV Hong-xing, CHEN Jun-ying. Direct Calculation of Critical Depth of Horseshoe Section Tunnel[J]. Transactions of the CSAE, 2009, 25 (4): 15-18. (in Chinese))

[14]成都科学技术大学水力学教研室编. 水力学(下) [M].北京：人民教育出版社, 1979. (Hydraulics Teaching and Research Team of Chengdu University of Science and Technology. Hydraulics (Volume 2)[M]. Beijing: People’s Education Press, 1979. (in Chinese))

(编辑：刘运飞)

Integral Algorithm for Water Surface Profile of Horseshoe CrossSection of Standard TypeⅡ

ZHANG Zhi-chang, JIA Bin

(Institute of Water Resources and Hydro-electric Engineering, Xi’an University of Technology,

Xi’an710048, China)

Abstract:The complex geometrical shape of standard type-II horseshoe cross section makes it difficult to calculate the water surface profile in it. It is necessary to work out a simplified calculation method for engineering design. According to the geometrical shape, the calculation methods of relative cross section area, relative wetted perimeter, relative hydraulic radius, relative water depth and relative width of water surface in different areas of standard type-II horseshoe cross section are given. Furthermore, according to differential equation of water surface profile in open-channel with constant non-uniform flow, the trial-and-error method of flow profile is given. On the basis of least square method, the approximation relationship between j′, Fr′2 and relative depth h/r1 are given, and according to the relationship, the integral formula of water surface profile which is an explicit function with convenient calculation and high accuracy is obtained. The trial-and-error method and the integral method are applied to three examples and comparison between the results shows that the calculation accuracy of integral method meets the requirement of engineering design. The maximum error of integral method is 0.965% compared with the trial-and-error method with 1 mm step high.

Key words: standard type-II horseshoe cross section; open channel; water surface profile; trial-and-error method; integral method

2015,32(04):65-70