一类计算机病毒模型的稳定性及分支分析

一类计算机病毒模型的稳定性及分支分析

王宏伟，胡志兴，孙德顺

(北京科技大学 数理学院,北京 100083)

摘要：研究了一类具有时滞和潜伏期的计算机病毒模型。通过分析模型，得到了传播阈值R0，说明可以通过控制传播阈值来进一步控制计算机病毒的传播。利用微分方程理论分析了无病平衡点的全局稳定性和正平衡点的局部稳定性。考虑到时滞对系统的影响，得到了Hopf分支存在的条件。最后，通过数值模拟验证了所得结论的正确性。

关键词：计算机病毒;时滞;平衡点;稳定性;Hopf分支

基金项目：国家自然科学基金项目(61174209);北京科技大学冶金工程研究院基础研究基金项目(YJ2012-001)

作者简介：王宏伟(1987-),女,河北邢台人,硕士生;胡志兴(1962-),男,陕西汉中人,教授,博士,硕士生导师,主要从事非线性动力系统与混沌、生物数学等方面的研究.

收稿日期：2014-04-02

文章编号：1672-6871(2015)01-0043-05

中图分类号：O175.12

文献标志码：A

0引言

随着计算机网络技术的快速发展，网络病毒传播已经成为互联网安全的最大威胁。很多专家都将生物学病毒和杀毒软件结合在一起研究计算机病毒模型[1-3]。考虑到计算机之间的传输和恢复需要一定的时间，因此，一些文献研究了具有时滞的计算机网络模型[4-7]。上述文献主要考虑的是易感者、感染者、移出者(SIR)模型，而实际问题中的计算机在潜伏期也具有一定感染病毒的能力[8-9]，所以研究带有潜伏期和时滞的计算机病毒模型更具有实际意义。本文在文献[10]的基础上进行了研究。

1建立模型

将计算机分为易感染病毒的计算机S，带有潜伏病毒的计算机L，已感染病毒的计算机I，获得免疫的计算机R。建立带有时滞且感染率为非线性函数f(S,I)的模型如下:

(1)

假设:(H1)对任意的S>0,I>0，都有f(S,I)>0,f(0,I)=f(S,0)=fS(S,0)=0。

(H3)经过杀毒软件杀毒的计算机获得暂时性免疫。

(H4)初始时刻易感染计算机数为零，即S(0)=0。

(H5)N(t)=S(t)+L(t)+I(t)+R(t)表示所有计算机总数。

其中：(1-p)b表示易感染计算机的输入率；f(S,I)表示感染率；δ1表示部分易感染计算机直接获得免疫成为暂时性免疫计算机；δ2表示获得暂时性免疫的计算机重新感染病毒率；α表示潜伏期的计算机成为已感染计算机的感染率；k表示潜伏期计算机获得暂时免疫率；γ表示已感染计算机免疫率；pb表示直接获得暂时性免疫的计算机输入率；μ表示断网率。

引理1在假设(H1)和(H2)成立条件下，当R0>1时，系统(1)存在正平衡点E*=(S*,L*,I*,R*)。

证明根据系统(1)可以推出下式：

因此，存在正根S*使得g(S*)=0，再由系统(1)第4个式子推得存在正根R*。

综上所述，假设(H1)和(H2)成立条件下，当R0>1时，系统(1)存在正平衡点E*=(S*,L*,I*,R*)。

2无病平衡点E0全局稳定性分析

定理1当τ=0，R0<1时，无病平衡点E0全局渐近稳定。

证明因为N(t)≤b/μ且N′=b-μN≥0，所以N(t)为(0,+∞)上的增函数，即N(t)max=b/μ，

则由系统(1)可得：S′(t)≤(1-p)b+δ2N-(μ+δ1+δ2)S≤(1-p)b+δ2b/μ-(μ+δ1+δ2)S,

系统(1)降维并取极限系统，构造李雅普诺夫函数V=αL+(μ+α+k)I，则

(μ+γ)(μ+α+k)I(R0-1)<0。

3正平衡点E*局部稳定性分析及Hopf分支存在性

通过计算，系统(1)在正平衡点E*的特征方程为:

即

λ4+b1λ3+b2λ2+b3λ+b4+(b5λ3+b6λ2+b7λ+b8)e-λτ=0，

(2)

其中：b1=4μ+α+γ+k+δ1+fS(S*,I*)；

b2=6μ2+3μγ+(3μ+γ)(α+k+δ1)+δ1(α+k)+(2μ+α+γ+k)fS(S*,I*)+(μ-α)fI(S*,I*)；

b3=(2μ+δ1+fS(S*,I*))(μ2+μγ+αμ+αγ+kμ+kγ)+μδ1(α+γ+k)+

μ2(2δ1+2μ+α+γ+k)+(2μ2+μγ+μk-αδ1-αμ)fI(S*,I*)；

αμfI(S*,I*)(fS(S*,I*)-δ1)；

b5=δ2；b6=δ2(fS(S*,I*)+3μ+α+γ+k)；b7=δ2((μ+γ)(μ+α+k)+αfI(S*,I*))；

b8=δ2(μ+γ)(μ+α+k)(μ+fS(S*,I*))-αμδ2fI(S*,I*)。

当τ=0时，方程(2)变成λ4+c1λ3+c2λ2+c3λ+c4=0。其中：c1=b1+b5；c2=b2+b6；c3=

综上所述，得到下面的引理。

当τ>0时，令纯虚根λ=iω(ω>0)，代入方程(2)，并分离方程的实部和虚部得到:

(3)

将方程组(3)中两式做运算得到:

G(ω)=(ω4-b2ω2+b4)2+(b1ω3-b3ω)2-(b6ω2-b8)2-(b5ω3-b7ω)2=0，

(4)

从方程组(3)可以解出:

选择τ0=minτk，为了建立在τ=τ0点的Hopf分支情况，方程(2)两边对τ求导，得到：

解得

定理2在引理2，假设(H6)成立的前提下，可以得到以下结论:

(Ⅰ)当τ∈[0,τ0)时，系统(1)的正平衡点局部渐近稳定。

(Ⅱ)当τ=τ0时，系统(1)在正平衡点附近出现Hopf分支。

4数值模拟

(Ⅰ)给一组参数p=0.5，b=0.04，β=1，δ1=0.01，μ=0.01，δ2=0.1，α=0.4，k=0.2，γ=0.02。此时R0=0.040 8<1，验证了定理1的结论，相应的波形见图1。

(Ⅱ)给一组参数p=0.882 9，b=1.234 3，β=3.405 7，δ1=3.250 1，μ=0.032 1，δ2=4.410 5，α=0.878 1，k=4.780 6，γ=0.347 3，τ=0.8<τ0=1.375。通过计算得到R0=30.561 5>1，正平衡点局部渐近稳定，相应的波形见图2。

(Ⅲ)给一组参数p=0.882 9，b=1.234 3，β=3.405 7，δ1=3.250 1，μ=0.032 1，δ2=4.410 5，α=0.878 1，k=4.780 6，γ=0.347 3，τ=1.38>τ0=1.375。通过计算得到R0=30.561 5>1。当τ通过临界值τ0时，地方病平衡点E*失去稳定性，产生Hopf分支，即在E*附近出现稳定的周期解，见图3和图4。

图1 E0全局渐近稳定波形图图2 E*局部渐近稳定波形图图3 τ=1.38>τ0=1.375,系统(1)出现周期解 图4 τ=1.38>τ0=1.375时,周期解稳定

5结论

通过数值模拟，验证了传播阈值R0是网络中计算机病毒能否被控制的关键。当R0<1时，无病平衡点E0全局渐近稳定;当R0>1时，地方病平衡点E*局部渐近稳定。本文还研究了时滞τ对系统的影响，即当τ通过临界值τ0时，产生了Hopf分支，正平衡点附近出现稳定的周期解。

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