参数激励非线性振动时滞反馈最优化控制

第一作者刘灿昌男，副教授，1970年3月生

邮箱：sdutlcch@163.com

参数激励非线性振动时滞反馈最优化控制

刘灿昌，岳书常，许英姿，沈玉凤，任传波，刘露，荆栋

(山东理工大学交通与车辆工程学院，山东淄博255049)

摘要：研究含时滞的线性、非线性复合时滞反馈控制Duffing-Van der Pol振子主参数共振响应最优化控制参数确定。基于弱非线性、弱反馈控制、弱参数激励及小阻尼假设，据平均法获得稳态响应振幅、相位平均方程。通过非线性振动能量比值定义衰减率。以衰减率为振动控制参数优化目标，以非线性振动系统振动稳定条件、幅值最值、最优时滞为约束条件，利用最优化方法计算获得最佳线性、非线性反馈控制参数。

关键词：非线性振动；控制；时滞；参数激励

基金项目：国家自然科学面上基金(51275280)

收稿日期：2014-04-23修改稿收到日期：2014-09-12

中图分类号:O322

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.20.002

Abstract:The determination of optimal control parameters of resonant response was studied for a Duffing-Van der Pol oscillator with delayed linear and nonlinear feedback controllers. With the weak nonlinearity, weak feedback control, small damping, and soft excitation, the average equations for the amplitude and phase of the stable vibration were obtained. The regions of the feedback gains for stable vibration of the nonlinear vibration system were derived by using the stable conditions of the eigenvalue equation. The nonlinear vibration energy attenuation ratio was defined as the proportion of the squares of vibration peaks at primary resonance of the suspension system with and without control. Taking the energy attenuation ratio as an objective function, the stable conditions and the optimal delay as constraint conditions, the optimal feedback control gains can be worked out by using optimal method. It is found that an optimal feedback gain can lead to an optimal control performance.

Optimal control of parametric excitated nonlinear vibration system with delayed linear and nonlinear feedback controllers

LIUCan-chang,YUEShu-chang,XUYing-zi,SHENYu-feng,RENChuan-bo,LIULu,JINGDong(School of Transportation and Vehicle Engineering，Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

Key words:nonlinear vibration; control; time delay; parametric excitation

Duffing-Van der Pol振动系统为两种典型非线性系统组合，大量存在于力学与工程、激光物理、化学、声学及生命科学中，具有丰富、复杂的动力学行为。通过对该模型动力学行为控制，可提高结构稳定性及适应性。

近几年，该系统动力学行为分析与控制成为非线性控制领域重要研究课题[1-2]。甘春标等[3]探讨Van der Pol-Duffing振子在强共振下的分岔解、系统锁频周期分岔运动及拟周期分岔运动。陈予恕等[4]研究主参数共振下具有广义Van der Pol阻尼及5次Duffing恢复力的参数激励非线性系统二次近似分叉行为。黄志龙等[5]研究谐和激励下强非线性Duffing-Van der Pol振子锁相运动。褚衍东等[6]探讨反馈控制参数对系统运动控制到稳定的周期轨道影响，利用数值方法研究周期激励下Van der Pol-Duffing振子混沌行为及控制。Maccari[7]利用渐近摄动法研究Duffing-Van der Pol振子主共振时产生倍周期运动的充分条件。Xu等[8]发现倍周期分岔及环面破损为由Duffing-Van der Pol振子主共振混沌运动出现的两种途径。

利用时滞反馈对非线性振动系统动力学行为进行控制为非线性动力学理论的重要研究方向[9-15]。Tsuda等[16]研究含时滞的Duffing-Van der Pol振子主共振与1/2亚谐共振的混沌运动。李欣业等[17-18]研究时滞反馈控制下Duffing-Van der Pol振子主参数共振及主共振响应，讨论反馈时滞、反馈增益对系统响应影响及极限环振幅、稳定性问题。杨平[19]以含时滞反馈的Van der Pol-Duffing系统为对象，研究时滞量、位移反馈增益变化对双Hopf分岔影响，获得共振双Hopf分岔引起的各种周期解近似解析解及稳定性条件。

Duffing-Van der Pol为多参数控制系统，研究其动力学行为时需采用尝试法选定反馈控制参数，再讨论控制参数变化其控制效果的变化，确定有效控制参数。实际上在合理的控制范围内会存在对系统动力学行为起作用的无穷多组参数，但寻找到最优控制参数非常困难。以上研究大多讨论控制参数对非线性振动系统动力学行为影响，如分岔控制、混沌控制等，较少涉及最优控制参数确定。而实际工程问题中对非线性振动系统的减振降噪也为控制目标，能量消耗最少、效果最佳为非线性振动控制的重要研究课题。

1平均方程

参数激励下Duffing-Van der Pol振子非线性振动的减振控制研究已展开，该模型动力学方程非线性部分同时含Van der pol系统维持自激振动的非线性阻尼项及Duffing系统三次非线性恢复力项。以弱非线性、弱反馈控制、弱参数激励及小阻尼为减振控制工况，Duffing-Van der Pol振动系统动力学方程[18]可写为

(1)

式中：ω0为线性振动系统圆频率；α为非线性项系数；μ，ν分别为线性、非线性阻尼系数；F为激励幅值；gd，gv分别为线性反馈增益；ga1，ga2分别为非线性反馈增益；ε为正的小参数。

对振动系统主共振情形，引进调谐参数σ，得

(2)

据平均法，为简化计算，令Ω=2，式(1)的近似解为

u=acos(t-θ)

(3)

式中：a为振幅；θ为相位；二者随时间慢变的，且控制方程[19-21]为

(4)

(5)

式中：f为式(1)所含ε项全部移到等号右边时ε的系数，即

(6)

对式(4)、(5)积分，得

(7)

(8)

μe=μ-gdsinτ1+gvcosτ2

(9)

(10)

(11)

(12)

式(7)、(8)表明有零固定点、非零固定点两类，分别对应原系统零解、周期解。由于反馈增益及时滞的出现，平均方程中各项系数均发生变化，因而可通过线性与非线性控制项及时滞联合控制实现对非线性振动系统动力学控制。

μe=μ-(gd+gv)sinτ

(13)

(14)

(15)

(16)

式(13)～式(16)为阻尼、调谐、非线性阻尼、非线性项参数与时滞及线性、非线性反馈参数的函数关系表达式。随非线性线控制器的引入，非线性振动控制手段较丰富，控制参数可调范围变大。

2主参数共振周期解的稳定性

(17)

(18)

消掉式(17)、(18)中θ，得幅频方程为

(19)

设定线性、非线性控制参数值及时滞，令σe+k2a2=0，非线性振动系统能量可表示为

(20)

为简化分析，仅取含正号情况，式(20)写为

(21)

作为对照，无控制时系统能量表示为

(22)

将控制系统能量与无控制系统能量比值定义为系统的衰减率，写为

(23)

式(23)表示有、无控制的振动能量比值。衰减率与激励幅值、线性、非线性阻尼系数、激励频率、控制参数与时滞有关。衰减率数值较小时非线性振动系统主共振减振效果较好，可通过选择适当反馈控制参数及时滞获得数值较小衰减率。与线性反馈控制策略相比，非线性时滞反馈控制对非线性原振动系统非线性项也得到控制，增大参数的可调范围。

3非零解的稳定性

分析非零解的稳定性。由式(7)、(8)可得非零解对应的Jacobi矩阵特征值方程为

λ2+2m1λ+n1=0

(24)

据Routh-Hurwitz准则，非零解是渐近稳定的，当且

(25)

对式(25)第一式进行缩小处理，得

μe≤0,k1<0

(26)

由式(25)第二式可得

(μek1+σek2)≥0

(27)

所得保持原系统非线性振动非零解为渐近稳定的反馈控制参数取值范围。

4主参数共振最优化控制参数计算

通过对非线性振动系统稳定性分析，获得反馈控制参数取值范围；通过求解非线性振动幅频方程获得振幅峰值，以此为约束条件，以衰减率为目标函数，利用最优化原理确定最佳控制参数。为简化分析，时滞取τ=(2kπ+π/2),(k=0,1,2,3,…)，其它时滞计算方法类似。

(28)

s.t.μe≤0

(29)

k1≤0

(30)

μek1+σek2≥0

(31)

(32)

(33)

式中：η为衰减率控制范围参数。

式 (29)～式(31)可保证系统的非零解为渐近稳定的；式(32)为振动峰值的取值条件；式(33)为衰减率的约束条件。通过引进调节参数，可据具体工程要求设置衰减率数值，并求出与其相匹配的最优化控制参数。用最优化参数计算方法可解决非线性振动控制工程中最佳控制参数确定问题。

5仿真算例分析

以含时滞的非线性位移、速度反馈Duffing-Van der Pol振子主参数共振响应为例进行研究。其中非线性项系数α=1，线性、非线性阻尼系数μ，ν均取1.5，激励幅值F=2.5。线性控制的反馈增益gd，gv均为1，时滞为2。复合控制的线性反馈增益gd，gv均为1，非线性反馈增益ga1，ga2及时滞均为2。

利用遗传算法工具箱计算含约束的减振控制参数最优化值，种群取50，交叉率0.8，最大进化代数设为200，其它参数用默认取值，计算获得线性、非线性反馈控制增益参数。利用Matlab软件数值模拟得1/2主参数共振下幅值-频率关系曲线，无、有控制幅值-频率关系曲线见图1。由图1(a)看出，无反馈控制时非零解存在多解现象，系统处于不稳定状态。图1(b)为线性控制器控制的幅频关系曲线，非零解存在多解现象，系统处于非稳定状态，且存在鞍结分岔及跳跃现象。图1(c)为复合控制参数幅频关系曲线，对复合反馈控制系统，频响曲线性质发生完全改变，鞍结分岔完全消失，只剩与横轴相交的两跨临界分岔点，跳跃现象、突出部分完全消失，系统振幅被较大抑制，复合控制效果明显。图1(d)为η=0.05时最优化控制器作用的幅频关系曲线，频响曲线性质发生完全改变，鞍结分岔完全消失，只剩与横轴相交的两跨临界分岔点；跳跃现象、突出部分完全消失，系统振幅被大幅抑制，振动峰值低于图1(a)、(b)、(c)，减振效果明显。

图1　非线性振动系统幅频曲线图像(F=2.5) Fig.1 Amplitude-frequency curves of the nonlinear vibration system(F=2.5)

有、无控制对比见图2。由图2看出，通过最优化计算可获得最佳控制参数，对1/2主参数共振幅值起到明显抑制作用。系统振动的多值性及分岔可通过选择适当的非线性反馈增益消除。

调节参数不同时最优化控制对应解见图3。由图3看出，幅频曲线存在单值现象，均为稳定解，且峰值较小。系统振动的多值性及分岔可通过选择适当的非线性反馈增益消除。通过选择最佳控制参数，实现非线性振动最优化控制。

图2　非线性振动系统减振幅频-响应幅值图像 Fig.2 Reduction of the amplitude-frequency curves of the nonlinear vibration system

图3　非线性振动系统减振激励幅频-响应幅值图像 Fig.3 Reduction of the amplitude-frequency curves of the nonlinear vibration system with optimal control

6结论

(1)研究含时滞的非线性位移反馈及非线性速度反馈的Duffing-Van der Pol振子主参数共振响应特性。基于弱非线性、弱反馈控制、弱参数激励及小阻尼假设，利用平均法给出确定稳态响应振幅、相位的平均方程。

(2)引入非线性反馈增益，使参数调节范围更广，调节手段更多样化。利用最优化参数计算方法可获得最佳控制参数。

(3)引入约束条件中衰减率调节参数，可扩大反馈控制参数取值范围。本文控制参数最优化计算方法物理意义明确，计算简便，便于应用，具有一定推广价值。

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