层状岩体滤波特性研究

第一作者王观石男，博士，副教授，1977年生

层状岩体滤波特性研究

王观石1，龙平1，胡世丽1,2

(1.江西理工大学建筑与测绘工程学院，江西赣州341000；2.中国地质大学工程技术学院，北京100083)

摘要：用振幅、相位透射、反射系数描述应力波在结构面的波形变化，充分考虑应力波在层间、层内多重透射、反射条件下建立层状岩体中透射、反射系数计算模型；分别计算的层状岩体透射系数及波形与已有研究结果吻合，表明该模型计算结果合理。讨论结构面刚度、岩层厚度及结构面数量对层状岩体滤波特性影响。结果表明，结构面刚度及岩层厚度是影响弹性层状岩体滤波特性的主要因素，层状岩体具有多尺度梳状滤波器特性，随岩层厚度与波长之比γ增加，振幅透、反射系数成两种尺度周期性变化，由层内多重透、反射形成大尺度周期γ=0.5，并存在一个带通、一个带阻，在带通内又存在多个小尺度周期，由层间多重透、反射形成；层状岩体具有多带通滤波特性，结构面刚度增加，岩体带通上、下限频率同时增加，且上限频率增加幅度较下限大，随频率增加，带通宽度近似成负指数减小；所有岩层厚度相同时带通中心频率约为岩层一阶固有频率的整数倍，各岩层厚度不相等时层状岩体仅在各岩层共同谐振频率处表现为带通。

关键词：层状岩体；多重透反射；梳状滤波器；低通滤波

基金项目：国家自然科学基金(41462009,51104069)；2014年江西理工大学科研基金(NSFJ2014-G06)

收稿日期：2014-11-27修改稿收到日期：2015-04-27

中图分类号:TU443

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.20.023

Abstract:The waveform change of stress wave propagating across the interfaces can be described by the transmission and reflection coefficients of its amplitude and phase. The calculation model for the transmission and reflection coefficients of stress wave propagating through stratified rock mass was established on the basis of considering fully the conditions of propagating through multiple interlayers as well as the intrastratal transmissions and reflections. The transmission coefficient and transmission waveform through stratified rock mass were calculated using the established model, and the results are of good agreement with the previous research results. The analysis results show that the model is reasonable. The effects of interface stiffness, thickness of stratum and interface number on the filter property of stratified rock mass were discussed. The study results indicate that interface stiffness and thickness of stratum are the main influential factors on filter property of elastic stratified rock mass. And the stratified rock mass has the multi-scale comb filtering properties. The amplitude transmission and reflection coefficients have two-scale periodic change with the increase of the ratio of stratum thickness to wavelength. The large-scale period, for intrastratal multiple transmissions and reflections of stress wave across stratified rock mass, is 0.5. There exist a pass band and a stop band in a large-scale period. There are as well multiple small-scale periods in a pass band caused by multiple transmissions and reflections between interlayers. The stratified rock mass possesses the multiple band-pass filtering property. The upper limit frequency and lower limit frequency of pass band increase simultaneously with the increased of interface stiffness. The increased extent of upper limit frequency is more than that of lower limit frequency. The width of pass band decreases approximately in a negative exponential form with the increase of frequency. The center frequency of pass band is about an integral multiple of the first order inherent frequency of stratum when each stratal thickness is equal. But, the stratified rock mass has the band-pass property only at its resonance frequency when each stratum has unequal thickness.

Filter property of stratified rock mass

WANGGuan-shi1,LONGPing1,HUShi-li1,2(1. Jiangxi University of Science and Technology, School of Architectural and Surveying Engineering, Ganzhou 341000，China；2. China University of Geosciences, School of Engineering and Technology, Beijing 100083，China)

Key words:stratified rock mass; multiple transmissions and reflections; comb filter; low-pass filtering

层状岩体在各类工程建设中经常遇到，研究应力波在其中的传播过程及规律具有重要意义[1-2]。单一结构面透射、反射系数作为研究应力波在层状岩体中传播规律基础，已建立岩层紧密连接模型、岩层弹簧连接模型、软弱夹层模型、结构面非线性变形模型及结构面黏弹性变形模型等[3-4]。与单一结构面相比，应力波在层状岩体传播过程复杂得多，主要原因为应力波会发生层内及层间多重透射、反射，产生大量相干波形，导致波场计算非常复杂。

针对精确叠加多重透射、反射波计算的困难，已提出等效介质法。研究结果表明，岩层厚度与波长之比远小于1时，层状介质波动现象方可用等效介质理论描述[5]。而该方法忽略应力波在结构面间的多重透射、反射作用，不能完全体现节理岩体的频率相关性，因而在某些频率范围内对介质的动力特性反映不准确[6-7]，故尝试建立充分考虑多重透射、反射条件的系数计算公式。Pyrak-Nolte等[8]利用位移不连续模型研究应力波在多个平行且刚度相等结构面间的传播过程，认为结构面间距与入射波波长相比较大时，可不考虑应力波多重透、反射；结构面间距与波长相比较小时多重反、透射影响较显著，并在不考虑多重透、反射条件下给出层状岩体总透射系数计算公式。Cai等[9]在考虑多重反射前提下将位移不连续模型与特征值方法相结合，研究应力波垂直入射多个平行结构面时的衰减问题。结果表明，结构面间距与波长之比ζ对层状岩体总透射系数具有重要影响，随ζ增加总透射系数先增加后减小，最后趋于稳定值，且与基于一次透射波计算的透射系数相等，存在两个临界值ζcri1与ζcri2。文献[10]研究表明，两个临界值与K/Zω有关，K/Zω增大临界值减小。LI等[11]通过引入“虚振源”概念，讨论应力波在层状岩体中的传播特性，将透射波分为直达波与多重透射波两部分，建立等间距平行节理岩体的透射系数计算模型。

应力波穿过一组平行节理岩体时波形会发生明显变化[12]，数值计算、理论及试验研究结果表明，应力波穿过层状岩体或随机介质模型，形成特征频率及特征波形, 不同厚度岩层会对某一频率的波产生明显放大效应[13]，波场横向中心频率、纵向中心频率及能量相对值均随介质自相关长度增加而降低，随机介质模型特征频率随自相关长度倒数成正比关系[14]。特征频率及波形本质上一致，前、后者分别在频、时域上反映波场信息。解释此现象，不仅需充分考虑应力波在层状岩体中层内、层间多重透射、反射，亦需建立可考虑任意岩层厚度、结构面刚度的数学模型。

应力波穿过层状岩体总透射波为所有透射波的叠加，每一列透射波不仅受岩层几何参数(岩层厚度)、物理力学参数(密度、岩层弹模和结构面刚度)及入射波频率、相位影响，且受多重反射波影响，给出严谨的透射、反射系数计算公式有一定难度；但可进行不同程度简化，如假设岩层为等厚度或岩层物理力学参数相等。

本文用振幅透射、反射系数与相位透射、反射系数描述应力波在结构面的波形变化，将应力波穿过含m条平行结构面过程分解为应力波下行入射与上行入射(m-1)条结构面及单一结构面两种，充分考虑应力波多重透射、反射，建立水平层状岩体中透射、反射系数计算模型，分析结构面刚度、岩层厚度及结构面数量对层状岩体透射系数影响规律。

1层状岩体滤波的计算模型

1.1P波穿过线性变形结构面振幅及相位变化

考虑水平层状岩体，岩层间为薄结构面，建立坐标系，z轴向下为正向，坐标原点在岩层1、2间结构面1上，随z轴坐标值增加岩层及结构面编号从1依次增加，第1个岩层与最后一个岩层均为半无限体。当一列圆频率为ω的P波垂直入射至层状岩体，在结构面处产生反射P波及透射P波时，传播方向与z轴正向一致的称为下行波，反之为上行波。P波入射至结构面后，设结构面发生线性变形，结构面两侧应力连续，位移不连续量等于应力与节理刚度之比，不考虑多重透射、反射时P波在结构面i的总透射、反射系数[15]分别为

(1)

(2)

式中：下标i为结构面及岩层编号；T_i为P波在结构面i的总透射系数；Ri为P波在结构面i的总反射系数；j为虚数单位；ω为入射波圆频率；Ki为结构面i的法向刚度；Zi为第i岩层P波阻抗。

由式(1)知，简谐P波通过线性变形结构面的总透射系数为复数形式，表明结构面同时影响透射波振幅及相位。为便于分析结构面对透射波振幅谱、相位谱影响，将总透射系数模定义为振幅透射系数，将总透射系数幅角主值定义为相位透射系数，反射波定义相同。在结构面i处振幅透射、相位透射系数分别为

(3)

(4)

(5)

(6)

P波在结构面i处的振幅及相位反射系数为

(7)

(8)

(9)

(10)

由式(3)～式(10)对比看出，对单一线性变形结构面，入射波从结构面任一侧入射时振幅反射系数与相位透射系数不发生变化，但振幅透射系数与相位反射系数发生变化。

1.2层状岩体透射及反射系数

在讨论及计算公式基础上，充分考虑多重透射、反射条件下P波穿过层状岩体的透、反射系数计算。本文据各列透、反射波振幅及相位变化，设已知应力波垂直穿过(m-1)条平行结构面的透射、反射系数，将应力波垂直穿过m条平行结构面情况转化为多次穿过(m-1)条结构面与单一结构面组合情况，从而建立应力波垂直穿过m条及(m-1)条平行结构面的透射、反射系数计算模型。

图1　P波在层状岩体中传播过程 Fig.1 P-wave propagation process across stratified rock mass

图2　下行入射P波时透、反射简图 Fig.2 Transmission and reflection diagram of downward incident P-wave

图3　上行入射P波时透、反射简图 Fig.3 Transmission and reflection diagram of upgoing incident P-wave

(11)

设第i岩层厚度、波速为hi、ci，第i岩层走时i=hi/ci(不考虑第1层岩层走时，1=0)，前(m-1)个岩层走时及τi，不考虑第1及最后1层岩层走时，m≤2时T=0。由分析知，p波在层状岩体传播过程中振幅变化由振幅透射系数计算，相位变化由相位透射系数计算，并考虑走时引起的相位。设入射p波振幅为u0、圆频率为ω、初相位为φ0的正弦波，写出p2、p6、p10的计算公式为

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

给定各岩层阻抗、厚度、波速及结构面刚度，由式(16)、(18)、(22)、(24)可计算应力波穿过m条结构面的透射、反射系数，即此4式构成层状岩体中透射、反射系数计算模型。

2层状岩体滤波模型验证

各岩层厚度相等时，定义γ为岩层厚度h与波长λ之比，即γ=h/λ。据递推公式，采用归纳法可论证获得振幅透射系数关于γ的周期为0.5(论证过程在此不详述)。结构面数量为2时法向刚度均为5.4 GPa/m，岩层密度均为2 700 kg/m3，各岩层P波波速均为4 000 m/s，入射波频率为50 Hz。改变岩层厚度，用本文递推公式计算获得振幅透射系数与γ的关系，并与文献[16]结果比较，见图4。由图4看出，两种计算结果吻合较好，表明本文应力波穿过层状岩体计算模型合理。

图4　γ对振幅透、反射系数影响 Fig.4 Effect of γ on amplitude transmission and reflection coefficients

一个半正弦波垂直入射至结构面数量为5的层状岩体时，入射波频率为100 Hz，振幅为1.0 m/s，结构面刚度均为3.5 GPa/m，岩层密度为2 650 kg/m3，岩层波速为5 746.2 m/s，岩层厚度为5.75 m。据本文层状岩体振幅、相位透射系数计算获得半正弦波穿过层状岩体波形，并与文献[17]结果比较，见图5。由图5看出，采用两种方法计算所得波形非常一致，表明本文的递推公式合理。

图5　半正弦波穿过层状岩体波形变化 Fig.5 Waveform change of half sine wave propagation across the stratified rock mass

3层状岩体滤波特性

3.1层状岩体多带通滤波

设基本参数为：岩层密度ρ=2 500 kg/m3，岩层P波阻抗Z=8.0 MPa·s/m。当入射波频率为50 Hz、结构面数量为10时，结构面刚度均为4 GPa/m。改变岩层厚度，计算所得振幅透射系数与γ关系见图6，相位透射系数见图7。由两图看出，结构面间距与各岩层物理力学参数相同时，层状岩体具有多尺度周期带通滤波特性，振幅透射、反射系数随岩层厚度与波长之比成周期性变化；周期为0.5，在每周期内存在一个带通、一个带阻，在带通内又存在多个小透射系数峰并在带通内等间距分布，个数与岩层数相等，反射系数类似。本文计算模型中，设第1岩层与最后1个岩层均为半无限体，不考虑第1岩层上边界及最后1个岩层下边界反射，因此当结构面数量为10时，参与多重透射、反射的岩层数量为9个，与图6、图7 中小透射系数峰个数相等。

分析表明，对任意岩层数量，振幅透射系数关于γ的周期为0.5，若考虑层内多重透射、反射过程，岩层厚度为半波长及整数倍时，振幅透射系数最大，即层内透射系数成周期性变化；若考虑层间多重透射、反射，即各岩层总厚度为半波长及整数倍时，振幅透射系数最大，亦成周期性变化。对含10个结构面的层状岩体，若同时考虑层内与层间的多重透射、反射，每一岩层厚度增加半波长的1/9时，各岩层总厚度增加半波长，因层间多重透射、反射使振幅透射系数出现最大值；所有岩层厚度均增加半波长时，层内与层间的多重透射、反射使振幅透射系数出现最大值。此时层状岩体的振幅透射系数才出现一个周期。相位透射系数分析过程类似。总之，振幅透射系数关于γ的大周期由层内多重透射、反射决定，小透射系数峰形成的小周期由层间多重透射、反射决定。

岩层厚度为2 m时(其它参数同前)，改变入射波频率，计算获得振幅透射系数与频率的关系见图8。由图8看出，在频域内层状岩体的带通区间分两部分，即低通区间与高频带通区间。低通区间透射系数大并成非对称波浪式分布，共9个谷，第2个及其后的带通组成高频带通区间，该区间内透射系数成对称波浪式分布，共9个峰；层状岩体表现梳状滤波器，随频率增加带通宽度减小，前3个带通宽度分别为300 Hz、88 Hz、48 Hz。

图6 γ对振幅透射、反射系数影响Fig.6Effectofγonamplitudetransmissionandreflectioncoefficients图7 γ对相位透射、反射系数影响Fig.7Effectofγonphasetransmissionandreflectioncoefficients图8 振幅透射系数与频率关系Fig.8Relationshipbetweenamplitudetransmissioncoefficientandfrequency

3.2结构面刚度对层状岩体滤波影响

结构面数量为15、岩层厚度均为2.0 m、岩层密度阻抗为基本参数、所有结构面刚度相等时，改变结构面刚度，定义中心频率为带通上、下限频率的平均值，计算获得带通宽度与结构面刚度及中心频率关系见图9，用相位解缠绕运算所得相位透射系数与结构面刚度、频率关系见图10。由图9看出，频率增加带通宽度近似成负指数减小，结构面刚度增加带通下限频率略有增加，上限频率增加明显，使带通宽度增加，中心频率也有所增加；频率越小带通宽度及中心频率增加越明显，如结构面刚度从2 GPa/m增加到15 GPa/m，第2个带通下限频率从800.6 Hz增加到804.1 Hz，而上限频率从847.2 Hz增加到1 058.5 Hz，下限频率增加3.5 Hz，上限频率增加211.3 Hz，带宽增加207.8 Hz，但第7个带通下限频率从4 800.4 Hz增加4 800.8 Hz，而上限频率从4 808 Hz增加到4 861.7 Hz，带宽增加53.3 Hz，较第2带通带宽增加幅度小得多。由图10看出，结构面对应力波传播具有延迟作用，其刚度越小相位透射系数越大，即延迟越大，且随频率增加相位延迟量增加。研究结果表明[18]，随刚度增加谐振频率向高频方向漂移，本文结果与其一致。

图9 岩体带通宽度与结构面刚度及中心频率关系Fig.9Relationshipbetweenband-passwidthofrockmassandinterfacestiffnessandcenterfrequency图10 相位透射系数与结构面刚度及频率关系Fig.10Relationshipbetweenphasetransmissioncoefficientsandinterfacestiffnessandfrequency图11 结构面刚度渐变时振幅透射系数与频率关系Fig.11Relationshipbetweenamplitudetransmissioncoefficientsandfrequencyforgradualchangesininterfacesstiffness

以结构面刚度递减为例，研究结构面刚度不相等时层状岩体中透射系数变化规律。结构面数量为5时其刚度分别为5 GPa/m、4 GPa/m、3 GPa/m、2 GPa/m、1 GPa/m(其它参数同前)，计算获得渐变刚度下振幅透射系数与频率关系，并与结构面刚度均为3 GPa/m时的振幅透射系数比较，见图11。由图11看出，结构面刚度逐渐减小时层状岩体仍表现为多带通滤波特性，在第2个及以后带通宽度略有增加，但振幅透射系数明显减小，且带通内各透射系数峰的间距不相等。如第3个带通，结构面刚度均为3 GPa/m时各透射系数峰值频率分别为2 402.4 Hz、2 408.8 Hz、2 416.3 Hz、2 422.6 Hz，各透射系数峰关于中心频率成对称分布，而结构面刚度递减时带通内各透射系数峰值频率分别为2 401.9 Hz、2 407.2 Hz、2 414.8 Hz、2 426.4 Hz，成非等间距分布。

3.3岩层厚度对层状岩体滤波的影响

结构面数量为15，刚度为4 GPa/m，岩层密度、阻抗为基本参数，在岩层厚度相同条件下改变岩层厚度，计算获得带通宽度与岩层厚度及中心频率关系，见图12，采用相位解缠绕运算获得相位透射系数与岩层厚度及频率关系，见图13。由图12看出，岩层厚度不同带通中心频率也不同。当岩层厚度为2 m时按参数计算得岩层一阶固有频率为800 Hz，前7个带通中心频率分别为134.8 Hz、845.2 Hz、1 624.6 Hz、2 416.6 Hz、3 212.6 Hz、4 010.1 Hz及4 808.4 Hz，第2及以后带通约为岩层一阶固有频率的整数倍，频率越大带通中心频率与该频率整数倍误差越小；由于1 600 Hz为4种岩层厚度的公共谐振频率，故4种等岩层厚度层状岩体在1 600 Hz及整数倍频率处具有共同带通；岩层厚度越小谐振频率越高，带通个数越少，破碎岩体滤波能力越强。由图13看出，岩层厚度越大岩体对应力波的相位延迟越大。

对结构面厚度逐渐递减的岩体，设应力波穿过5层层状岩体，5岩层厚度分别为5 m、4 m、3 m、2 m、1 m(其它参数同前)，计算得厚度渐变条件下振幅透射系数与频率关系，并与岩层厚度均为3 m时振幅透射系数比较，见图14。由图14看出，与等厚度层状岩体相比，岩层厚度逐渐减小时层状岩体仍表现为多带通滤波特性，但带通频率范围发生变化，厚度渐变岩体在539.7～613.8 Hz范围内透射系数为0，只在所有岩层的公共谐振频率1600 Hz及整数倍频率处振幅透射系数不为0，因此岩层厚度分布对岩体滤波特性具有重要影响；岩层厚度渐变时带通数减少，带通宽度减小，带通内透射系数减小，各透射系数峰值频率成非等间距分布。

图12 带通宽度与岩层厚度及中心频率关系Fig.12Relationshipbetweenband-passwidthandstratumthicknessandcenterfrequency图13 相位透射系数与岩层厚度及频率关系Fig.13Relationshipbetweenphasetransmissioncoefficientsandstratumthicknessandfrequency图14 结构面厚度渐变时振幅透射系数与频率关系Fig.14Relationshipbetweenamplitudetransmissioncoefficientandfrequencyforgradualchangesininterfacesthickness

3.4结构面数量对层状岩体滤波的影响

结构面数量不同，层状岩体带通滤波特性会发生变化。结构面刚度为4 GPa/m、岩层厚度2 m时改变结构面数量，计算得岩体带通宽度与结构面数量及中心频率关系，见图15。图15表明，结构面数量增加带通宽度增加，但增加幅度较小。随频率增加带通宽度增加幅度减小。如结构面由5增加到15时，第2带通下限频率从808 Hz减小到801 Hz，而上限频率从883增加到889 Hz，带宽增加13 Hz；第8带通下限频率从5 601 Hz减小到5 600 Hz，上限频率从5 607 Hz增加到5614 Hz，带宽增加2 Hz，较第2带通，该带宽增加幅度小得多。

图15　岩体带通宽度与结构面数量及中心频率关系 Fig.15 Relationship between band-pass width and interface number and center frequency

4结论

用振幅、相位的透射、反射系数描述应力波在结构面的波形变化，建立应力波垂直穿过m条平行结构面透射、反射系数计算模型，计算层状岩体透射系数及波形，讨论结构面刚度、岩层厚度及结构面数量对层状岩体滤波特性影响，结论如下：

(1)层状岩体具有多尺度梳状滤波器特性，振幅透、反射系数随岩层厚度与波长之比成两种尺度周期性变化。由层内多重透射、反射形成的大尺度周期为0.5，其内存在带通、带阻各一。带通内存在的多个透射系数峰由层间多重透射、反射形成，对等厚度、等刚度层状岩体，透射系数峰在带通内成等间距分布，个数与岩层数相等。

(2)频域上层状岩体具有多带通滤波特性，结构面刚度增加，带通上、下限频率同时增加，且上限频率增幅较下限大，致带通宽度及中心频率同时增加，频率越高增幅越小；频率增加带通宽度近似成负指数减小；岩体结构面刚度相等时带通内各透射系数峰近似等间距分布，不相等时该系数峰成非等间距分布，且数值减小。

(3)所有岩层厚度相等时带通中心频率约为岩层一阶固有频率的整数倍，频率越高两者误差越小；岩层厚度越小其谐振频率越高，岩体带通数越少，岩体滤波能力越强；各岩层厚度不相等时，层状岩体仅在各岩层的共同谐振频率处表现为带通，即岩层厚度分布对岩体滤波具有重要影响。

(4)结构面数量增加，带通上限频率小幅增加，下限频率小幅减小，各带通宽度小幅度增加，即结构面数量对弹性层状岩体影响较小。

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