磁悬浮隔振系统非线性动力学建模与仿真

第一作者武倩倩女，博士生，1988年12月生

通信作者刘荣强男，教授，博士生导师，1965年7月生

磁悬浮隔振系统非线性动力学建模与仿真

武倩倩1，陈尚2，陈永强2，岳洪浩1，刘荣强1

(1.哈尔滨工业大学机电工程学院，哈尔滨150001； 2.中国运载火箭技术研究院研究发展中心，北京100076)

摘要：进行适用于空间微环境的磁悬浮六自由度隔振系统动力学研究，设计磁悬浮隔振平台结构，借助有限元软件分析振源中隔振平台定子模态；分析磁悬浮隔振平台不同扰动力作用下系统耦合非线性特性，建立面向控制的非线性动力学模型；通过仿真研究系统对不同激励扰动下的动力学响应。该研究为控制算法设计提供理论基础及依据。

关键词：磁悬浮；微振动；模态分析；动力学建模

基金项目：国家自然科学基金(51475117)；高等学校学科创新引智计划(B07018)；机器人技术与系统国家重点实验室(哈尔滨工业大学)自主研究课题(SKLRS201301B)

收稿日期：2014-12-11修改稿收到日期：2015-03-11

中图分类号:TB535;TP273

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.20.027

Abstract:A six degrees of freedom maglev vibration isolation system was designed and analysed. The structure of the maglev vibration isolation platform was designed, and the stator of the vibration isolation platform, locating at the vibration source, was analyzed by using finite element software. By analyzing the coupling characteristics of the system under the influences of different disturbing forces, a nonlinear dynamic model for control was established and nonlinear dynamics behaviors of the system were simulated. The results provide a basis for the design of control algorithms.

Nonlinear dynamics modeling and simulation of maglev vibration isolation system

WUQian-qian1,CHENShang2,CHENYong-qiang2,YUEHong-hao1,LIURong-qiang1(1. School of Mechatronics Engineering Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China;2. China Academy of Launch Vehicle Technology Research and Development Center, Beijing 100076, China)

Key words:magnetic levitation; micro vibration; modal analysis; dynamics modeling

空间低频微振动对高分辨率指向精度、精密有效载荷使用及空间站科学实验结果的准确性影响较大[1-3]。传统被动隔振方法不能隔离低频范围内的振动，需采取主动隔振技术实现低频微振动有效隔离[4]。磁悬浮隔振技术用于低频微振动隔离，为材料、流体、燃烧等基础学科实验提供理想的微重力环境[5-7]。磁悬浮隔振平台在超静平台、精密制造、精密定位等领域应用广泛[8-11]。磁悬浮主动隔振原理即利用电、磁产生的悬浮力抵消扰动力达到隔振目的。该原理主要为洛伦兹力原理及电磁力原理。基于洛伦兹力原理，驱动力与电流的关系可近似为线性，大大简化控制方法；而电磁力原理具有明显的非线性，影响平台的稳定性能。因此，本文以空间有效载荷在轨低频微振动为对象，用洛伦兹力原理实现振动隔离与抑制。

Muller等[12]建立的三自由度主动隔振系统动力学模型，仅描述竖直方向运动；Beadle等[13-14]利用线动量、角动量守恒建立六自由度运动微分方程，用局部刚度及阻尼表示浮子、定子关系Zenga[15]研究主动隔振平台的动力学模型，却未考虑线缆影响；Hampton等[16]利用牛顿-欧拉方程建立磁悬浮隔振平台的六自由度运动微分方程，但动力学模型较复杂，并无针对隔振平台非线性动力学行为的仿真验证。任维佳等[17]用相同方法建立定子坐标系下六自由度运动微分方程，但在设计控制算法时需进一步转化。本文建立惯性坐标系下的六自由度非线性运动微分方程，为平台非线性特性控制器设计提供理论基础。

1磁悬浮隔振平台结构设计及模态分析

磁悬浮隔振平台包括浮子、定子及由矩形线圈、永磁体组成的作动器等，见图1。洛伦兹力作动器作为实现隔振的主要单元均具有一个自由度，为实现空间六自由度隔振，配8个作动器共同作用。在外界扰动下定子发生六自由度移动及转动；带线圈的浮子通过洛伦兹力作用悬浮于定子上方，因定子与浮子间存在供电电缆与信号线缆，定子的振动通过线缆传递给浮子，据测量系统获得浮子、定子的振动，通过调节线圈电流控制每个作动器输出的洛仑兹力，消除浮子振动，实现振动隔离。

图1　磁悬浮隔振平台结构示意图(单位：mm) Fig.1 Schematic diagram of maglev vibration isolation platform

为提高隔振平台结构刚度，减小平台质量，支撑板采用刚度大、质量小的蜂窝铝板材料。由于隔振平台的定子位于扰动源中，定子的基频需大于隔振频率范围，磁悬浮隔振平台设计频率为0.1～100 Hz。为验证定子结构是否满足要求，建立蜂窝铝板结构的三维模型，借助有限元软件分析获得定子前三阶模态，见图2。

图2　定子模态分析结果 Fig.2 Modal analysis results of the stator

2六自由度非线性动力学方程建立

利用牛顿欧拉方程推导磁悬浮隔振平台浮子的六自由度运动微分方程，为建立面向控制的系统动力学模型，研究受扰动的隔振平台浮子质心绝对加速度水平及浮子与定子的相对位置，获得关于控制量表达式。浮子在空间惯性坐标系下的位姿实时变化，动力学方程中需含由线缆传递、来自定子的间接扰动及浮子所受直接扰动，具有较强的非线性特性。隔振系统空间几何模型见图3。

图3　隔振系统空间几何模型 Fig.3 Space geometric model of the vibration isolation system

式中：c=cos()，s=sin()，1=θx，2=θy，3=θz。

据小角度假设简化得

(2)

坐标系间变换关系为

e=TE

(3)

设浮子的质量为m，作用于浮子的外力F包括直接作用于浮子上的外力Fd，线缆产生的绕动力Fu及作动器产生的主动控制力Fc(c=1，…，8)；浮子的总力矩包括直接作用的外力产生的外力矩Md，线缆产生的力矩Mu及作动器产生的主动控制力矩Mc(c=1,…,8)。浮子的运动微分方程可写为

(4)

据空间向量几何关系，浮子质心绝对加速度为

(5)

平台移动方程可写成

(6)

惯性坐标系下平台运动的欧拉方程为

(7)

代入状态空间变量，合并移动方程与转动方程，得平台六自由度刚体运动微分方程为

(8)

图4　作动器布局 Fig.4 Configuration of actuators

图4(a)为作动器绕浮子坐标系Z轴逆时针布局，为简化运动微分方程，设各作动器坐标系与浮子坐标系方位一致，即作动器坐标系方位角相对于浮子坐标系为0°。定义作动器基向量为ec=[icjckc]T(c=1,2,…,8)，则作动器坐标系基向量与浮子坐标系基向量间转换关系可表示为

ec=Tce=e

(9)

作动器产生的力在惯性坐标系中可表示为

(10)

据图4(b)的作动力分布定义含力方向意义的作动器各力向量为

(11)

基于洛伦兹力原理，作动器产生的力与电流I、磁感应强度B及线圈有效长度L成正比，因磁场的非线性特性，洛伦兹力亦具有非线性特性，每个作动器产生的作动力在数值上可表示为

Fc=BIL

(12)

式(11)中每个作动力均可表示为式(12)形式。记作动力的方向矩阵为

则8个作动器产生作用于浮子的合力在惯性系中表示为

(13)

(14)

rTE-θT(ruiT)～E

(15)

由线缆产生的扰动力可写为

(16)

(17)

(18)

(19)

作用于浮子的总力、总力矩可表示为

(20)

(21)

将力、力矩表达式写成含状态变量的矩阵形式并代入式(8)，得平台六自由度动力学方程为

(22)

由式(22)知，系数矩阵随时间变化，已理论上验证系统的非线性特性。

3浮子在不同激励下的动力学响应

基于外部环境扰动特性，据磁悬浮隔振平台的应用场合，研究不同扰动作用下浮子与定子相对位置响应及浮子质心绝对加速度响应为进一步设计合理的控制器提供理论基础。仿真所需系统参数为：质量m=16 kg，浮子坐标系下线缆安装点为[-130，-204，38.09](mm)及[130,204,38.09](mm)；外部绕动力作用点为[51.48,59.31,-49.45](mm)；作动器在浮子坐标系中的安装位置为[-77.4,191.29,32.91] (mm)；[80.2,192.29,33.31](mm)；[191.1,77.79,32.91] (mm)；[192.1,-79.81,33.31] (mm)；[77.4,-190.71, 32.91](mm)；[-80,-191.71,33.31](mm)；[-190,-77.21, 32.91](mm)；[-191,79.81,33.31](mm)；浮子坐标系下对质心的转动惯量张量、刚度矩阵及阻尼矩阵为

给定子加沿惯性X轴方向幅值2 mg、频率6 Hz的正弦加速度激励，所得浮子受正弦激励扰动的响应见图5。通过分析可知，系统的响应与质量、刚度、阻尼、固有频率及激励频率有关，因系统耦合非线性作用，移动运动也会引起系统的转动运动。

给定子加沿惯性X轴方向的阶跃加速度激励y=0(x<0)及y=1(x≥0)，所得浮子受扰动后响应见图6，可见转动响应因系统的耦合非线性作用所致。

给浮子加沿浮子坐标系x轴方向阶跃加速度激励y=0(x<0)及y=1(x≥0)，所得浮子受扰动响应见图7。图中转动响应亦由系统的耦合非线性作用引起。

图6　浮子对作用于定子的阶跃激励响应 Fig.6 Response of the floater to step excitation of the stator

图7　直接作用于浮子的阶跃激励响应 Fig.7 Response of the floater to step excitation of the stator

通过系统对不同激励作用下的动力学响应仿真分析知，系统为耦合非线性作用，为抑制浮子运动状态，需据所得惯性坐标系下定子与浮子间相对位置及绝对加速度设计合理的控制器。

4结论

通过介绍基于洛仑兹力原理的磁悬浮隔振系统，用有限元法分析定子模态，结论如下：

(1)结构模态不在隔振频率范围内，满足微振动隔振需求。基于牛顿欧拉方法建立面向控制的六自由度非线性动力学模型，可研究不同种类扰动力作用下的动力学响应，验证动力学模型。

(2)据动力学方程所求浮子质心与定子相对位置及浮子绝对加速度，可作为设计合理的控制策略基础。

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