水下圆柱壳低频声辐射特性及有源控制

第一作者丁少虎男，博士，讲师，1980年生

通信作者李双男，副教授，1976年生

水下圆柱壳低频声辐射特性及有源控制

丁少虎1,2，陈克安1，李双3

(1.西北工业大学航海学院， 西安710072； 2.北方民族大学机电工程学院，银川750021；3.苏州大学城市轨道交通学院，江苏苏州215006)

摘要：利用振动模态及声辐射模态分析水下有限长圆柱壳低频模态辐射特性。计算各阶周向振动模态对辐射声功率贡献；将各阶周向模态下轴向振动模态分为奇、偶模态组，分析低频范围内振动模态组与声辐射模态对应关系；以主导声辐射模态声功率为目标函数对水下有限长圆柱壳低频声辐射进行有源控制。结果表明，低频范围内水下简支圆柱壳受径向点力激励时，仅前几阶周向振动模态对辐射声功率有贡献；同一周向振动模态下轴向为奇(偶)振动模态组产生的声功率与具有相同周向阶数而轴向为偶(奇)声辐射模态产生的声功率对应。通过控制前几阶主导声辐射模态即可完成对水下有限长壳体低频辐射噪声抑制。

关键词：水下圆柱壳；振动模态；声辐射模态；有源控制

基金项目：国家自然科学基金(51375321);宁夏自然科学基金项目(NZ15103)

收稿日期：2014-07-17修改稿收到日期：2014-09-25

中图分类号:TB533

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.20.031

Abstract:The radiation characteristics of a submerged finite cylindrical shell at low frequencies were investigated based on its vibration modes and acoustic radiation modes. The contribution of each circumferential vibration mode to the radiated sound was observed. Then, under a certain circumferential mode, axial vibration modes were divided into an axial odd-mode group and an axial even-mode group, and the correspondance relationships between each vibration mode group and acoustic radiation modes at low frequency were inspected. The results show that at low frequencies, only the first few circumferential vibration modes contribute to the sound power radiated from a submerged finite cylindrical shell excited by radial point forces; under a certain circumferential mode, the sound power radiated by the odd (even) axial vibration modes group corresponds to the acoustic radiation mode with the same circumferential mode and even (odd) axial modes. The sound power radiated from a submerged finite cylindrical shell can be restrained by controlling the sound power of the dominant radiation modes.

Low frequencies radiation characteristics of a submerged cylindrical shell and its active control

DINGShao-hu1,2,CHENKe-an1,LIShuang3(1. School of Marine Science and Technology, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China；2. College of mechatronic engineering, Beifang University of Nationalities, Yinchuan 750021, China；3. School of Urban Rail Transportation, Soochow University, Suzhou 215006, China)

Key words:submerged cylindrical shell; vibration mode; acoustic radiation mode; active control

水下结构噪声源于壳内部机械设备激励壳体振动，从而向流体介质辐射噪声。在控制或降低辐射噪声前需进行结构振动辐射特性研究。圆柱壳作为潜艇、鱼雷及舱段的主要结构形式，对其在流体负载时的声-振特性进行研究具有重要理论价值及实际意义。对振动辐射低频噪声，结构声有源控制[1](Active Structural Acoustic Control，ASAC)能取得较好效果，关键及难点在于次级力源布放及控制策略(目标函数)选取, 即使在实验室中次级力源布放及优化难度亦相当大[2]，而通过确定结构声功率的低频模态特性可为水下结构振-声响应主、被动控制提供高效手段[3]。

结构振动模态与声辐射模态分析是研究结构声辐射两种不同方法[4]，但结构各阶振动模态的声辐射并非独立，即相互间存在耦合[5]，致采用振动模态进行结构声辐射分析困难。自从Borgiotti[6]提出声辐射模态理论后，此方法很快用于声功率计算及结构外部声场特性分析[7-9]。声辐射模态方法实质为形成一组相互独立的表面速度分布，对辐射声功率有贡献且彼此独立，因而广泛用于结构振动声辐射分析及控制，尤其结构声有源控制[10-15]。

作为一种表达方式，声辐射模态并不表示实际振动模态，却能有效将振动模态集中到一起。因此研究结构声辐射模态可直接获得结构振动对声辐射的贡献[16]。文献[9]基于辐射声功率的二次型表达式，采用Rayleigh积分及数值法对板与加肋板振动声辐射分别进行振动及声辐射模态分析研究；文献[12]通过研究板结构振动模态与声辐射模态的对应关系给出主导声辐射模态概念，并用于平板结构声有源控制。然而，关于模态分析研究大多针对平板结构，对壳类结构研究较少。姜哲[17]针对球形声源、旋转体声源及立方体声源给出声辐射模态与声场分布模态的几何图案。和卫平等[18]利用矩阵论对称向量关系给出空气中有限长圆柱壳振动模态与声辐射模态关系，但具体不够明确，不能确定低频主导声辐射模态。

本文利用振动、声辐射模态两种方法分析水下圆柱壳低频模态辐射特性。据水下圆柱壳模态辐射周向解耦特性，计算各阶周向模态对辐射声功率的贡献；将各阶周向模态的轴向振动模态分为奇、偶模态组，利用低频范围内振动、声辐射模态对应关系分析各阶周向模态辐射声功率，通过对比可确定水下圆柱壳声辐射贡献最大模态。对有源结构声控制而言，有助于选择对辐射声功率起主要贡献的声辐射模态进行控制。通过分析水下圆柱壳体低频模态辐射特性，可有效设计、选择需少量误差传感器或对传感器位置不敏感又能提供较大降噪量的目标函数。

1水下有限长弹性圆柱壳声辐射特性

1.1水下弹性圆柱壳声辐射理论

有限长圆柱壳结构及坐标系见图1。图中深色部分表示刚性障壳，浅色表示弹性壳体。有限长弹性圆柱壳长为L，半径a，厚度h，两端简支在无限长刚性圆柱障壳上，采用柱坐标系，坐标原点位于弹性圆柱壳左端。

图1　有限长弹性圆柱壳体及坐标系 Fig.1 Baffled finite cylindrical shell and coordinate system

设壳体周围流体静止、无粘性，考虑流固声振耦合下利用模态展开法求解圆柱壳在流体中的运动方程[19]，即

(1)

式中：E为壳体材料杨氏模量；v为泊松比；ρs为材料密度；[LD]为Flugge算子；[I]为单位矩阵；U为圆柱壳体表面位移向量，表达式为

(2)

两端简支圆柱壳体结构振型函数可表示为

(3)

将式(2)代入式(1)，利用圆柱壳体模态正交特性，得模态方程为

(4)

本文只考虑圆柱壳受径向激励情况，圆柱壳广义模态激励力及表面模态声压可分别据模态振型函数展开为

(5)

(6)

式中：fr=F0δ(z-z0,θ-θ0)为激励力，F0，(z0,θ0)分别为径向点力复幅度及作用位置；εn为Numann因子，n=0时εn=1，n>0时εn=2；Zmpn为有限长圆柱壳辐射阻抗[20]，表示流体引起的轴向振动模态(m，p)间耦合，具体形式为

(7)

式中：ρ0为流体密度；Hn，Hn′分别为n阶第一类汉克尔函数及导数。

将式(6)代入式(4)，可求得有限长弹性圆柱壳表面模态位移幅值，从而获得圆柱壳的辐射声功率，即

(8)

式中：“*”表示复共轭。

分析式(7)、(8)可知，圆柱壳声辐射中不同周向振动模态间相互解耦，可对每个周向振动模态单独求解辐射声功率。辐射声功率表达式为

(9)

式中：Wn为对应第n阶周向振动模态的辐射声功率。

1.2周向模态对辐射声功率贡献

通过算例研究低频范围内各阶周向振动模态对水下圆柱壳辐射声功率贡献。

设水下圆柱壳长L=1.2 m，半径a=0.4 m，厚h=0.003 m，密度ρs=7 800 kg/m3，杨氏模量E=2.1×1011N/m2，泊松比v=0.3，材料损耗因子η=0.01；取流体密度ρ0=1 000 kg/m3，水中声速c0=1 500 m/s。本文中材料参数与此一致，不再赘述。设圆柱壳体受径向点力激励，为激起更多振动模态，激励力在轴向位置尽可能避开模态节线，作用于壳体位置为(0.44 m,0°)，复幅度F0=1 N。前几阶周向振动模态下辐射声功率见图2。图中实线表示壳体总辐射声功率，计算时圆柱壳轴向模态及周向模态分别取m=1～20及n=0～10；虚线表示第n阶周向振动模态下壳体辐射声功率。由图2看出，径向点力激励下在1 500 Hz以内，除n=3的周向振动模态外，在每个共振频率处前三阶周向模态的每阶振动模态对声功率贡献接近100%，表明对辐射声功率作贡献的主要为前三阶周向振动模态组，即n=0～2。n=3时壳体辐射声功率峰值大多低于总辐射声功率，即周向振动模态下辐射声功率对壳体总辐射声功率贡献较小。圆柱壳部分振动能量储存在周向振动模式中不能有效辐射。由于流固声振耦合作用，此现象更明显，在中低频范围内，随周向振动模态增加，辐射效率逐渐降低。

图2　前四阶周向振动模态对辐射声功率贡献 Fig.2 The contributions to the radiated sound power from first four circumferential vibration modes

由以上分析知，水下圆柱壳受径向点力激励在低频范围内，随周向振动模态阶数增加辐射声功率逐渐降低，高阶周向振动模态对总辐射声功率贡献较小。计算低频辐射声功率时仅考虑前几阶周向振动模态即可达到计算精度，大幅缩短计算时间。进行有源控制时可针对少量振动模态，误差传感策略亦可只检测某阶或前几阶周向振动模态振动信息。

2水下圆柱壳声辐射模态

2.1声辐射模态理论

设有限长弹性圆柱壳两端简支在无限长刚性圆柱上，将有限长圆柱壳表面均匀划分为Ne个面元，每个面元的几何尺寸远小于声波长，各面元面积为ΔS，利用近场方法可得有限长圆柱壳总辐射声功率

W=VHRV

(10)

式中：V为各面元法向振速组成的Ne阶列矢量，可通过有限个结构振动模态叠加获得，即

(11)

式(10)中R=ΔSRe(Z)/2,Z为Ne×Ne阶传输阻抗矩阵。设各面元为刚性圆柱的矩形活塞，可推导出Z中第(i,j)元素表达式为

(12)

式中：(a,φi,zi)，(a,φj,zj)分别为柱坐标下第i，j个面元中心坐标。

由声场互易性知R为对称矩阵，而辐射声功率恒为正，故R为正定对称矩阵，其特征值分解为

R=QTΛQ

(13)

式中：Λ为R的特征值λk(k=1,2,…,N)构成的对角阵；Q为R的特征向量qk构成的矩阵。

辐射声功率可表示为

(14)

yk=qTkV

(15)

式中：yk为第k阶声辐射模态幅度；qk为基于振速的声辐射模态形状；λk为第k阶声辐射模态的辐射效率系数。

由上式看出，各阶声辐射模态间彼此相互独立，总辐射声功率等于各阶声辐射模态辐射功率之和。

2.2水下圆柱壳振动模态与声辐射模态之关系

据圆柱壳声辐射周向振动模态解耦特性，可单独计算各阶周向振动模态下辐射声功率。据文献[19]知

(16)

由式(16)看出，同一周向振动模态下轴向模态序数奇偶性不同的振动模态间也相互解耦。因此，对某周向振动模态下辐射声功率，可进一步分为轴向奇模态组及偶模态组辐射声功率。某周向振动模态下辐射声功率可表示为

Wn=Won+Wen

(17)

分别计算水下圆柱壳受径向点力激励各周向模态下轴向奇、偶振动模态组辐射声功率与前几阶声辐射模态辐射声功率。由于声辐射模态形状与振动模态形状有相似之处，均具有某种形式的对称、反对称性，因此用qn1n2表示圆柱壳声辐射模态，其中n1，n2分别为圆柱壳声辐射模态的轴向半波数及周向波数。

对比不同周向模态下结构振动模态辐射声功率及各阶声辐射模态声功率见图3、图4。由两图看出，低频时周向模态n=1下轴向为奇数振动模态组(如(1,1),(3,1),(5,1)…)产生的声功率与(0,1)阶声辐射模态产生的声功率吻合。随频率升高两者间差值变大，若考虑(2,1)阶声辐射模态产生的声功率，则两种模态下的声功率基本吻合；周向模态n=1、轴向为偶数振动模态组(如(2,1),(4,1),(6,1)…)产生的声功率低频时与(1,1)阶完全吻合；周向模态n=2下轴向为奇数振动模态组(如(1,2), (3,2),(5,2)…)产生的声功率低频时与(0,2)阶基本吻合，而轴向为偶数振动模态组(如(2,2),(4,2),(6,2)…)产生的声功率低频时与(1,2)阶完全吻合。其余模态以此类推。即低频时某周向振动模态下各阶振动模态辐射声功率可集中到两阶声辐射模态中，轴向为奇的振动模态组对应周向阶数相同、轴向为偶的声辐射模态，而轴向为偶的振动模态组对应周向阶数相同、轴向为奇的声辐射模态。通过控制两阶声辐射模态即可达到控制该辐射声功率。

图3　n=1时壳体模态组与声辐射模态产生的声功率 Fig.3 The sound power of the vibration modes and corresponding radiation modes under the circumferential vibration modes n=1

低频范围内声辐射模态阶数增加辐射效率降低。利用式(8)计算弹性圆柱低频辐射声功率时，可只取对辐射声功率贡献较大的声辐射模态。本算例中仿真发现，在1 000 Hz范围内对声功率产生贡献的声辐射模态主要为(0,1)、(1,1)、(0,2)、(1,2)，见图5。

因低频范围内对辐射声功率的主要贡献为前几阶声辐射模态，而据水下圆柱壳结构振动模态及声辐射模态对应关系知，振动模态周向阶数较低，说明在低频范围内随周向振动模态阶数增加辐射声功率逐渐降低，高阶周向模态对总辐射声功率贡献减小。

图4 n=2时壳体模态组及声辐射模态产生的声功率Fig.4Thesoundpowerofthevibrationmodesandcorrespondingradiationmodesunderthecircumferentialvibrationmodesn=2图5 声辐射模态产生的声功率Fig.5Thesoundpoweroftheradiationmodes

3基于主导声辐射模态水下圆柱壳有源控制

通过对比振动模态与声辐射模态可确定水下圆柱壳低频声辐射的主导声辐射模态。由分析知，当有限长圆柱壳浸没于水中时，对辐射声功率起主要贡献的为前几阶声辐射模态，因而可针对主导声辐射模态产生的辐射声功率进行有源控制。

设作用于圆柱壳的初级激振力有Q个，次级控制力有S个，据叠加原理，壳体各面元振动速度表示为

V=Vp+Vc=TpFp+TcFc

(18)

式中：Fp=[Fp1…FpQ]T，Fc=[Fc1…FcS]T分别为初级激振力、次级控制力的复幅度向量；Tp，Tc分别对应初级激振力及次级控制力到壳体位移的传递函数，可以由式(4)、(10)获得。

将式(18)代入式(10)，初级激振力、次级控制力共同作用的辐射声功率可表示为

W=VHQTΛQV=

(TpFp+TcFc)HQTΛQ(TpFp+TpFp)

(19)

以辐射声功率最小为目标函数，可求出最优次级力源复强度矢量为

(20)

用算例说明控制主导声辐射模态产生的声功率以达到降噪目的。取圆柱壳长L=1.2 m，壳体半径a=0.4 m，厚h=0.003 m，材料参数同前。虽周向模态n=0的各阶振动模态辐射效率最高，对本文结构尺寸，周向n=0下对应的各阶模态固有频率较高，在所需频率范围内对辐射声功率贡献较小，因此，据结构模态及声辐射模态对应关系，选前四阶声辐射模态(0,1)、(1,1)、(0,2)、(1,2)产生的辐射声功率为控制目标，在其最小化下获得次级最优控制力，并计算水下圆柱壳控制前后辐射声功率。初级激励力fp=δ(z-z0)δ(φ-φ0)Fp作用于壳体的(0.44 m,0°)处，复幅度Fp=1 N。次级控制力亦采用单个径向简谐点力，作用位置由圆柱壳振动模态分布确定。选轴向与初级力关于壳体轴向中间对称，周向与初级力相差180°，具体坐标为(0.76 m,180°)。图6(a)为次级控制力幅度随频率关系，图6(b)、(c)中实线为控制前总声功率，图6(b)中虚线为控制后前四阶声辐射模态(0,1)、(1,1)、(0,2)、(1,2)产生的辐射声功率，图6(c)虚线为在最优控制力作用下总辐射声功率。由图6(a)看出，在所给位置处次级控制力幅度均小于初级力幅度，在圆柱壳共振频率处两者幅度接近。由图6(b)看出，通过以低频主导声辐射模态(0,1)、(1,1), (0,2)、(1,2)产生的辐射声功率控制目标获得最优控制力，在该力作用下4阶声辐射模态产生的辐射声功率在所有峰值处均显著下降。计算的初级激励力与该次级控制力共同作用下水下壳体低频总辐射声功率(图6(c))，在所需频率范围内固有频率处辐射声功率显著降低,在130 Hz以下辐射声功率稍有溢出。此因在此频率范围内，对壳体辐射声功率器起主要贡献的(1,0)阶声辐射模态未得到控制所致。即，通过控制低频范围内主导声辐射模态可降低水下壳体低频振动声辐射。

图6　以前4阶声辐射模态产生的声功率为控制目标 Fig.6 The sound power of the first four radiation modes as the control objective

4结论

利用振动及声辐射模态分析水下圆柱壳低频模态辐射特性，据水下圆柱壳声辐射周向模态解耦特性将辐射声功率分为各阶周向振动模态下辐射声功率叠加，计算各阶周向振动模态对辐射声功率贡献，结论如下：

(1)计算水下圆柱壳受径向点力激励的总辐射声功率时，仅考虑前几阶周向振动模态即可达到计算精度；将各阶周向模态下轴向振动模态分为奇、偶模态组可揭示低频范围振动、声辐射模态的对应关系。

(2)通过对比振动及声辐射模态可确定对水下圆柱壳低频声辐射贡献最大的振动模态。对有源结构声控制而言，有助于选择对辐射声功率起主要贡献的声辐射模态进行控制。

(3)通过分析水下圆柱壳体低频振动及声辐射模态辐射特性，可设计、选择需少量误差传感器或对传感器位置不敏感又能提供较大降噪量的目标函数。

参考文献

[1]Fuller C R. Experiments on reduction of aircraft interior noise using of active control of fuselage vibration[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 1985, 78(S1): 79-88.

[2]Wang B, Fuller C R, Dimitriadis E K. Active control of noise transmission through rectangular plates using multiple piezoelectric or point force actuators[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 1991, 90(5): 2820-2830.

[3]Peter H, Kessissoglou N. Modal decomposition of exterior acoustic-structure interaction[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 2013, 133(5): 2668-2677.

[4]Elliott S J, Johnson M E. Radiation modes and the active control of sound power [J]. Journal of the Acoustical Society of American, 1993, 94(4): 2194-2204.

[5]Cunefare K A. Effect of modal interaction on sound radiation from vibrating structures [J]. AIAA Journal,1992,30(12):2819-2828.

[6]Borgiotti G V. The power radiated by a vibrating body in an acoustic fluid and its determination from boundary measurements[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 1990, 88(4): 1884-1893.

[7]Cunefare K A, Currey M N. On the exterior acoustic radiation modes of structures [J]. Journal of the Acoustical Society of America, 1994, 96(4): 2302-2312.

[8]Cunefare K A, Currey M N, Johnson M E, et al. The radiation efficiency grouping of free-space acoustic radiation modes [J]. Journal of the Acoustical Society of America, 2001, 109(1): 203-215.

[9]黎胜, 赵德有. 结构声辐射的振动模态分析和声辐射模态分析[J]. 声学学报, 2004, 29(3): 200-208.

LI Sheng, ZHAO De-you. Research on modal analysis of structural acoustic radiation using structural vibration modes and acoustic radiation modes[J]. Acta Acoustica, 2004, 29(3): 200-208.

[10]Naghshineh K, Koopmann G H. Active control of sound power using acoustic basis functions as surface velocity filters[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 1993, 93(5): 2740-2752.

[11]Naghshineh K, Chen W, Koopmann G H. Use of acoustic basis functions for active control of sound power radiated from a cylindrical shell[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 1998, 103(4): 1897-1903.

[12]李双,陈克安,潘浩然. 基于模态理论的有源声学结构控制机理研究[J]. 振动工程学报,2007,20(2):140-144.

LI Shuang, CHEN Ke-an,PAN Hao-ran. Mechanisms of active control for active acoustic structure based on mode theory[J]. Journal of Vibration Engineering,2007,20(2):140-144.

[13]周晓楠,姜哲. 结构噪声主动控制在时域声辐射模态下的仿真研究[J]. 振动工程学报, 2007, 20(2): 148-154.

ZHOU Xiao-nan, JIANG Zhe. Active control of acoustic radiation based on time radiation modes [J]. Journal of Vibration Engineering, 2007, 20(2): 148-154.

[14]马玺越,陈克安,丁少虎,等.基于平面声源的三层有源隔声结构误差传感策略研究[J]. 机械工程学报,2013,49(11): 70-78.

MA Xi-yue, CHEN Ke-an, DING Shao-hu, et al. Error sensing strategy for active triple-panel sound insulation structure using planar source[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2013, 49(11): 70-78.

[15]Peter H, Kessissoglou N. Modal contributions to the radiated sound from a fluid-loaded cylinder[C]. Proceedings of the 20thInternational Congress on Sound and Vibration, Bangkok, Thailand,2013.

[16]Johnson W R, Aslani P, Sommerfeldt S D, et al. Acoustic radiation mode shapes for control of plates and shells [C]. Proceedings of the 21stInternational Congress on Acoustics, Montreal, Canada,2013.

[17]姜哲. 声辐射问题中的模态分析(Ⅱ) 实例[J]. 声学学报, 2004, 29(6): 507-515.

JIANG Zhe. A modal analysis for the acoustic radiation problems(Ⅱ)examples[J]. Acta Acoustica,2004,29(6): 507-515.

[18]和卫平, 陈美霞, 魏建辉, 等. 基于有限测点的单层圆柱壳辐射声功率计算[J]. 船舶力学,2012,16(10): 1204-1211.

HEI Wei-ping, CHEN Mei-xia, WEI Jian-hui, et al. Calculation of acoustic power radiated from a cylindrical shell based on a limited number of measurements[J]. Journal of Ship Mechianics, 2012, 16(10): 1204-1211.

[19]Laulagnet B, Guyader J L. Modal analysis of a shell’s acoustic radiation in light and heavy fluids[J]. Journal of Sound and Vibration, 1989, 131(3): 397-415.

[20]丁少虎,陈克安,马玺越,等. 有限长同轴共线弹性圆柱壳间互辐射阻抗计算[J]. 振动与冲击, 2013, 32(17): 14-18.

DING Shao-hu, CHEN Ke-an, MA Xi-yue, et al. Mutual-radiation impedance of two coaxial aligned cylindrical shells with finite length[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(17): 14-18.