基于对偶犹豫模糊语言变量的多属性决策方法

基于对偶犹豫模糊语言变量的多属性决策方法

杨尚洪1,2，鞠彦兵1

(1.北京理工大学管理与经济学院，北京100081;2.中国船舶工业综合技术经济研究院,北京100081)

摘要：首先定义了对偶犹豫模糊语言变量，然后给出其运算规则、得分值函数、精确值函数、比较规则以及对偶犹豫模糊语言变量的加权算术平均算子、有序加权算术平均算子和混合平均算子。针对属性值为对偶犹豫模糊语言变量的多属性决策问题，提出了一种基于对偶犹豫模糊语言变量集结算子的多属性决策方法。最后，结合国家电网公司合作单位选择问题，验证了该方法的有效性和可行性。

关键词：多属性决策；对偶犹豫模糊语言变量；集结算子；合作单位选择

收稿日期：2014-04-02

基金项目：新世纪优秀人才支持计划资助(NECT-13-0037);国家自然科学基金资助项目(71271049,70972007);北京市自然科学基金资助项目(9102015)

作者简介：杨尚洪(1986-)，男，山东省枣庄市人，博士，研究方向：决策理论与方法、战略管理；鞠彦兵(1968-)，男，山东省诸城市人，教授，研究方向：决策理论与方法。

中图分类号：C934文章标识码：A

Multi-attribute Decision-making Method Based on Dual

Hesitant Fuzzy Linguistic Variables

YANG Shang-hong1,2, JU Yan-bing1

(1.SchoolofManagementandEconomics,BeijingInstituteofTechnology,Beijing100081,China; 2.ChinaInstituteofMarineTechnology&Economy,Beijing100081,China)

Abstract:In this paper, the dual hesitant fuzzy linguistic variable is defined at first, then some basic definitions such as operational laws, score function, accuracy function, comparison rules are proposed. Next, dual hesitant fuzzy linguistic weighted arithmetic averaging operator, dual hesitant fuzzy linguistic ordered weighted arithmetic averaging operator and dual hesitant fuzzy linguistic hybrid averaging operator are presented, and some properties are discussed. For fuzzy multi-attribute decision making problems in which the attribute values take the form of dual hesitant fuzzy linguistic variables, a method based on dual hesitant fuzzy linguistic aggregation operators is proposed. Finally, a practical partner selection problem of the State Grid Corporation of China is given to verify the effectiveness and feasibility of the developed method.

Key words:multi-attribute decision making; dual hesitant fuzzy linguistic variable; aggregation operators; partner selection

0引言

近些年来，由于决策环境的不确定性日益突出，相应的模糊多属性决策已经成为决策科学领域的研究热点问题之一。早在1965年，Zadeh[1]就提出了模糊集理论，之后，模糊集理论得到了快速的发展和应用。然而，传统的模糊集不能完整地刻画决策问题的全部信息而受到约束。1986年，Atanassov[2]提出了著名的用于处理不确定性信息的理论——直觉模糊集(IFS)，包含隶属度和非隶属度两部分，事实上，它是对传统模糊集理论的拓展。在直觉模糊集的基础上，学者们又提出了诸多不确定性决策理论。Atanassov[3]提出了区间直觉模糊集，将IFS中的隶属度和非隶属度用区间数的形式表达。Shu等[4]定义了直觉三角模糊数并应用于故障树分析，王坚强等[5～7]给出了直觉梯形模糊数的定义、期望值、距离公式等。然而，有些方案的属性难以用数字度量，或者使用数字计量成本过高，而利用语言评价[8]便可以满足决策的需要。为了能够更好地表达不确定性，王坚强等[9,10]把直觉模糊数和语言变量相结合，提出了直觉二元语义和直觉语言数，受此启发，刘培德等[11,12]定义了直觉不确定语言数及区间直觉不确定语言数，并将它们应用到不确定环境下的多属性决策中。

在实际决策过程中，决策者往往会在多个评价值之间产生犹豫，使得最终的决策结果难以达成一致。为此，Torra和Narukawa[13,14]提出了传统模糊集的另一种广义形式，即犹豫模糊集(HFS)，其隶属度是由若干种可能的值构成的集合。基于犹豫模糊集，陈楠等[15,16]将犹豫模糊集推广至区间的形式，给出了区间犹豫模糊集(IVHFS)的概念。Rodríguez等[17]提出了犹豫模糊语言集，林锐等[18]定义了犹豫语言模糊数和犹豫不确定语言模糊数及一些集成算子。

然而，在运用上述犹豫模糊方法进行决策时，只是提供了隶属度，粗略地表达了属性或方案属于某个集合或者语言短语的程度，忽略了非隶属度的重要性。鉴于此，朱斌等[19]提出了对偶犹豫模糊集(DHFS)，其隶属度和非隶属度均是由若干种可能的[0,1]区间上的数构成的集合，它能更准确地描述决策者的犹豫不决，比较符合客观现实。之后，鞠彦兵等[20]定义了区间值对偶犹豫模糊集，刘小月等[21]定义了犹豫直觉模糊语言集。

为了能够进一步准确地表达决策信息的犹豫性，本文提出了一种新的犹豫模糊变量，即对偶犹豫模糊语言变量，它由语言评价短语、隶属度集、非隶属度集三个部分构成。同时，本文给出了对偶犹豫模糊语言变量的运算规则、比较规则以及一些集成算子，为解决属性值为对偶犹豫模糊语言变量的多属性决策问题提出了新的方法。通过该方法，不仅可以得出备选方案的优劣顺序，更重要地是可以明确各方案的优劣程度。

1对偶犹豫模糊语言变量及其相关定义

基于对偶犹豫模糊集(DHFS)和语言评价集，我们提出了对偶犹豫模糊语言集(DHFLS)，并给出了运算规则、得分值、精确值及比较规则，其定义如下：

定义1令X为一个给定的集合，则X上的对偶犹豫模糊语言集(DHFLS)可以定义为

D={|x∈X}

(1)

其中,sθ(x)∈S={s0,s1,…,sl}，h(x)和g(x)均是由若干个不同的[0,1]区间上的数构成的集合，分别表示元素x隶属于和非隶属于语言短语sθ(x)的程度，且0≤r,η≤1,0≤r++η+≤1，其中，r∈h(x)，η∈g(x)，r+∈h+(x)=∪r∈h(x)max{r}，η+∈g+(x)=∪η∈g(x)max{η}。为了方便,记d(x)=为对偶犹豫模糊语言变量(DHFLV)。

显然，对于一个对偶犹豫模糊语言变量，若隶属度集h(x)和非隶属度集g(x)中的元素均只有一个，则对偶犹豫模糊语言变量退化为直觉语言数。

定义2假设d1=和d2=为任意两个对偶犹豫模糊语言变量，则

(1)d1⊕d2=;

(2)d1⊗d2=;

(3)λd1=,λ>0;

据定义2，可得以下运算法则：

(1)d1⊕d2=d2⊕d1;

(2)d1⊗d2=d2⊗d1;

(3)λd1⊕λd2=λ(d1⊕d2),λ>0;

定义3设d=为对偶犹豫模糊语言变量，则其得分值函数S(d)可以定义为

(2)

其中，#h和#g分别表示隶属度集h和非隶属度集g中元素的个数，(l+1)为语言评价集S的基数。

定义4设d=为对偶犹豫模糊语言变量，则其精确值函数P(d)可以定义为:

(3)

其中，#h和#g分别表示隶属度集h和非隶属度集g中元素的个数，(l+1)为语言评价集S的基数。

定义5设d1=和d2=为任意两个对偶犹豫模糊语言变量，则二者大小的比较规则为:

(1)若S(d1)>S(d2)，则d1≻d2；

(2)若S(d1)=S(d2)，则:

①若P(d1)>P(d2)，则d1≻d2；

②若P(d1)=P(d2)，则d1=d2。

2对偶犹豫模糊语言变量的集结算子

定义6设dj=(j=1,2,…,n)为一组对偶犹豫模糊语言变量，且DHFLWAA:Ωn→Ω，若

(4)

定理1设dj=(j=1,2,…,n) 为一组对偶犹豫模糊语言变量，则由定义2集成得到的结果仍是对偶犹豫模糊语言变量，且

(5)

显然，容易证明DHFLWAA算子具有有界性，如定理2 所示。

≤DHFLWAA(d1,d2,…,dn)≤

定义7设dj=(j=1,2,…,n)为一组对偶犹豫模糊语言变量，且DHFLOWAA:Ωn→Ω，若

(6)

定理3设dj=(j=1,2,…,n)为一组对偶犹豫模糊语言变量，则由定义2集成得到的结果仍是对偶犹豫模糊语言变量，且

(7)

显然，类似于DHFLWAA算子，DHFLOWAA算子同样具有有界性，此外，DHFLOWAA算子还具有交换性。

定理4(交换性)设dj=(j=1,2,…,n) 为一组对偶犹豫模糊语言变量，如果(d1′,d2′,…,dn′)是(d1,d2,…,dn)的任意置换，那么，可以得到

DHFLHA(d1′,d2′,…,dn′)=DHFLHA(d1,d2,…,dn)

定义8设dj=(j=1,2,…,n) 为一组对偶犹豫模糊语言变量，且DHFLLHA:Ωn→Ω，若

(8)

定理5设dj=(j=1,2,…,n) 为一组对偶犹豫模糊语言变量，则由定义2集成得到的结果仍是对偶犹豫模糊语言变量，且

(9)

不难证明，类似于DHFLHA算子，DHFLHA算子具有有界性。

3一种基于犹豫直觉语言信息的多属性决策方法

对于上述决策问题，运用对偶犹豫模糊语言集结算子对各方案的属性值进行集成，步骤如下：

Step 1规范化决策矩阵。由于多属性决策问题中属性存在两种类型，即效益型和成本型，两种属性值无法进行数学运算，因此需要按照以下规则进行处理：对于效益型属性，其属性值保持不变, 即dij=；

Step 2集成各方案的属性值。运用对偶犹豫模糊语言变量的加权算术平均算子对方案Ai进行集成，得到方案Ai的综合属性值di(i=1,2,…,m)。

(10)

Step 3运用公式(2)得分值函数计算di(i=1,2,…,m)的得分S(di)。

(11)

若两个方案的得分值相等，则继续计算其精确值P(di)。

Step 4按照定义5，对各方案进行排序，并选择最优方案。

4算例分析

国家电网公司拟开展一项科学技术项目研究，通过对公司战略绩效的综合评价，提升公司的战略执行能力。为了能够选择合适的单位共同开展相关研究，需要运用科学的评价方法对候选单位进行筛选。经过初步筛选，现有以下四个单位入选最终评审范围：A1:清华大学,A2:东北电力大学,A3:北京理工大学,A4:华北电力大学。为了能够准确的反映各候选单位的真实状况，需从以下3个属性C={C1:科研人员实力,C2:配套设施实力,C3:预期经济效益}对各单位进行评价，属性权重向量为w=(0.25,0.40,0.35)T，语言评价集S={s0:很低,s1:较低,s2:低,s3:一般,s4:高,s5:较高,s6:很高}。决策者给出各方案的属性值如表1所示。

表1　各方案的属性值

由于3个属性均为效益型属性，因此无须进行规范化。运用公式(10)对各方案的属性值进行集成，可以得到各方案的综合属性值di(i=1,2,3,4)如下：

d1=

0.5376,0.3914,0.4590,0.4996,0.4680,0.5271,0.5627},{0.1737,0.2213,0.2042,0.2603,

0.1866,0.2378,0.2195,0.2797}>

d2=

0.5376},{0.2921,0.3722,0.3193,0.4070,0.3138,0.4000,0.3431,0.4373}>

d3=

0.5559,0.4955,0.5267,0.6041,0.5309,0.5599,0.6320},{0.2352,0.2711,0.2639,0.3041,

0.2603,0.3000,0.2921,0.3366}>

d4=

0.6959},{0.1320,0.1938,0.1741,0.2558,0.1569,0.2305,0.2071,0.3041}>

运用公式(11)计算各方案的得分值为：S(d1)=0.1460,S(d2)=0.0533,S(d3)=0.1190,S(d4)=0.2376。

由定义5可知，排序结果为：A4≻A1≻A3≻A2，故A4(华北电力大学)为最佳合作单位。

5结论

本文基于语言评价集和对偶犹豫模糊集，定义了对偶犹豫语言模糊集(DHFLS)，给出了对偶犹豫语言模糊变量的运算规则、得分值函数、精确值函数及比较大小的规则。然后，基于对偶犹豫语言模糊变量，提出了三种集结算子，即对偶犹豫语言加权算术平均算子、对偶犹豫语言有序加权算术平均算子和对偶犹豫语言混合平均算子。最后针对属性值为对偶犹豫语言模糊变量的多属性决策问题，提出了一种新的决策方法，并通过实例，验证了该方法的有效性和可行性。结果表明，该方法不仅仅丰富和发展了模糊集决策理论，更重要地是它能够更加精确的描述决策者的犹豫信息。然而，本文仅仅做了初步探索，对于其相关的多属性决策方法、应用领域以及属性间存在相关关系等问题，仍需日后进行深入研究。

参考文献：

[1]Zadeh L A. Fuzzy sets[J]. Information and Control, 1965, 8: 338-356.

[2]Atanassov K T. Intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1986, 20(1): 87-96.

[3]Atanassov K T, Gargov G. Interval-valued intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1989, 31(3): 343-349.

[4]Shu M H, Cheng C H, Chang J R. Using intuitionistic fuzzy sets for fault tree analysis on printed circuit board assembly[J]. Microelectronics Reliability, 2006, 46(12): 2139-2148.

[5]王坚强.模糊多准则决策方法研究综述[J].控制与决策,2008,23(6):601-607.

[6]王坚强,张忠.基于直觉模糊数的信息不完全的多准则规划方法[J].控制与决策,2008,23(10):1145-1148.

[7]王坚强,张忠.基于直觉梯形模糊数的信息不完全确定的多准则决策方法[J].控制与决策,2009,24(2):226-230.

[8]Herrera F, Viedma E H, Martinez L. A fusion approach for managing multi-granularity linguistic term sets in decision making[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2000, 114(1): 43-58.

[9]王坚强,李婧婧.多粒度直觉二元语义的多准则群决策方法[J].科技信息,2009,33:8-9.

[10]王坚强,李寒波.基于直觉语言集结算子的多准则决策方法[J].控制与决策,2010,25(10):1571-1574.

[11]Liu P D, Jin F. Methods for aggregating intuitionistic uncertain linguistic variables and their application to group decision making[J]. Information Sciences, 2012, 205: 58-71.

[12]Liu P D. Some geometric aggregation operators based on interval intuitionistic uncertain linguistic variables and their application to group decision making[J]. Applied Mathematical Modelling, 2013, 37: 2430-2444.

[13]Torra V, Narukawa Y. On the hesitant fuzzy sets and decision[C]. In: The 18th IEEE International Conference on Fuzzy Systems, Jeju Island, Korea, 2009. 1378-1382.

[14]Torra V. Hesitant fuzzy sets[J]. International Journal of Intelligent Systems, 2010, 25: 529-539.

[15]Chen N, Xu Z S, Xia M M. Interval-valued hesitant preference relations and their applications to group decision making[J]. Knowledge-Based Systems, 2013, 37: 528-540.

[16]Chen N, Xu Z S, Xia M M. Correlation coefficients of hesitant fuzzy sets and their applications to clustering analysis[J]. Applied Mathematical Modelling, 2013, 37: 2197-2211.

[17]Rodríguez R M, Martínez L, Herrera F. Hesitant fuzzy linguistic term sets for decision making[J]. IEEE Transaction on Fuzzy Systems, 2012, 20(1): 109-119.

[18]Lin R, Zhao X F, Wei G X. Models for selecting an ERP system with hesitant fuzzy linguistic information[J]. Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, 2014, 26: 2155-2165.

[19]Zhu B, Xu Z S, Xia M M. Dual hesitant fuzzy sets[J]. Journal of Applied Mathematics, 2012, (2012): 1-10.

[20]Ju Y B, Liu X Y, Yang S H, Interval-valued dual hesitant fuzzy aggregation operators and their applications to multiple attribute decision making[J]. Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, 2014, DOI:10.3233/IFS-131085.

[21]Liu X Y, Ju Y B, Yang S H. Hesitant intuitionistic fuzzy linguistic aggregation operators and their application to multiple attribute decision making[J]. Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, 2014, DOI:10.3233/IFS-131083.