Laplace变换与分数阶中立型时滞微分方程

田　垒，李　琳，杨海洋

(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)



Laplace变换与分数阶中立型时滞微分方程

田垒，李琳，杨海洋

(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)

摘要：Laplace变换是求解整数阶线性微分方程的一种有效且方便的方法。本文主要应用Gronwall积分不等式获得Laplace变换法求解常系数分数阶中立型时滞微分方程合理性的条件。

关键词：Gronwall积分不等式；拉普拉斯变换；分数阶中立型微分方程；Caputo分数导数

分数微积分包括分数微分和分数积分，至今已有300多年的发展史，是整数阶微积分的推广。由于分数微积分在工程和科学方面的广泛应用，已经引起了许多学者的极大兴趣[1-10]。众所周知，Laplace变换是求解整数阶线性微分方程一种非常有效且方便的方法，但是必须强调Laplace变换法在分数阶微分方程中的正确应用[9]。文献[9]主要建立了Laplace变换法求解分数阶微分方程

(1)

合理性的充分条件。

受文献[8,9]启发，本文主要应用Gromwall不等式讨论应用Laplace变换方法来解决分数阶中立型微分方程

(2)

合理性的充分条件，其中CDαx(t)是Caputo分数阶导数，A,B,E是n×n阶常数矩阵，f(t)是n维连续的向量函数，τ是大于零的常数，φ∈C1([-τ,0],Rn) 。

1预备知识

定义1[1]如f(t)是n维向量值函数，则称

为f(t)的Laplace变换式。

定义2[2]Riemann-Liouville分数积分定义如下

其中0<α<1，x∶[0,∞)→Rn。

定义3[2]Riemann-Liouville分数阶导数定义如下

其中0<α<1，x∶[0,∞)→Rn。

定义4[2]Caputo分数阶导数定义如下

其中0<α<1，x∶[0,∞)→Rn。

定义5[2]含两个参数Mittag-Leffler函数定义如下

其中α,β>0，C是复平面。

定义6如果定义在0≤t<∞上的函数f满足以下不等式的形式

‖f(t)‖≤Heat

那么f为指数有界，其中H,α为常数。

引理1[10]若λ≥0,γ>0且b(t)在0≤t

那么

其中θ=(λΓ(γ))1/γ,

如果b(t)≡b(常数)，那么

x(t)≤bEγ(θt)

2主要结论

本节主要应用拉普拉斯变换方法讨论分数阶中立型时滞微分方程。

定理若f(t)在[0,+∞]是连续的且是指数有界的，系统(1)有唯一连续解x(t)，那么x(t)和CDα[x(t)-Ex(t-τ)]都是指数有界的，且它存在拉普拉斯变换式均存在。

证明因为f(t)是指数有界的，所以由定义6知存在正常数H,δ和T使得

‖f(t)‖≤Meδt(t≥T)

易知系统(2)和以下积分方程等价：

x(t)=φ(0)-Eφ(-τ)+

则

‖x(t)‖≤‖φ(0)‖-‖E‖‖φ(-τ)‖+

(‖A‖‖x(s)‖+‖f(s)‖)ds+

[‖A‖‖x*(s)‖+‖f(s)‖]ds+

‖Ax(t)+f(t)‖≤‖A‖‖x*(s)‖+‖f(s)‖≤M

从而

‖x*(t)‖≤(1+2‖E‖)‖φ‖+

在不等式两边乘以e-δt,则e-δt≤e-δT,e-δt≤e-δS，‖f(t)‖≤Heδt(t≥T),那么

记

从而

由定义5知

则

u(t)≤bEα(λΓ(α)tα),t≥T

由文献[9]知Mittag-Leffler函数Eα(tα)满足：

Eα(σtα)≤Weσ1/αt,t≥0,σ≥0,0<σ<2

其中W是正常数。从而有

u(t)≤bWe(λΓ(α))1/αt,t≥T

那么

‖x*(t)‖≤bWe[(λΓ(α))1/αt+δ]t,t≥T

则

‖x(t)‖≤‖x*(t)‖≤bWe[(λΓ(α))1/αt+δ]t

由方程(2)可知

‖A‖‖x(t)‖+‖B‖‖x(t-τ)‖+‖f(t)‖≤

‖A‖‖x(t)‖+‖B‖‖x*(t)‖+‖f(t)‖≤

b(‖A‖+‖B‖)We[(λΓ(σ))1/α+δ]t+Heδt≤

[b(‖A‖+‖B‖)+H]We[(λΓ(σ))1/α+δ]t,t≥T

对(2)两边关于t应用拉普拉斯变换可得

参考文献:

[1]MillerK.S.,RossB..AnIntroductiontotheFractionalCalculusandFractionalDifferentialEquations[M].JohnWiley&Sons,NewYork, 1993.

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Laplace Transform and Fractional-Order Neutral Delay Differential Equations

TIAN Lei,LI Lin,YANG Hai-yang

(School of Mathematics and Computation Science, Anqing Normal University, Anqing 246133,China)

Abstract:Laplace transform is an effective and convenient method for solving linear differential equations with integer order. In this paper, by using Gronwall integral inequality, we obtain a sufficient condition to guarantee the rationality of solving constant coefficient fractional-order neutral delay differential equations by the Laplace transform method.

Key words:Gronwall integral inequality，fractional order neutral differential equation，Laplace transform method，Caputo fractional derivative

中图分类号：O175.7

文献标识码：A

文章编号：1007-4260(2015)01-0003-03

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.002

作者简介：田垒，男，安徽安庆人，安庆师范学院数学与计算科学学院硕士研究生，研究方向为分数阶微分方程。

基金项目：安徽省高等学校省级自然科学研究基金项目(KJ2011A197，KJ2013Z186)。

收稿日期：2014-05-17