一些简谐振动系统中机械能守恒的探讨

朱光来，许新胜

(安徽师范大学 物理与电子信息学院，安徽 芜湖 241000)



一些简谐振动系统中机械能守恒的探讨

朱光来，许新胜

(安徽师范大学 物理与电子信息学院，安徽 芜湖 241000)

摘要：对于一些作简谐振动的系统，利用机械能守恒定律往往比用牛顿定律解决问题更简捷。本文利用机械能守恒讨论总结了几组典型谐振系统的动力学方程，并给出了相应的周期。

关键词：机械能守恒；简谐振动；动力学方程；振动周期

凡受线性回复力或力矩作用的物体，围绕自身平衡位置的运动称为简谐振动[1]。机械能守恒是力学中一条基本规律：若系统的所有外力和非保守内力均不做功，则系统内各质点间动能和势能可以相互转换，但其总和不变，即机械能守恒。如果一个简谐振动系统满足机械能守恒条件，根据分析力学的原理和方法，我们就可利用这一能量特征得到其动力学方程。文献[2]已经将该方法应用于常见的弹簧振子和单摆模型。实际上，除弹簧振子和单摆之外，任何作简谐振动的复杂系统，如果只有保守力做功，则整个系统的机械能守恒，这为我们提供了另一种有别于利用牛顿定律和转动定理求解系统动力学方程的思路。为了使学生进一步熟悉该方法，能够将其灵活应用到一些复杂体系，我们先以复摆为例对该方法作概述，然后应用该方法求得一些复杂谐振系统的动力学方程以展示该方法的简捷性。

1复摆

复摆是在重力作用下绕一固定水平轴作小幅摆动的刚体[3]。复摆的转轴与过刚体质心并垂直于转轴的平面的交点称为支点。复摆作为一个典型的测量重力加速度的装置，虽然在很多大学物理实验教材中是一个典型案例，但在理论教学中很多教材或老师通常不会讲解透彻。要么把它类比于一个单摆直接给出相关结果，缺少必要的解析；要么利用牛顿定律并结合转动定理，经过受力分析给出一系列方程，这种解法有点繁琐且易出错，不容易被学生接受。所以有必要进一步分析让学生领会小角度复摆为什么做简谐振动。

解析设质量为m的刚体绕转轴的转动惯量为I，其支点为O，C为质心，支点至质心的距离为h，如图1所示。

不计摩擦的情况下，复摆在摆动过程中只受重力和转轴的反作用力。反作用力的作用点在支点上，因此对转轴的力矩为零，重力矩起着回复力矩的作用而做功，而重力为保守力，所以机械能(实质上属于复摆与地球这一系统)守恒。复摆在作微幅振动过程中的总能量为其转动动能与重力势能之和，取O点为势能零点，设g为重力加速度，任一时刻刚体的角速度与角位移分别为Ω和θ，则有

(1)

2弹簧、滑轮与物体组成的谐振系统

上面我们用机械能守恒推导出了复摆作简谐振动的动力学方程，但相对牛顿定律解题所显示的优越性还不明显。我们还经常碰到由弹簧、滑轮与物体组成的一类复杂谐振系统，这时候如果从能量的角度入手，解题过程则会简捷得多。如图2所示，已知弹簧的劲度系数为k，物体的质量为m，滑轮的半径为R，转动惯量为I。开始时托住物体m，使得系统保持静止，绳子刚好拉直而弹簧无形变，t=0时放开m。设绳子与滑轮间无相对滑动。

(1) 证明放开后m作简谐振动；

(2) 求振动周期。

方法一利用牛顿定律和转动定理解题[4]

取未用手托，系统静止时m的位置为平衡位置，令此点为坐标原点，此时弹簧伸长x0，各物体的受力分析如图2所示，设物体的加速度为a，

滑轮的角加速度为β，则有mg=kx0。当物体竖直向下位移为x时，根据牛顿定律和转动定理有：mg-T1=ma，T1R-T2R=Iβ，T2=k(x0+x) ，a=Rβ。以上式子联解可得

由此可知物体作简谐振动。在以上解法中，由于学生对角量的方向性把握不是很好，很容易将表达式T1R-T2R=Iβ混淆为T2R-T1R=Iβ，导致结果中相差一个符号的疑惑。如果我们利用机械能守恒解题，则可避免类似错误。

方法二利用简谐振动系统的机械能守恒特性解题

我们把滑轮、物体和弹簧看作一个系统，则物体m和滑轮在运动过程中只有重力和弹性力做功，二者都是保守力，所以系统的机械能守恒，以物体处于平衡位置时所在位置的质心O点为势能零点，则有

(2)

上述结果与方法一的结果一致，在此方法中，只需选取势能零点，然后由式(2)演变推导而得到动力学方程，避免了方法一中受力分析时符号选取不当而出现的问题。

3物体在贯通地球的直隧道内的运动

利用机械能守恒求谐振系统的动力学方程及振动周期，这一方法不仅可以用于弹簧振子、单摆、复摆及其组成的复杂体系等常见的模型中，还可以用于其它系统，例如文献[5]中探讨了穿越贯通南北极隧道的物体与简谐振动的几个问题，现在我们从机械能守恒的角度讨论如下：

如图3所示，假若在地球表面的A，B之间挖开一条直通隧道，一小球只受到地球的引力作用，自A处从静止开始沿隧道向B处运动，不计小球在运动过程中受到的摩擦力，求证小球在隧道内的运动为简谐运动。设地球质量分布均匀，并且忽略地球自转的影响[5]。

由题意，设地心到隧道的最短距离为d，取隧道中点为坐标原点O，当小球的位置矢量为x时，则小球距中心的距离r2=x2+d2，则其引力势能可表达为

小球从静止开始在隧道内运动，只受到万有引力这一保守力的作用，所以机械能守恒，即

(3)

4结束语

机械能守恒是力学体系中物体作简谐振动的必要条件，利用这一事实，我们可方便地导出其动力学方程，并依此判断物体运动是否作简谐振动，给出相应的振动周期。这种方法比用牛顿定律直接推导显得简捷一些，尤其在一些复杂振动系统中优势更明显，因此在教学中有必要强调利用机械能守恒这一特征。如果一个系统在振动过程中，除了动能与保守力做功转换外，还有电势能等其它形式的能参与振动，例如电磁场中带电粒子的运动，则可以考虑将上述方法推广用能量守恒来解决。

参考文献:

[1]漆安慎, 杜婵英. 力学基础[M]. 北京: 高等教育出版社, 1984: 389-392.

[2]查新未. 物理学导论[M].西安: 西安交通大学出版社, 2007: 142-144.

[3]倪致祥, 朱永忠, 袁广宇, 黄时中. 大学物理学(上册)[M]. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 2005: 100-101.

[4]张淳民, 查新未, 刘凤英, 孟杰. 普通物理、大学物理经典名题名师解析[M]. 北京: 科学出版社, 2006: 85-86.

[5]陈余华, 赵高志. 浅析物体在地球内部的引力势能问题[J]. 物理教师, 2005, 26 (11): 61-62.

Discussions on the Conservation of Mechanical Energy of Simple Harmonic Motion

ZHU Guang-Lai, XU Xin-Sheng

(College of Physics and Electron Information, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

Abstract:For some simple harmonic motion systems, it is simpler to solve problems by conservation of mechanical energy than Newton's laws of motion. Based on conservation of mechanical energy, equation of motion and their vibration periods of several special simple harmonic motion systems were discussed.

Key words:conservation of mechanical energy, simple harmonic motion, equation of motion, vibration period

中图分类号：O321

文献标识码：A

文章编号：1007-4260(2015)01-0112-03

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.032

作者简介：朱光来，男，安徽舒城人，博士，安徽师范大学物理与电子信息学院副教授，主要从事物理教学和分子物理研究。

基金项目：安徽省自然科学基金(1308085MB20)和安徽省教育厅自然科学基金(KJ2010A145)。

收稿日期：2014-11-15