构造法处理数学问题之例解

吴章文

(长江工程职业技术学院，武汉 430212)



构造法处理数学问题之例解

吴章文

(长江工程职业技术学院，武汉 430212)

数学问题复杂多样，处理问题的方法也是不胜枚举。为了教学的直观性和处理内容的灵活性，在不同课程内容中让学生找到相似规律，这里讨论的是构造法处理某些数学问题，以期提高学生解决数学问题的能力。

教学；初数；高数；构造法

1 跳跃式构造方法

由一种处理方法过渡到另一种处理方法，姑且将之表述为跳跃式。这种思维在数学研究中比比皆是。

就一元二次方程而言，主要有求根公式，还有韦达定理：

；

我们经常利用韦达定理作辅助方程解决其它问题。

显然直接处理有难度，但如果从多元方程式跳回一元二次方程，问题易于解之。从原方程可以得到：x+y=4；xy=4(1+sin2z)从而作辅助方程：u2-4u+4(1+sin2z)=0，本方程有实数解。故有

Δ=16-16(1+sin2z)≥0，

⇒，sin2z≥0，⇒，sinz=0

2 联想式构造法

高等数学与现代工程数学中可以看到这种构造的影子，或者说通过联想可以解决一些高数与工程数学问题。

这个结论或定理的论证能联想到初等数学中的方法就易于理解了。

3 动静结合构造法

罗尔中值定理具有明显的几何特征，试以下图作些说明。

图1

(1)f(a)=f(b)，曲线在闭区间[a,b]上连续

(2)曲线在区间(a,b)内光滑，也即可导f'(x)

(3)至少还有一点§，切线平行于OX轴，也即f'(ξ)=0

把这静止的构造图想象成运动的，图形活起来了，思维活起来了，数学的结论也活起来了，就可由罗尔中值定理顺畅地过渡到拉格朗日中值定理，证明定理的好方法也找到了。

图2 拉格朗日中值定理说明图

很显然，原来的水平割线AB，绕A点在平面内逆(顺)时针运动，C点的切线当然就由平行OX轴变为平行于割线AB了。明白这样的动静关系，定理的论证也就不难了。

以运动的观点看，我们又回到了罗尔中值定理。则有：

(1)曲线连续

(2)F(x)显然是可微的

(3)F(a)=F(b)=0

也许构造法可以将不同阶段，不同层次，不同的数学内容进行某些联结，使数学的学习有些立体的感觉。构造法在数学定理的证明、理解或是问题的求解中，有时可以起到奇特的效果。

[1] 吉林大学.数学分析习题课讲义[M].吉林：吉林大学出版社.

[2] 同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社.

[3] 华中科技大学数学系.复变函数与积分变换[M].北京：高等教育出版社.

[4] 张远达.线性代数原理[M].上海：上海教育出版社.

On Constructive Method for Solving Mathematical Problems

WU Zhang-wen

(Changjiang Institute of Technology, Wuhan 430212, China)

Mathematical problems are complex and diverse, and the methods of dealing with problems are numerous.In order to increase teaching intuition, deal with teaching contents flexibly and help students find similar laws in contents of different courses, constructive methods are discussed to improve of students' ability to solve mathematical problems.

teaching; elementary mathematics; advanced mathematics; constructive methods

2016-08-15

吴章文(1960-)，男，武汉人，副教授，大学，主要研究方向：数学计算理论。

G642.0

A

1673-0496(2016)04-0062-02

10.14079/j.cnki.cn42-1745/tv.2016.04.021