非线性确定采样型滤波器采样点优化算法*

吴青坡,丛源材,周绍磊

(1 92313部队,河南济源 459000;2 92886部队,山东胶州 266300;3 海军航空工程学院,山东烟台 264001)

非线性确定采样型滤波器采样点优化算法*

吴青坡1,3,丛源材2,周绍磊3

(1 92313部队,河南济源 459000;2 92886部队,山东胶州 266300;3 海军航空工程学院,山东烟台 264001)

采样点的选取对确定采样型滤波器的精度和稳定性起着决定性作用,为提高滤波器的数值稳定性,首先,采用协方差矩阵分解方法对获得的采样点进行优化,解决了数值大小对采样点离采样中心距离的影响问题;其次,通过选择合适的正交变换,在不改变滤波精度的前提下消除了采样点中存在的非局部效应;最后,利用一个落体跟踪模型对所提基于采样点优化方法的确定采样型滤波器进行仿真分析,仿真结果验证了该采样点优化方法的有效性。

确定采样型滤波器;采样点优化;协方差矩阵分解;正交变换

0 引言

对于线性高斯系统,Kalman滤波即是最优滤波器,而对于非线性系统,人们主要采用扩展Kalman滤波器(extended Kalman filter,EKF)及其相关改进算法等次优解的近似方法。但EKF存在精度偏低、需计算Jacobian矩阵、要求非线性函数连续可微等理论局限性,系统具有强非线性和高维数时数值稳定性较差,滤波精度不佳[1]。确定采样型滤波因具有实现简单、估计精度高等优点,目前已得到国内外学者的广泛关注[2-6]。

确定采样型滤波器在应用过程中出现滤波发散或失败的情况,主要是由于在协方差矩阵的计算中出现了非正定的协方差矩阵和非局部效应导致的协方差矩阵过大[7],Julier提出了对采样点进行比例修正的方法,提供了3个自由参数来调整采样点到采样中心的距离和权值,但并没给出参数调整的具体方法。Merwe[8]提出在滤波过程中采用协方差矩阵的平方根矩阵代替协方差矩阵,然而导致协方差矩阵非正定的因素并没有消除。Lefebvre[9]提出增加一个权值为1的中心采样点来增大协方差矩阵从而保证协方差矩阵半正定,但这会大大降低滤波器的精度。Xiong[10]通过人为增大系统噪声矩阵来增加滤波器的稳定性,保证了协方差矩阵的半正定性,却以牺牲精度为代价来提高稳定性。Arasaratnam[6]提出基于球面径向容积法的CKF(cubature Kalman filter),其获得采样点的方法为实现高精度的采样点提供了理论基础。CKF解决了UKF(unscented Kalman filter)中采样点权值为负的问题,同时也带来了非局部效应,限制了其在高维系统中的应用。Chang[11]巧妙地构建了一个正交矩阵,消除了非局部效应。

为提高确定采样型滤波器的数值稳定性,避免滤波发散,文中从协方差矩阵分解的角度研究了提高滤波器稳定性的方法。采用基于相关系数分解的方法获得平方根矩阵,可有效消除滤波采样点中由于协方差矩阵中元素数值大小而产生的远离采样中心的问题。利用正交变换方法,在不会改变滤波精度的前提下消除了采样点中存在的非局部效应。

1 确定采样型滤波器

给定系统状态方程和量测方程

xk+1=f(xk)+wk+1

(1)

yk+1=h(xk+1)+vk+1

(2)

式中:xk∈Rn为n维状态向量;yk∈Rm为m维量测向量;系统噪声wk和量测噪声vk均为高斯白噪声,协方差矩阵分别为Qk和Rk;wk和vk相互独立,且与状态量和量测量不相关。

确定采样型滤波器在非线性高斯滤波框架下通过对一二阶矩近似实现状态估计,过程如下[3-5]:

2)状态传递方程

χi=f(σi)

3)量测更新方程

ξi=h(χi)

2 协方差矩阵分解

这里采用基于相关系数矩阵分解的新方法对协方差矩阵进行分解。

2.1 协方差矩阵中的信息提取

方差代表随机变量相对其数学期望的分散程度,通常当随机变量的取值离数学期望越远则出现的概率越小,与之对应的是采样点离中心点越远,其权值越小。在确定采样中,权值相同的基础采样点离中心点的距离相同,但经过线性变换后,距离会发生变化,这是造成滤波器误差的一个重要原因。标准差代表了一个随机变量偏离其数学期望的平均距离,如果将采样点看作是等权值的,那么超出标准差越远的点出现的概率越小。因此,在协方差矩阵分解时,应当尽可能减小这一变化的影响。

由于随机向量中各分量标准差大小不同,不同分量间协方差的大小无法准确描述相关程度的大小,对协方差进行标准化得到相关系数ρij为:

ρij描述了状态变量xi和xj之间的线性相关程度,0≤ρij≤1,ρij越大表明xi和xj之间的线性相关程度越强,显然,xi和其自身呈线性关系,即ρii=1。

为了消除标准差的影响,将协方差矩阵P分解为对角矩阵D和相关系数矩阵C。

P=DCDT

(3)

式中:D为由随机向量中各分量的标准差,即P的对角线上的元素的正平方根组成的对角矩阵:

由相关系数的定义ρij=ρji,C为对称矩阵。

相关系数矩阵为无量纲矩阵,其中各个元素的数值大小真正地反应了它们的重要性,即相关程度。

2.2 基于相关系数分解的平方根矩阵

根据式(3),只需要对C进行分解就可以得到P的平方根矩阵。相关系数矩阵C应当是正定对称矩阵,可采用cholesky分解来获得其平方根矩阵。由于cholesky分解计算量比较小,目前在确定采样滤波器中通常采用该方法。但滤波过程中存在的各种误差都可能导致正定的条件不能满足,从而出现滤波失败的情况。另外一种可用于获得平方根矩阵的矩阵分解方法是奇异值分解,该方法对矩阵的正定性没有要求,因此采用奇异值分解可以在矩阵出现非正定的情况下依然能获得平方根矩阵。

对n×n维的相关系数矩阵C进行奇异值分解得:

C=UΛUT

(4)

式中:U为n×n维正交矩阵;Λ为由C的奇异值为对角线元素的n×n维对角矩阵。U的列向量组成矩阵C的列向量所在空间的标准正交基。奇异值λi满足λ1≥λ2≥…≥λn。奇异值的大小表明了在该奇异值对应的基向量上所包含的矩阵C的信息量的大小,即在各分量相关性较高的方向上的点离中心点的距离远。这一特点能更好地体现出采样点的差异性。

由式(3)和式(4)得协方差矩阵的平方根矩阵为:

(5)

将状态向量的标准差投影到Ui上,Ui为单位向量,得到状态向量在该方向上的散布程度DUi,因此保证了每个分量的散布程度不超过其标准差。对相关系数矩阵C进行奇异值分解的结果使得采样点能够更准确地描述随机状态向量的统计特性。

3 正交变换下采样点的优化

正交变换利用平方根矩阵对基础采样点的线性变换可以获得滤波所需的采样点,而对平方根矩阵的正交变换不会影响采样点的分布特性。因此,可以在不改变滤波器精度的前提下,通过选择合适的正交变换解决采样点中存在的非局部效应。

给定正交矩阵T=[T1;T2;…;Tn][11],其中:

Tk=(βk,1,βk,2,…,βk,n)T,k=1,2,…,n

CKF的基础采样点可表示为[6]:

在正交变换γ=Tσ下进行采样点优化,得到新的基础采样点:

qk=(qk,1,qk,2,…,qk,n)T,k=1,2,…,n

当n为奇数时,qk,n=(-1)k。由此得到的基础采样点γ将消除非局部效应。

i=1,2,…,n(n-1)/2

{si}={(ek+el),k

{ti}={(ek-el),k

在正交变换T下该基础采样点变为:

i=1,2,…,n(n-1)/2

4 仿真分析

采用落体跟踪算例[2]对不同确定型滤波器及采样点优化后对滤波结果的影响进行验证,这里选择UKF进行对比。如图1所示,假设一个从空中下落的物体,其高度是x1,速度为x2,常弹道系数为x3。测量装置的高度为H,与落体的水平距离为M。

图1 垂直落体跟踪几何图

系统方程为:

其中:wi为过程噪声;v为量测噪声;ρ0为海平面空气密度;k为描述空气密度和高度之间关系的常数;g是重力加速度。采用连续时间方程来描述系统,假定获得量测的周期为0.5 s。系统初始条件和估计给定如下:

文献[2]采用该模型验证了UKF比EKF具有更好的估计效果。这里只对新滤波算法和UKF作比较。在相同运行环境下,进行50次Monte Carlo仿真,各状态量的绝对估计误差平均值如图2～图4所示。

从仿真结果看,在前10 s,落体高度和速度估计误差逐渐增大,10 s前后估计误差达到峰值,这是由于加速度发生了较大的变化,呈现出非常强的非线性所导致的,与文献[12]中提到的局部方法可以处理的强非线性问题只是相对的观点相吻合。10 s过后,估计误差迅速减小并趋于稳定。

改进方法与UKF对落体高度和速度的估计效果相当,但其在前几秒对落体速度的估计中新滤波算法要好于UKF,且对弹道系数的估计要明显好于UKF。由于弹道系数直接影响加速度,故前几秒中,改进方法对速度的估计误差也小于UKF。这是由于弹道系数的数值远小于高度和速度,对协方差矩阵直接进行分解,会忽略数值较小的分量,产生较大的误差。新滤波方法将协方差矩阵分解为标准差对角阵和相关系数矩阵两部分,对相关系数矩阵进行奇异值分解,由于相关系数是无量纲的,因此消除了数值大小的影响。在这一算例中,弹道系数的估计误差对其他状态量的影响较小,对系统的稳定性影响较小。但如果数值小的分量对系统稳定性影响较大,那么很可能会导致滤波发散,因此,改进方法在一定程度上提高了滤波的稳定性。

图2 落体高度绝对估计误差平均值

图3 落体速度绝对估计误差平均值

图4 弹道系数绝对估计误差平均值

5 结论

文中首先从协方差矩阵分解的角度研究了提高滤波器稳定性的方法,其次,利用正交变换方法,在不会改变滤波精度的前提下消除了采样点中存在的非局部效应。最后,通过仿真分析,表明改进后的优化算法具有一定的优越性。

[1] 王小旭, 潘泉, 黄鹤, 等. 非线性系统确定采样型滤波算法综述 [J]. 控制与决策, 2012, 27(6): 801-812.

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[12] PEREA L, HOW J, BREGER L, et al. Nonlinearities in sensor fusion divergence issues in EKF, modified truncated SOF, and UKF [C]∥AIAA Guidance, Navigation and Control Conference and Exhibit, South Carolina, 2007.

Sample Points Optimization Technique of Nonlinear Deterministic Sampling Filter

WU Qingpo1,3,CONG Yuancai2,ZHOU Shaolei3

(1 No.92313 Unit, Henan Jiyuan 459000, China; 2 No.92886 Unit, Shandong Jiaozhou 266300, China; 3 Naval Aeronautical and Astronautical University, Shandong Yantai 264001, China)

The selection of sample points plays a decisive role on the accuracy and stability of filter during the filter process of deterministic sampling filters. In order to improve the numerical stability of the filter, the obtained sampling points was optimized by covariance matrix decomposition, which solves the problem of the numerical influence on the distance between sample points and the mean Then the appropriate orthogonal transformation is used to eliminate the non-local effect, and it will not change the accuracy of filter under invariant theory. Finally, the effectiveness of the sample points optimization technique is validated through the simulation of a tracking problem

deterministic sampling filters; sampling points optimization; covariance matrix decomposition; orthogonal transformation

2015-06-07基金项目:国家自然科学基金(61004002);航空基金(20110184)资助

吴青坡(1985-),男,河南南阳人,博士研究生,研究方向:多智能体协同控制、非线性滤波理论。

TJ55

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