一类有理-三角样条曲线



一类有理-三角样条曲线

引文格式： 马虹，彭丰富.一类有理-三角样条曲线[J].桂林电子科技大学学报，2016,36(1):52-55.

马虹，彭丰富

(桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林541004)

摘要：为了构造一种代数-有理多项式与三角函数相结合的参数曲线，基于代数-三角混合函数空间构造参数曲线曲面的理论，运用有理参数曲面的生成方法，把代数-三角混合多项式应用到有理多项式样条中，构造了一类有理-三角样条曲线，对该曲线的性质及构造方法进行了研究。有理-三角多项式作为有理多项式的推广，在插值和逼近上比多项式更具有灵活性和有效性，而且在曲线曲面形状的控制方面具有很好的应用。此类曲线是摆线的广义情形，具有良好的端点性质和插值多样性。

关键词：曲线；代数三角混合多项式；有理-三角函数

曲线曲面造型技术对计算机辅助几何设计具有非常重要的研究意义，在构造参数曲线曲面时一般以多项式为基函数，样条函数自发展以来经历了Ferguson曲线、Bézier曲线、B样条曲线和有理B样条曲线，现在应用比较广泛的是非均匀有理B样条(NURBS)曲线[1-3]。B样条和NURBS具有表示与设计曲线曲面的很多优点，但是仍然存在一些问题。例如，B样条对于一些二次曲线曲面只能近似地予以表示；NURBS的有理形式虽然可以精确地表示二次曲面，但其有理形式也使计算变得复杂；Bézier方法推进了曲线曲面的设计，但是对曲线的控制性存在不足[4-6]。代数-三角多项式样条函数可以克服某些曲线不能精确表示的缺点。张纪文[7]提出了均匀节点的C-曲线概念。2001年，Mainar等[8]在代数三角混合函数空间中提出了规范B基的构造，所构造的曲线曲面不仅具有插值性、光顺性和局部可调性等优点，而且在适当的条件下还可以精确表示二次曲线曲面。近年来，用代数三角混合多项式表示参数曲线曲面成为了一种崭新的方法，吕勇刚等[9]在扩展的代数三角混合函数空间中提出了k阶代数三角多项式样条。

有理多项式样条函数既是有理逼近的重要组成部分，又是多项式样条的推广，兼顾了二者的优点，更具一般性和灵活性。为此，将有理多项式与代数-三角多项式样条相结合，构造了一类有理-三角平面曲线，并分析了其相关性质。

1有理-三角平面曲线

平面内的m次有理曲线可以用参数方程对其进行表示[11]：

(1)

其中a(s),b(s),c(s)∈R[s]，且max(deg(a)，deg(b)，deg(c))=m。

空间n次有理曲线的参数方程为

(2)

其中a(t),b(t),c(t),d(t)∈R[t]，且max(deg(a),deg(b),deg(c),deg(d))=n[11]。

一般情况下，为了讨论方便，式(2)中的前3项可以写成齐次形式P(t)=(a(t),b(t),c(t))，其表示为一空间曲线，其中gcd(a,b,c)=1[11]。同样P(t)的次数定义为：

deg(P(t))=max(deg(a),deg(b),deg(c))。

(3)

类似地，有理参数曲面可表示为：

通常写成齐次形式：

其中a,b,c,d∈R[s,t]，且gcd(a,b,c,d)=1[10]。

根据有理曲面的构造方法，由平面内m次有理曲线P(s)=(A(s),B(s),C(s))及空间n次有理曲线P(t)=(a(t),b(t),c(t),d(t))，可生成一个双阶(m,n)的空间曲面[12]，

(4)

类似地，利用这种方法就可得到一类有理-三角样条曲线。由平面曲线Q(θ)=(θ-sinθ,1-cosθ,1)与P(t)=(1,1,1/r(t))可以生成空间曲线S(θ,t)：

(5)

其中，1/r(t)为多项式，t∈R+。

由式(5)的同态形式，若定义t与θ的一个函数关系，从而可以得到平面曲线

(6)

即在欧几里德空间中有参数曲线：

(7)

这里，定义t与θ的关系

(8)

对式(8)两边积分，

(9)

令r为有理多项式，

(10)

代入式(9)，得

(11)

2曲线性质

构造的有理-三角平面曲线(7)，若令r(t)为常数即为摆线，其几何意义为：当一个圆在一条直线上作不滑动的滚动时，圆周上的点所描绘的旋轮线称为摆线。滚动圆半径r为关于参数t的有理多项式，t∈[0,1]；θ为圆的半径滚动经过的角度，θ∈[0,2π]。当θ从0变动到2π时，动圆上一定点就刻画出广义摆线。

在有理多项式(10)中，如当m=5，

(12)

代入式(11)得

(13)

取广义摆线上的任意6点：p1(0.007 9,0.037 2)，p2(0.132 8,0.186 2)，p3(0.402 3,0.256 1)，p4(0.256 4,0.018 4)，p5(0.710 4,0.047 1)，p6(1.196 1,0.000 6)，通过插值可得到动圆半径及摆线图形。

r(t)具有如下性质：

1)正性。r(t)≥0。

2)单调性。有理多项式r(t)和其一阶导数r′(t)的图像分别为图1、2。从图1、2可看出，其单调性为：当t∈[0，0.5)时，r(t)单调递减；当t∈(0.5,1]时，r(t)单调递增。

图1　有理多项式曲线Fig.1　Rational polynomial curve

图2　有理多项式一阶导数曲线Fig.2　First derivative curve of rational polynomial

3)存在性。广义摆线中，对于一组精确的数值点通过插值法求解其对应方程组有解，节点对应的参数也是明确的。这一性质使得构造的曲线具有插值多样性，且满足光顺的要求。

所构造的有理-三角多项式样条曲线具有如下性质：

1)端点性质。有理-三角样条曲线在t∈[0，1]区间具有良好的端点性质，图像经过首末两端点，如图3所示。

2)单调性。当t∈[0,0.5]时，曲线单调递增；当t∈[0.5,1]时，曲线单调递减。

3)拼接性。有理-三角样条曲线在端点处一阶导数连续，具有很好的拼接性，如图4所示。

图3　有理-三角多项式曲线Fig.3　Rational-trigonometric polynomial curve

图4　有理-三角多项式一阶导数曲线Fig.4　First derivative curve of rational-trigonometricpolynomial

3结束语

为了构造一种代数有理-三角有理多项式与三角函数相结合的参数曲线，构造了一类有理-三角样条曲线，这类曲线一方面继承了多项式样条曲线的优点，另一方面描述与设计的曲线曲面具有较好的插值性、光顺性、形状可调节性。另外，有理形式的三角多项式样条曲线能精确表示一些二次曲线曲面，在研究曲线曲面的应用上有较好的实用价值。通过增加一个坐标系，可推广到空间曲线的构造。

参考文献:

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[8]MAINARE,PENAJM.AbasisofC-Béziersplineswithoptimalproperties[J].ComputerAidedGeometricDesign,2002,19(8):291-295.

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[11]贾晓红.有理曲线与曲面的μ基理论[D].合肥：合肥工业大学，2009:20-129.

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编辑：翁史振

A type of rational-trigonometric curve

MA Hong, PENG Fengfu

(School of Mathematics and Computational Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China)

Abstract：In order to construct a kind of parametric curve combined with algebraic-rational polynomial and trigonometric function, based on the theory of constructing parametric curve and surface in the algebraic-trigonometric blending function space, by using the rational parametric surface generating method, the algebraic-trigonometric blending polynomial is applied to rational polynomial splines for constructing a type of rational-trigonometric curve. The nature and construction method of the curve is studied. As the promotion of rational polynomial, the rational-trigonometric polynomial is more flexible and effective in interpolation and approximation, and has a good application on controlling curve and surface. This kind of curve is a generalized case of cycloid with good endpoint property and interpolation diversity.

Key words：curve; algebraic-trigonometric polynomial; rational-trigonometric function

中图分类号：TP391

文献标志码：A

文章编号：1673-808X(2016)01-0052-04

通信作者：彭丰富(1972-)，男，湖南双峰人，副教授，博士，研究方向为计算机辅助几何设计。E-mail:pengfengfu@aliyun.com

基金项目：广西自然科学基金(2015GXNSFAA139014)

收稿日期：2015-10-08