数学思想方法是数学教学的立足点

福建省将乐县第四中学 杨永泰

数学思想方法是数学教学的立足点

福建省将乐县第四中学 杨永泰

“数学课程标准”在总体目标中提出：“通过义务教育阶段的数学学习，使学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”在中小学数学教学中，教师有计划、有意识、有步骤地渗透一些数学思想方法，是体现义务教育性质，落实课程目标，提高学生数学素养的重要举措。

数学思想方法 换元 类比转化 数形结合 分类

数学思想方法作为数学学科的“一般原理”，在教学中是至关重要的，因此，教学中渗透数学思想方法是提高学生数学素养的重要举措。在初中数学教学中，教师应把握时机，适时不断渗透和传导数学思想，它是数学教学的立足点。下面我就结合平时的教学，谈谈几种常见的数学思想在教学中的渗透。

一、换元思想

用字母表示数是初等代数的核心思想，这是初中数学中最早出现的换元思想，以后在每个知识环节中会反复接触到，尤其是在因式分解、整式乘法、分式、二次根式的加减运算和解方程等内容中都不断地运用这一基本思想指导解题活动。教学中，教师应注重通过设计问题序列，暴露“元”的形成背景，让学生了解“元”的产生与变化形式，引导学生用换元思想进行解题。例如：代数第三册P29例5和例6。

例题5：把多项式x2-y2+ax+ay分解因式

例题6：把多项式a2-2ab+b2-c2分解因式

我在教学中设计了如下问题序列：

A：探索例5时：①将bm+am分解因式怎么样分解？②然后把m换成（x+y）后问学生：b（x+y）+a（x+y）怎么样分解？③接下来把b换成（x-y）即：（x-y）（x+y）+a（x+y）怎么样分解？④最后问学生例1该怎么样分解？

B：探索例6时：①出示a2-c2如何分解因式 ？②（a-b）2-c2如何分解？③例题2如何分解？

这种用换元的方法由简到繁地展示解题过程，不仅解决了这节课教学中的难点，而且使学生认识到问题的形式可变得越来越复杂，但原型相同，达到了化繁为简的目的。

二、类比思想

类比是依据两个数学对象的相似性，把其中一个数学对象（已知的知识）迁移到另一个数学对象上，从而获得对后一个对象的新知识。类比是伟大的引路人，是很有创造性的一种思想方法。数学家拉普拉斯指出：“在数学里发现真理的主要工具是归纳和类比。”数学中根据类比对象间某些相同或相似的属性，引导学生大胆进行推理和联想，可使学生开辟出新知识的天地和产生创造性的灵感。

例如，在学开方运算一节时从加与减、乘与除的互逆运算中，引导学生联想乘方是否也有逆运算？从而引入开方的知识。在学习相似三角形的性质和判定时，从全等三角形的性质和判定引导学生去猜想推证相似三角形应具有哪些性质和判定，并结合实际事例说明全等是大小相等，形状相同，而相似是大小不等，形状相同，因而教师可大胆地让学生通过合理的猜想和推测而得到相似三角形有关的性质和判定，然后在教师的指导下进一步进行论证。在复习分式一章时，我采用列表把分数的概念、性质和运算与分式的概念、性质和运算通过类比的思想方法逐项对照，学生不难看出分式的概念、性质和运算与分数的概念、性质和运算只有一个“数”改成“式”而已。使学生在分数的基础上深刻理解分式，充分体现了“数式通性”的原则。

这样通过类比进行教学，学生好理解，易接受，便记忆。总之，在教学中通过类比可开阔学生的思路，启迪思维，由此及彼，由表及里。

三、转化思想（化归思想）

转化思想是根据已有的知识经验，通过观察，类比联想等方法将一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想，体现在数学解题中，就是将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的或已解决的或易于解决的问题的思想。它能化新为旧，化繁为简，化隐为显，化一般为特殊，化未知为已知，化抽象为具体。教材中的每一章节都充分体现转化思想,它是解决数学问题的关键。在教学中的一个重要出发点就是如何建立学生原有知识的结构与新知识之间的相应联系，以激发学生有意义地学习。教师如何教会学生将问题进行有意义的转化是提高数学素质的关键所在。在教学中,我们要不断诱发学生转化问题的欲望，使之形成自觉转化的意识。

例如，在对“三角形内角和”的探索中，我首先让每位学生剪一个三角形，再把它的三个角剪下来拼在一起，这正好与已有的知识经验（平角的定义）产生了联系。然后我引导学生从图形上将三角形的三个角移到一起，这就不难得出下面的一些转化办法：（如图）

通过添加平行线可把三角形的三个内角移到一起，正好合成了一个平角，从而得出“三角形的内角和等于180°”。

又如，抛物线的顶点P（-2，8）与x轴的交点为A（2，0），C（-6，0），与y轴的交点为B（0，6），求四边形ABPC的面积。

这道题要我们求四边形ABPC的面积，由于它是一个不规则的任意四边形，只有通过转化为几个三角形与特殊四边形才能求解，这时要启发学生连接OP，则△COP与△BOP与△AOB的面积之和就是四边形ABPC的面积，即：S四边形ABPC=S△COP+S△BOP+ S△AOB=24+6+6=36。

这种转化思想具有普遍的意义，在解题实践中被广泛应用。

四、数形结合思想

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而数学研究是围绕着数与形进行的。“数”就是方程、函数、不等式及表达式，代数中的一切内容；“形”就是图形、图像、曲线等。数形结合的本质是数量关系决定了几何图形的性质，几何图形的性质反映了数量关系。数形结合就是抓住数与形之间的内在联系，以“形”直观地表达数，以“数”精确地研究形。华罗庚曾说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉。数学最本质的特点是抽象，然而数学教学要求把抽象的东西形象化，又通过直观的形象来深化抽象的内容，因此，教师在教学时要不断创设数形结合的情景。

数轴是数形结合的良好载体，初中代数的大部分内容，如果让数轴参与其中，这部分内容就显得格外形象、直观、生动。假若不等式组的解集不在数轴上标出各个不等式的解集来，则其公共部分就不易确定。