平均数和方差的变化规律

□邹兴平



平均数和方差的变化规律

□邹兴平

一般地，设n个数据x1，x2，…，xn的平均数为，则方差方差反映了一组数据的波动性的大小，方差越大，波动性越大.

当一组数据的每一个数据都发生规律性的变化时，如同时扩大（或缩小）到原来的a倍，或同时增加（减少）b，它们的方差或平均数会有什么样的变化呢？

引例已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为方差为s2，把每个数据先乘以a，再减去b，得到一组新的数据ax1-b，ax2-b，…，axn-b，这两组数据的平均数相同吗？方差呢？

分析：观察两组数据可知，第二组数据是第一组数据规律性变化后的结果，求第二组数据的方差或平均数时，应借助于第一组数据的方差或平均数.

在新数据中，令y1=ax1-b，y2= ax2-b，…，yn=axn-b，

综上所述，我们可以得到这样一个规律：若数据x1，x2，…，xn的平均数为方差为s2，则新数据ax1+ b，ax2+ b，…，axn+ b的平均数为方差为a2s2.

例1（2015·遵义）如果一组数据x1，x2，…，xn的方差是4，则另一组数据x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是（）.

A. 4 B. 7 C. 8 D. 19

解析：根据题意得：数据x1，x2，…，xn的平均数设为a，则数据x1+3，x2+3，…，xn+3的平均数为a+3，根据方差公式a）2+（x2-a）2+…+（xn-a）2］=4，则 +（xn-a）2］=4.故选A.

例2已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为5，方差为4，把每个数据先乘以3，再减去2，得到一组新的数据3x1-2，3x2-2，…，3xn-2，这两组数据的平均数相同吗？方差呢？

在新数据中，令y1=3x1-2，y2= 3x2-2，…，yn=3xn-2，

所以题中两组数据的平均数、方差均不同，新数据的平均数为3× 5-2=13，方差为32×4=36.