基于随机骨料模型的混凝土弹性模量预测研究

杨 华,李宗利,惠弘毅

（西北农林科技大学水利与建筑工程学院,陕西杨凌 712100)



基于随机骨料模型的混凝土弹性模量预测研究

杨 华,李宗利,惠弘毅

（西北农林科技大学水利与建筑工程学院,陕西杨凌 712100)

摘 要：为确定混凝土的弹性模量,基于细观层次假定混凝土是由骨料、砂浆和两者之间的粘结界面组成的三相复合材料,借助蒙特卡罗方法和瓦拉文公式,在二维平面上建立了随机骨料模型。通过有限元法预测混凝土的弹性模量,并将数值计算结果与试验结果进行比较,验证了该细观有限元模型的有效性。在此基础上研究了混凝土各细观组成成分的弹性模量、骨料体积率、骨料最大粒径、骨料级配、界面厚度以及孔隙等因素对混凝土弹性模量的影响规律。结果表明:在混凝土的各细观组成成分中,砂浆弹性模量对混凝土弹性模量的影响最大；连续级配的混凝土弹性模量在相同条件下大于间断级配的混凝土；孔隙的存在以及界面层厚度的增大均会使混凝土的弹性模量减小。研究结果为混凝土配合比的设计及力学性能的优化提供参考。

关键词：混凝土；复合材料；随机骨料模型；弹性模量；预测

2016,33（02):100-105

1 研究背景

混凝土材料的弹性模量是反映其力学性能的一个重要指标,也是计算钢筋混凝土结构变形、裂缝开展和温度应力所必需的参数之一,在结构分析和力学性能评价中起着至关重要的作用。目前,对于混凝土弹性模量的确定主要通过试验进行,但试验周期长,需要耗费大量的人力、财力和物力,所得到的试验成果又往往受到试验条件、环境条件等因素的影响,相对比较离散。认识到混凝土是由粗细骨料、硬化的水泥砂浆和孔隙裂纹等组成的非均质多相复合材料,不少研究者开始从复合材料细观力学角度来考察混凝土的宏观物理力学性能。

细观力学的任务是基于复合材料微结构信息,寻求宏观均匀材料的有效性能,揭示不同材料组合具有不同性能的内在机理,根据工程需要选择合适的组分材料,设计最优的复合材料结构［1］。研究复合材料有效性能的细观力学方法很多,大体上较为成熟的理论有:Eshelby等效夹杂理论,自洽理论,Mori-Tanaka方法,微分介质方法,以及利用变分原理求上、下限方法等［2］。将细观力学方法引入混凝土的研究,极大地丰富了以试验为主的传统模式,为进一步深入研究混凝土复杂的内部力学行为与破坏机理提供了新思路。

国内外学者提出了多种预测模型来定量评价混凝土弹性模量与混凝土细观结构组分及相应力学性能之间的关系。已有研究中,有的模型为了求解方便而忽略了混凝土中骨料与砂浆之间薄弱层,即界面层的影响［3-4］,有的模型虽然考虑了界面层的影响,但是忽略了孔隙和微裂缝等初始缺陷对混凝土弹性模量的影响［5-7］；还有的模型虽然能考虑骨料、砂浆、界面、空洞及微裂缝等多种细观相,但其对骨料的级配和分布做了过多的简化假设,与实际情况不相符［8］。此外,杜修力等［9-10］对含孔隙混凝土材料的有效力学性能做了大量研究,但模型的求解过程复杂,不利于推广应用。

本文作者在前人工作的基础上,提出能综合考虑界面、初始缺陷以及符合实际骨料分布情况的混凝土细观力学模型。从细观角度出发,将混凝土视为由骨料、砂浆和两者之间的粘结界面组成的三相复合材料,借助蒙特卡罗方法和瓦拉文公式,在试件截面上随机确定骨料的位置和尺寸,产生出混凝土随机骨料结构,将有限元法运用到混凝土复合材料细观结构的“代表性体积单元（Representative Volume Element,RVE)”上,通过顶面位移法得到混凝土的弹性模量。在此基础上研究混凝土各细观组成成分的弹性模量、骨料体积率、骨料最大粒径、骨料级配、界面厚度以及孔隙等因素对混凝土弹性模量的影响规律,为混凝土的设计优化提供参考。

2 细观有限元法预测混凝土的弹性模量

2.1 随机骨料模型的建立

为了确定骨料所占的面积,假设骨料最大粒径为Dmax,最小粒径为Dmin,粒径小于Dmin的骨料归为砂浆,则粒径在[Ds,Ds＋1]范围内骨料所占面积Aagg可由下式得到:

式中: Aagg[Ds,Ds＋1]指在级配段[Ds,Ds＋1]中骨料的面积（mm2)；Dmax为最大骨料直径（mm)；Dmin为最小骨料直径（mm)；Ragg为粗骨料面积与混凝土面积比；Acon为混凝土面积（mm2)。

为使混凝土产生最优化的结构密度和强度,采用Fuller级配曲线。Walraven等［11］基于Fuller公式将三维级配曲线转化为试件内截面上任一点具有骨料直径D＜D0的概率Pc（D＜D0) ,其表达式为

式中: D0为筛孔直径（mm)；Pk为骨料体积与混凝土总体积的百分比。

对于一个特定的混凝土拌和物,通过式（1)和式（2),应用蒙特卡罗方法随机产生结构横截面上的骨料分布。

2.2 混凝土弹性模量的计算方法

根据弹性模量的定义采用顶面位移法计算混凝土的弹性模量。由虎克定律,试件的绝对变形量Δl 为

式中:N为轴向力（N)；A为试件截面积（mm2)；l为试件长度（mm)；E为弹性模量（MPa)。

由此可得混凝土弹性模量E的计算式为

式中q为试件顶面施加的面荷载（MPa)。

2.3 试验验证

Stock等［12］曾做过一系列不同骨料体积率混凝土的抗拉和抗压试验,并测得混凝土的强度和弹性模量。试验中,骨料的最大粒径为19 mm,最小粒径为0.3 mm,骨料体积率分别为0,0.2,0.4,0.6,0.8。为了验证上述基于随机骨料模型的细观有限元法的有效性,将用上述方法计算的结果同Stock试验进行对比。根据参考文献［7,12-13］,计算中各相材料力学参数如表1所示。

表1 混凝土各相材料力学参数Table 1 Mechanical parameters of three-phase materials of concrete

对骨料体积率Va为0,0.2,0.4和0.6的混凝土试块进行数值模拟计算,RVE尺寸取为150 mm× 150 mm的正方形,为方便骨料投放,粒径＜5 mm的骨料归为砂浆。

根据前文所述方法生成混凝土三相复合材料随机骨料模型,对每种骨料体积率的混凝土,取3种不同的骨料分布,将3种骨料分布计算结果的平均值作为每种骨料体积率对应的弹性模量。采用圆形卵石骨料,限于目前计算机的计算能力以及网格划分的困难,模型中的界面厚度取为0.2 mm。模型下端施加竖向约束,其中最左端节点同时在水平方向予以约束,上端施加5 MPa的均布压力或拉力,进行静态求解后,根据式（4)计算其弹性模量。图1为随机骨料模型及网格的划分,图2为计算简图。混凝土弹性模量数值结果与试验结果比较如表2所示。

图1 随机骨料模型及网格的划分(Va=0.4)Fig.1 Random aggregate model and finite element meshes(Va=0.4)

从数值模拟结果与试验结果的比较来看,除了骨料体积率为0.2的混凝土受拉时的结果与试验结果相差17.55%外,其它的数值模拟结果还是可以接受的,误差均在8.5%之内。

图2 混凝土弹性模量计算简图Fig.2 Schematic diagram for the calculation of elastic modulus of concrete

表2 混凝土弹性模量的数值模拟结果与试验结果比较Table 2 Comparison of concrete’s elastic modulus between numerical model result and test result

分析误差产生的原因主要有以下3点:①由于所用试验结果为1979年Stock所取得的,其试验条件以及试件尺寸、骨料级配等影响因素均无明确记录,因而,数值模拟中输入的试验参数的精度还有待讨论。②本文为了方便骨料投放与网格划分,考虑的最小骨料粒径为5 mm,而Stock试验中的最小骨料粒径为0.3 mm。③Stock试验并没有给出界面弹性模量及各相材料的泊松比,这些参数根据文献选取,缺乏准确的试验数据。

从结果上来看,数值模型在计算混凝土受压时的效果要好于受拉时的,不含骨料试件的预测值与试验值一样；随着骨料体积率的增大,含骨料试件的预测值与试验值的相对误差在逐渐地减小,而在实际的混凝土构件中,骨料的体积率大都在0.4以上,因此所提出的基于随机骨料模型的弹性模量预测的细观有限元法是合理有效的。

3 混凝土弹性模量影响因素分析

下面应用本文提出的细观有限元法预测混凝土的弹性模量,分别分析混凝土各细观组成成分的弹性模量、骨料体积率、骨料最大粒径、骨料级配、界面厚度以及孔隙等因素对混凝土弹性模量的影响规律,以便在混凝土组成材料选择和混凝土配合比设计时预测混凝土力学性能,选用最优配比。

材料参数选取文献［14］中的试验数据:骨料弹性模量Ea＝60 GPa；界面弹性模量Ei＝10 GPa；砂浆弹性模量Ep＝20 GPa；骨料泊松比νa＝0.15；界面泊松比νi＝0.3；砂浆泊松比νp＝0.25。RVE尺寸取标准试件尺寸150 mm×150 mm,界面厚度取0.2 mm。以下分别对上述几个影响因素进行分析。以下计算中的弹性模量均为混凝土受压弹性模量。

3.1 骨料体积率对混凝土弹性模量的影响

骨料最小粒径Dmin取为5 mm,最大直径Dmax取为40 mm。考虑骨料体积率Va为0.2,0.3,0.4,0.5的4种情况,计算得到的混凝土弹性模量分别为24.52, 26.64,29.34,31.93 GPa。可以看出,混凝土弹性模量随着骨料体积率的增加而增大,当骨料体积率增加1倍时,混凝土弹性模量提高约20%。

3.2 骨料最大粒径对混凝土弹性模量的影响

骨料最小粒径Dmin取5 mm,最大直径Dmax分别取10,20,30,40 mm,且对于每种Dmax,分别生成骨料体积率Va为0.2,0.3,0.4的试件,计算结果如图3所示。从图中可以看出,相同骨料体积率的情况下,混凝土的弹性模量是随着骨料最大粒径的增加而增大的,对骨料体积率分别为0.2,0.3和0.4的混凝土,当Dmax从10 mm增大到40 mm的时候,混凝土弹性模量分别增大6.29%, 3.78%和4.98%,影响效果不显著。

图3 骨料最大粒径对混凝土弹性模量的影响Fig.3 Impact of maximum size of aggregate on elastic modulus of concrete

3.3 骨料弹性模量对混凝土弹性模量的影响

骨料最小粒径Dmin取为5 mm,最大直径Dmax取为40 mm。骨料弹性模量从石灰岩的24～38 GPa到玄武岩的41～96 GPa,变化范围较大。此处选取骨料弹性模量Ea分别为40,50,60,70,80 GPa的5种情况做影响性分析,且对于每种Ea,分别生成骨料体积率Va为0.2,0.3,0.4的试件,计算结果如图4所示。

从图4可以看出,相同骨料体积率的情况下,混凝土的弹性模量是随着骨料弹性模量的增加而增大的,对骨料体积率为0.2, 0.3和0.4的混凝土,骨料弹性模量提高1倍时,混凝土弹性模量分别提高约12%,16%,23%。

图4 骨料弹性模量对混凝土弹性模量的影响Fig.4 Impact of elastic modulus of aggregate on elastic modulus of concrete

3.4 砂浆弹性模量对混凝土弹性模量的影响

骨料最小粒径Dmin取为5 mm,最大直径Dmax取为40 mm。选取砂浆弹性模量Ep为15,20,25,30, 35 GPa的5种情况做影响性分析,且对于每种Ep,分别生成骨料体积率Va为0.2,0.3,0.4的试件,计算结果如图5所示。

图5 砂浆弹性模量对混凝土弹性模量的影响Fig.5 Impact of elastic modulus of mortar on elastic modulus of concrete

从图5可知,相同骨料体积率的情况下,随着砂浆弹性模量的增大,混凝土弹性模量呈直线增加,对骨料体积率为0.2,0.3和0.4的混凝土,砂浆弹性模量提高1倍时,混凝土弹性模量分别提高约75%,68%,55%,说明砂浆弹性模量对混凝土弹性模量影响较大。

3.5 界面弹性模量对混凝土弹性模量的影响

骨料最小粒径Dmin取为5 mm,最大直径Dmax取为40 mm。界面弹性模量Ei分别取为4,8,12,16 GPa,且对于每种Ei,分别生成骨料体积率Va为0.2, 0.3,0.4的试件,计算结果如图6所示。

图6 界面弹性模量对混凝土弹性模量的影响Fig 6 Impact of elastic modulus of interface on elastic modulus of concrete

从图6可以看出,相同骨料体积率的情况下,随着界面弹性模量的增大,混凝土的弹性模量是增大的,但是增大的速度逐渐变缓,说明界面弹性模量对混凝土弹性模量的影响有限。根据混凝土与界面弹性模量间的增长规律,可由混凝土弹性模量反推出界面弹性模量,从而解决混凝土细观数值研究中界面层力学参数的取值问题。

3.6 界面厚度对混凝土弹性模量的影响

有关研究表明,混凝土界面面积率是影响混凝土宏观力学性能的重要参数,混凝土界面面积率主要取决于界面厚度［15］。选取界面厚度Hi为0.2,0.3,0.4, 0.5,0.6 mm的5种情况进行分析,骨料最小粒径Dmin取为5 mm,最大直径Dmax取为40 mm,对于每种Hi,分别生成骨料体积率Va为0.2,0.3,0.4的试件,计算结果如图7所示。

从图7可知,相同骨料体积率的情况下,混凝土的弹性模量是随着界面厚度的减小而增大的,但是增大的幅度很小,界面厚度对混凝土弹性模量的影响较小。分析其原因,由于界面厚度很小,由厚度的增减所引起的界面面积率的变化是很小的,所以从宏观上看,界面厚度对混凝土弹性模量的影响不是很明显。

3.7 骨料级配对混凝土弹性模量的影响

骨料级配对混凝土弹性模量的影响比较复杂,级配不同,骨料的含量、最大粒径也会不同,前面所述的骨料体积率、骨料最大粒径对混凝土弹性模量的影响可以认为是骨料级配对混凝土弹性模量影响的2个不同方面。此处所讨论的级配对混凝土弹性模量的影响,主要考虑间断级配和连续级配的情况。连续级配是指骨料颗粒由大到小,各粒级颗粒均有,并按质量比例搭配组成。间断级配就是骨料颗粒大小不是按照一级接着一级的顺序搭配起来的,而是在级配中取消某几种颗粒粒径,使级与级之间有着一定的间断。粗骨料按粒径分为小石（5～20 mm),中石（20～40 mm),大石（40～80 mm),特大石（80～120 mm),它们依次称为一、二、三、四级配。当在混凝土配比中包含这4种级配时,称为全级配混凝土,工程中用得比较多的级配有一二级配、一二三级配、一四级配、全级配。骨料含量都取为45%,RVE尺寸和石子组合比见表3,表中的石子组合比为小石∶中石∶大石∶特大石的质量比。

表3 各级配混凝土RVE尺寸及石子组合比Table 3 Sizes of representative volume element (RVE) and stone combination ratios of concrete with different gradations

试件采取每组3个,最后用均值来描述不同级配的弹性模量,计算结果见表4。

表4 不同骨料级配的混凝土弹性模量Table 4 Elastic modulus of concrete with different aggregate gradations　GPa

通过表3、表4中一二级配、一二三级配、全级配的计算结果,发现随着级配的增大,混凝土的弹性模量增大。通过比较一四级配与全级配的计算结果,发现连续级配混凝土的弹性模量要大于间断级配的混凝土。

4 含孔隙混凝土弹性模量的预测

前面对混凝土弹性模量预测均是在混凝土试件完好无损,无任何缺陷的理想情况下进行的。而混凝土是一种典型的多孔介质材料,普通混凝土的孔隙率一般不少于8%,孔隙的存在对混凝土弹性模量及强度等力学参数会产生巨大的影响。利用所建立的混凝土三相复合材料随机骨料模型,随机地在模型中杀死一部分单元,从而使混凝土模型内部产生孔洞,以此来模拟实际工程当中混凝土材料中存在的孔隙,然后对试件顶端施加均布荷载,进行静力分析,研究孔隙对混凝土弹性模量的影响。

图8 理想无孔隙混凝土与含孔隙混凝土试件(c=0.2,Va=0.4)Fig.8 Specimens of ideal non-porous concrete and porous concrete(c=0.2,Va=0.4)

考虑到实际混凝土中的孔隙大部分分布在界面过渡区与砂浆基质中,骨料相对比较密实,利用ANSYS命令流,随机地从界面单元和砂浆单元中选择一部分单元出来作为孔隙单元,生成孔隙率c为0, 0.05,0.1,0.15,0.2混凝土试件,骨料最小粒径Dmin取为5 mm,最大直径Dmax取为40 mm,RVE尺寸为150 mm×150 mm。图8为理想无孔隙混凝土与含孔隙混凝土试件。对于每种孔隙率c ,分别生成骨料体积率Va为0.2,0.3,0.4的试件,计算结果如图9所示。

图9 孔隙率与混凝土弹性模量的关系Fig.9 Relationship between porosity and elastic modulus of concrete

从图8、图9中可以看出,相同骨料体积率的情况下,随着孔隙率的增大,混凝土弹性模量基本呈线性减小,这与文献［9-10］中得出的混凝土弹性模量与孔隙率之间的关系是一致的。

5 结 论

建立了细观层次的混凝土三相复合材料随机骨料模型,在此基础上利用细观有限元法对混凝土的弹性模量进行了研究,数值预测值与试验值相符程度良好,证明了方法的合理有效性。分析了各种因素的变化以及孔隙的存在对混凝土弹性模量的影响,得到以下结论:

（1)混凝土的弹性模量随着骨料体积率的增大而增大,连续级配的混凝土弹性模量在相同骨料体积率的情况下要大于间断级配的混凝土。

（2)骨料或砂浆弹性模量的增大都会引起混凝土弹性模量的增大,而砂浆弹性模量的变化对混凝土弹性模量影响较骨料影响更显著。

（3)混凝土的弹性模量随着骨料最大粒径、界面弹性模量的增大而增大,而随着界面厚度的增大而减小,但这些因素的影响程度相对于砂浆和骨料对混凝土弹性模量的影响来说,效果不显著。

（4)孔隙的存在一定程度上会削弱混凝土的力学性能,随着孔隙率的增大,混凝土的弹性模量基本呈线性规律减小。

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（编辑:王 慰)

Prediction of Elastic Modulus of Concrete Based on Random Aggregate Model

YANG Hua, LI Zong-li, HUI Hong-yi
（College of Water Resources and Architectural Engineering, Northwest Agriculture and Forestry University, Yangling 712100, China)

Abstract:In the assumption at mesoscopic level, concrete materials are assumed as three-phase composites consisting of aggregate, mortar and the bonding interface between mortar and aggregate. In order to determine elastic modulus of concrete（EMC), on the basis of the assumption, we establish a random aggregate model in the two-dimensional plane with Monte Carlo method and Walraven formula. Meanwhile, we predict EMC by using finite element method and compare the numerical calculated results with test results to verify the effectiveness of this mesoscopic finite element model. Furthermore, we discussthe impacts of several parameters（elastic modulus, aggregate’s volume content , aggregate’s maximum size, aggregate’s gradation , interface thickness and pores) of mesoscopic component on EMC. Test results show that 1) as for mesoscopic components of concrete, impact of elastic modulus of mortar on EMC is the biggest；2) under given conditions, EMC with continuous gradation is bigger than that with uncontinuous gradation；3) EMC decreases with the increasing of interface thickness and the existence of pores. The research results offer reference for the design of concrete’s mix proportion and optimization of its mechanical properties.

Key words:concrete；composite material；random aggregate model；elastic modulus；prediction

通讯作者：李宗利（1967-),男,陕西凤翔人,教授,博士生导师,主要从事水工结构与岩土工程稳定理论教学与研究工作,（电话)029-87082117（电子信箱)zongli02@163.com。

作者简介：杨 华（1989-),女,陕西汉中人,硕士研究生,主要从事水工结构设计方面的工作,（电话)15109240689（电子信箱)yanghua.kl@ 163.com。

基金项目：国家自然科学基金面上项目（51379178)；中央高校基本科研业务费专项资助项目（ZD2012015)

收稿日期：2014-07-16;修回日期：2014-08-15

doi:10.11988/ ckyyb.20140583

中图分类号：TU528.1

文献标志码：A

文章编号：1001-5485(2016)02-0100-06