用几何画板探索“小虫爬行的最短距离”

童官丰

在几何画板中可以比较方便地画出很多复杂的函数图像。通过观察所画函数的图像特征，则能进一步探索自己所遇到的一些疑难问题（特别是用初等方法很难解决或无法解决的问题）。

例如图1，有一个圆柱，它的底面半径为r，高为ar（a>0），在圆柱下底面的A点有一只小虫，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？

分析：如图2，BC是上底面直径，D是半圆BC上任意一点（可以与B、C重合），由圆柱体的对称性可知，只需考虑小虫由A爬到D，再由D爬到B的这些情形即可。当D与C重合时，显然沿折线ACB路程最短。当D与B重合时，把圆柱前面半个侧面展平，如图3，显然沿线段AB路程最短（图3中的线段AB展直前在图2中是一条螺旋曲线AB）。类似地，当D与A、B不重合时，如图2，沿螺旋曲线AD、弦DB路程最短。

不过上述这些曲线，在增减性方面还是有差别的，在闭区间[0，π]内，当-1

取a<-1，如图7，从下到上的5条曲线分别代表a=1.20、1.25、1.30、1.35和1.40时的函数图像。由图像知，当x=0时，y取得最小值r（a+2）。当a继续减少时，如图8，从上到下的3条曲线分别代表a=1.0、0.5和0.1时的函数图像。其基本情况与图7一致。根据这些图像的信息，即得如下观察结果：当0

上述这些曲线，在增减性方面也是一致的，在闭区间[0，π]内，当0