浅谈改进并行SPH方法在三维粘弹性表面中的应用

梅流娟 刘茜 蒋涛 刘晓月 谢佳芯 申惠惠

摘 要：一种完全不依赖于网格的光滑粒子动力学（SPH）方法，已广泛应用于粘弹性流体自由面问题的模拟，但将其对推广到三维粘弹性流动问题的求解还鲜见。该文在通过探讨SPH方法应用于三维流动问题研究现状的基础上，分析其在三维问题模拟中的缺点及产生原因，并给出了提高精度、抑制压力震荡和基于MPI并行技术提高计算效率的方案。

关键词：SPH 粘弹性流体 MPI并行 数值模拟

中图分类号：O35 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）03（c）-0159-02

近年来，随着工业的迅速发展，工业生产过程中常涉及聚合物自由面流动问题。聚合物流体（粘弹性流体）的流动特性对工业生产过程及产品性能有直接影响。因此，研究粘弹性流体自由面流动问题对工业生产过程有重要的指导意义。粘弹性自由面流动问题的数值模拟是计算流体力学研究领域中的一个热点和难点。目前，已发展了许多网格类方法对粘弹性流动问题进行数值研究[1]。然而，网格类方法在处理流体自由面问题时存在一些自身的无法从根本上消除的缺陷。为此，众多研究者开始转向采用无网格方法研究自由表面流动问题[2]。

1 光滑粒子动力学方法的提出

为了模拟粘弹性自由表面流动问题，已经提出了很多基于网格的数值方法，例如在低速率低压力情况下提出的有限差分法（FDM）和有限体积法（FVM）。然而在高速率或高压力情况的填充过程中，基于网格的方法在处理十分复杂的自由表面行为时存在诸多困难，例如模拟三维问题时需要网格重构，使之出现较大的计算复杂度[1]，因此，近些年来无网格方法在复杂流动问题的模拟上受到广泛关注。

光滑粒子动力学（Smoothed Particle Hydrodynami

cs，SPH）方法是一种基于Lagrange描述的纯无网格方法，它完全不依赖于网格。1994年，Monaghan首次将SPH方法应用于自由表面流的数值模拟[2]，随后，SPH方法被广泛应用于牛顿或粘性流体流动的变形问题[3]。

2 SPH方法的主要优点

SPH方法应用于自由表面流动问题时的主要优点[4]在于：（1）求解流体控制方程时，无对流项不涉及复杂对流占优问题的处理，容易将其推广到三维问题的模拟；（2）它能自动准确地追踪自由界面，不需要额外的表面追踪技术。然而，将SPH方法应用于粘弹性流动问题时仍存在一些缺点，特别对于三维粘弹性流动问题的模拟。

3 传统SPH方法的缺点

将SPH方法推广应用到三维粘弹性流动问题模拟时会出现下面几个缺点。

（1）数值精度低、稳定性差。在复杂流动问题模拟过程中，粒子分布常出现分布不均匀的情况，这样会降低SPH方法数值精度，且导致较差的稳定性。同时，粘弹性流体控制方程的求解对数值精度和稳定性要求较高。因此，将SPH方法应用到三维粘弹性流动问题模拟时，提高其数值精度和稳定性显得尤为重要。

（2）压力震荡严重，张力不稳定。虽然用SPH方法模拟变形问题时具有独特的优势，但其却常出现严重的震荡，且易导致张力的不稳定（指传统SPH方法在应用于固体力学材料拉伸问题中出现的一种非物理粒子簇集现象[5]）。Monaghan和Gray等人提出的人工应力法[6]是目前应用来克服张力不稳定的较为广泛的方法。

（3）计算效率低由于传统SPH方法在自由面问题的模拟过程中，每一个时间层的迭代需对所有粒子进行搜索以确定第个粒子的相邻粒子，这样将其应用于三维问题模拟时会导致非常大的计算代价。因此，将SPH方法推广到三维自由面问题时如何降低计算代价成为亟待解决的问题。

4 解决方案

通过上述分析，为解决传统SPH方法应用到三维粘弹性流动问题的模拟，该文试探性将一种改进的SPH方法推广到三维粘弹性自由表面流问题的模拟，以提高数值精度、改善稳定性，且借助基于MPI的并行技术联合基于网格粒子搜索技术以提高计算效率。

4.1 针对传统SPH方法数值精度低、稳定性差和压力震荡的问题

该文以XPP（eXtended Pom-Pom model）模型为主、将二维改进SPH方法联合一种新的密度扩散项，将其推广应用到三维XPP模型流动问题的模拟，以提高数值精度、改善稳定性和抑制压力震荡，从而也改善了张力不稳定性。为避免改进SPH方法在自由面附近模拟时出现矩阵奇异现象，将传统SPH方法应用于自由面附近，改进SPH方法应用于流体域内，得到模拟三维粘弹性流动问题的一种新的改进SPH方法，简称为CSPH-3D方法[7]。此外，针对复杂型腔内粘弹性流动问题的模拟，给出了一种容易施加的多固壁处理方法[7]。

通过对XPP模型为主的粘弹性自由面问题的模拟，可知，用提出的CSPH-3D方法模拟粘弹性流动问题是可靠、有效的[7]。

三维XPP模型流体的控制方程通常表述成：

上述离散格式中引入的密度扩散项可以使CSPH-3D方法应用到三维粘弹性自由表面流问题时能较好地抑制压力震荡[8]。上述给出的CSPH-3D方法模拟应用中联合的固壁边界处理技术[7]，能很好地防止粒子穿透现象，且容易将其推广到更复杂边界的处理。

4.2 针对SPH方法应用到三维流动问题模拟时的计算代价问题

为了降低三维粘弹性流动问题CSPH-3D方法模拟的计算代价，该文提出一种基于MPI（Message Passing Interface）并行技术和动态背景网格的相邻粒子搜索方法。采用基于动态背景网格技术可以大大地降低计算代价，再加上粒子方法容易施加MPI并行化技术，将两者联立能更好地提高计算效率。因此，运用动态背景网格的MPI并行技术可以成功地减少计算机的消耗。

5 结语

该文首先阐述了SPH方法应用于三维流动问题的研究现状，然后在此基础上分析了其在三维问题模拟上存在数值精度低、压力震荡严重和计算效率低的缺点及其产生原因，最后根据相关文献，针对存在的问题，给出了相应的改善方案。

参考文献

[1] C.J.Hwang，T.h.Kwon.A Full 3D Finite Element Analysis of the Power Injection Molding Filling Process Including Slip Phenomena[J].Ploymer Engineering and Science，2002（42）：33-50.

[2] 刘谋斌，常建忠.光滑粒子流动力学方法中粒子分布于数值稳定性分析[J].物理学报，2010（59）：3654-3662.

[3] S.F.Li，W.K.Liu.Mesh-free particle methods and their applications[J].Applied Mechanic Review，2002（54）：1-34.

[4] R.Messahel，M.Souli.SPH and ALE Formulations for Fluid Structure Coupling[J].CMES：Computer Modeling in Engineering & Sciences，2013（96）：435-455.

[5] J.Swegle，W.D.L.Hicks，S.W.Attaway.Smooth particle hydrodynamics stability analysis[J].Journal of Computational Physics，1995（116）：123-134.

[6] 蒋涛.聚合物自由面问题的修正对称SPH方法模拟研究[D].西安：西北工业大学，2012.

[7] Tao Jiang，Yuan-Sheng Tang， Jin-Lian Ren.A Corrected 3D Parallel SPH Method for Simulating the Polymer Free Surface Flows Based on the XPP Model[J].Tech Science Press.CMES，2014（101）：249-297.

[8] M.Antuono，A.Caolagrossi，S.Marrone，D.Molteni.Free-surface flows solved by means of SPH schemes with numerical diffusive terms[J].Computers Physics Communications，2010（181）：532-549.