数学让人得到解放

曾一鸣 张晓旭 周明旭

访谈人：张院士，您好！能否请您谈谈您有关学习数学，特别是中小学时代学习数学的经历呢？

张景中：我在上小学、中学的时候，数学课本、读物没有现在这么多，我的学习经历也很普通，没参加过数学竞赛之类的活动，平时我就是做做老师布置的题目。当时，我比较喜欢提前看一下，能看懂的就先做，不明白的就先听老师讲解，然后再做题，自学还是很重要的。其实，我对数学的兴趣，是高中时看到一本微积分的书后才逐渐产生的。那本书虽然有很多地方看不太懂，但我觉得那本书很妙，因为其中讲了很多奇妙的方法，比如怎样最快求出最大值、最小值等。这些方法引发了我学习数学的兴趣。因此上大学我就选择了数学，学微积分的时候，我才越学越真正感到其中的奥妙。

访谈人：您也曾主编《好玩的数学》丛书，这些书获得了不少好评，您能谈谈数学好玩在什么地方吗？

张景中：数学好玩是因为数学是非常理性的，在学习和研究的过程中，数学能够让人得到解放。

访谈人：得到解放？

张景中：对，数学能够让很多“不行”都变得“行”。刚开始学数学时，有一些“清规戒律”，随着我们不断地往下学，这种“清规戒律”就不断被打破，使人一次又一次地得到解放。比如，原来负数是不能开平方的，后来经过一定的发展，负数就能够开方了。再如，原来只是有穷个数相加，后来无穷个数也可以相加。在这个过程中，就会越学越感觉数学受到的限制越来越少，还有很多类似的例子。由此可以看到，数学里面无禁区，你只要想做都可以做到，原来没有规定的，你也可以规定，原来是这样定义的，你可以那样定义，这些都让我得到了解放。

访谈人：如您所说，数学在很大程度上能够让我们得到解放，但是这种“解放感”可能不是大多数人能体会的，那么您觉得，哪些是大多数人能够感觉到“好玩”的呢？

张景中：我想应该是力量感，数学是很有力量的。因为有时候，你只需要学一个小时，解决问题的力量跟以前就大不相同了。比方说，在小学里，曾有过那种复杂的四则运算应用题，有的应用题，学生自己不会，拿回家去，家长也不会，解起来很困难。等到学了代数之后，列方程就可以解出来了。如果你不断学习，就会觉得数学给人带来的力量简直是不可想象的。

再比如说读书，有两种书：一种书读过之后感觉作者写得好，和自己想的差不多；另一种书是要是不看这本书，可能你一辈子也想不出这个方法、这种思路。很多数学书都是后面这一种，为什么呢？因为很多问题都是世界上许多爱动脑筋的人想了很久，终于有一个人想出来把它解决了。这种方法是前人经过几百年才探索出来的，如果你学会了，那么就是在一本书里往前进了几百年。这种书有阳刚之美，也就是有特别的创造性。这种原创性的方法，我们在数学学习及教学时几乎每周都会遇到，而且自己在解题时，也会创造出新东西。如果老师在教学时也能带给学生一种力量感，经常让学生体会到昨天还不会的问题今天就会了，那么学生对数学的看法就会不同。

数学还能让人感觉到震撼。比如在集合论里面，两个无穷都是无穷，居然还可以比出大小，这是非常奇妙的。许多科学家在学习数学的过程中也感到了震撼。伟大的科学家爱因斯坦在他的回忆录中这样描写：“在我12 岁的时候，叔父给了我一本几何书，其中有一道题让我感到震撼。什么题呢？一个三角形，作出它的三条高。完成之后，我发现这三条高居然一定会相交于一点！人们不仅能发现这个事实，而且还给出了证明！这个几何定理，使我从12 岁开始便有了研究科学的梦想。”后来，爱因斯坦果然实现了这个梦想。再说简单一点，比方说乘法，13 自乘10000次，我们可能知道它是一个很长的数，但是不知道它究竟有多长，又是什么样子。有了计算机，马上就能将它的结果一位一位地罗列出来，这也是数学的力量。计算机的原理是数学家首先提出来的，在还没有电子管的时候，数学家就已经提出了电子计算机的模型，而这个设想又过了很多年，才在技术上得以实现。

访谈人：您在大学毕业后，并不是直接走上了科研的道路，而是经历了一番波折，这段时间您都经历了哪些事呢？

张景中：事实上，我在大学学习了三年，在第三年过半的时候，我被下放到新疆去劳动，我在那里劳动了差不多有20年，那时我种过小麦、水稻，也在化肥厂里烧过石灰，做过盐酸。在大概一九七几年的时候，我在当地做了老师，教了5年书，直到国家恢复了高考，我有机会继续学习，才投身到数学研究之中。

访谈人：在地方上劳动了那么多年，但您没有放弃学习，是一种什么样的力量或者信念让您能继续坚持走科研这条道路呢？

张景中：其实也没什么，就是在做老师的时候，我有了一些想法。实际上我研究的课题中，有一些想法来源于教书。我当老师的时候就想，解决几何问题能不能找到一种可以将所有几何问题都解决的通法呢？后来我对这一想法做了一些深入的研究工作，逐渐有了一些结果。可以说，我做的很多工作和做老师时的想法都有密切关系。

访谈人：现在，计算机行业迅猛发展，对整个数学研究产生了很大影响，特别是现在有机器证明以后，是不是意味着，以前这种传统的演绎证明方法的地位会下降，特别是我们学生学习的时候，是否会降低对它的要求？

张景中：我觉得即使有了机器证明，演绎推理证明仍然是很重要的。事实上，机器证明是代替那些已经演绎出来但需要重复的事情，我们可以让机器来重复。但是，最基本的东西还是要人来做的。甚至我认为，有了机器证明之后，人的推理就更重要了，为什么呢？比方说学微积分，原来要花大量时间和精力来学习怎么算，计算微分、积分等。但是现在，我们在计算机上一按键就算出来了，那相对来说，也就是理解它的道理更重要，研究算的方法和理解它应用的范围、条件和基本的“为什么能这样算”对我们的学生更为重要。

访谈人：那么有了计算机之后，是不是意味着对现在学生基本计算能力的要求也要发生相应的变化呢？

张景中：是的。事实上，我认为对计算没有必要过分强调，也没有必要练得那么熟悉，更没有必要做大量的计算练习。关键是要让学生掌握这个道理，也就是说，对道理要求相对来讲要更深入。同时，计算的方法也应该得到更多关注，让学生掌握更多算法。当然，我曾经说过学生可以学习珠心算，适时适量适可地练习珠心算和用计算机计算是不矛盾的。珠心算的好处，不仅仅在于它能够让人算得多快、多准，更多的是通过这种心算、脑算来发展学生的身体与手指的能力，在这个过程中学生的思维能力得到了发展，甚至于能够锻炼学生的语言能力。

访谈人：减负这个课题已经提出很久了，但从现在实际来看，学生仍有很多东西要准备。您对中学生的学习现状有怎样的看法呢？

张景中：我觉得不能单纯地说学生学习负担重或不重。一方面，我们的考试是选拔性的考试，而非合格性的考试。这就决定了在互相竞争的情况下，学生要能够承担这种压力。另一方面，因为这样的考试限制了知识，只考这么多，学生也只需要学这么多，但是知识的变化又是无穷的，考试为了划分出学生的等级就会有难点，其实，学生学习的东西没有很多，只是要求更高。实际上应该教给学生主要的内容，能够让学生学得多，学得深。其实在这点上，国外某些地方的做法是值得借鉴的，他们的学生不需要面临这种高强度的选拔性考试，虽然也存在竞争，但是有更多的机会。

其实，我主张的就是多学一点，少考一点。我想课程内容上不妨放开，让老师能教多少就教多少，考试也可以自由一点，学生能思考多深就考多深，这样的话，其实是能够发现有些学生具备更深的能力，比如大一的学生能够考出大二的水平，这样就不会限制学生的发展。

访谈人：现在有很多人认为，如果不考就不必要教，不考就不必要学，因为与成绩无关，与升学无关，您觉得面对这种情况应该怎么应对呢？

张景中：学习的趣味性很重要，学习的目的不是为了考试，没有必要完全以考试为动力。数学的趣味性不在外部而在内部，要让学生能够钻研到里面，体会到数学的趣味性。要做到这些，我们要提高老师的水平、教材的水平，加强对整个社会考试的引导。现在的考试内容较多，要求学生在一两个小时内完成一二十个题目，实际上是让学生在有限的时间内解更多的题，而不做过多思考，我想这是很不好的。有人认为奥数有很多缺点，但我想奥数至少有一点是值得肯定的，那就是它提倡思考，它要求四个半小时内做出三个题目，也就是说平均每个题目有一个半小时的时间可以用来思考。但我们的考试更多的是考记忆，学生不会思考，只是通过大量的训练掌握一些做题的具体步骤或是解题技巧，以此来应对考试，这样学生在遇到真正的新问题时，可能就束手无策了。

访谈人：有一些人不喜欢学习数学，可能觉得没什么用。从一个数学家的眼光来看，您觉得数学有用吗，或者说我们应该怎样正确对待数学这门学科呢？

张景中：这个问题比较复杂，各种情况不同。事实上，有的人一辈子都学不好数学，比如台湾的三毛，但她可以将其他的事情做得很好。不过，我想就大多数人来说，有了基本的数学知识，他对这个世界的理解，甚至对社会的和谐都是有好处的。从统计意义上来说，大多数人学了数学能够提高他对这个世界的认识，数学对性格的陶冶、对处理问题的理性都是有帮助的。

数学可以很好地锻炼人的思维方式和能力，知道不管什么事情总要讲个道理。自由平等也是符合数学理论的，数学是平等的，在数学领域，无论怎样权威的人，如果说错了，任何人都可以指出来，错了就是错了，不可能是对的。数学不是一人一票决定的事情，它注重过程，而数学能够培养一种理性精神、契约精神，提醒大家遵守规矩去做。

（选自《与数学家同行》，南京师范大学出版社2015年，本刊有删改）

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丛 书 名：《与科学家同行》

出 版 社：南京师范大学出版社

简 介：

《与科学家同行》丛书目前出版了《与数学家同行》《与物理学家同行》《与化学家同行》《与生物学家同行》《与天文学家同行》五本。丛书关注青少年科普需求，通过从事科研和教学的一线专家来采访科学家，以访谈的形式，向广大青少年呈现科学家的贡献和成长经历、科学研究的心路历程与感悟、目前科学研究的前沿与突破，并将科学家们对青少年如何提高自身科学能力与素养的建议有机融合、化解在对话中，深入浅出、生动活泼、可读易懂，集科学性、思想性、可读性于一体。