巧用辅助线解决问题

王瀚

最近，刚学完用反比例函数解决问题，我就在课后独自做了几个练习来试试手. 刚开始的几道题做起来得心应手，心里便有些沾沾自喜，但是继续往下做的时候，这个节奏就被打断了，因为下面这道题我不知道该如何下手了.

如图1，E为矩形ABCD的边CD上的一个动点，BF⊥AE于F，AB=3，BC=4，设AE=x，BF=y，求y与x之间的关系式，并写出x的取值范围.

首先我可以确定的是，点E在CD上运动，那么AE最短时长度与AD相等，AE最长时长度与AC相等，根据勾股定理，我可以得到AC=5，所以我可以确定x的取值范围是3≤x≤5，但是还要求y与x的关系，这可把我难倒了. AE和BF就是两条互相垂直的线，怎么才能确定它们之间的关系呢？

想来想去，还是直接去问老师吧. 老师看了一遍题目，说道：“BF和AE垂直，想想垂直有什么用呢？”我又想了一会，摇摇头，感觉这个垂直好像还是没法用.

这时老师把BE连接起来：“再看看这个垂直，现在有什么用呢？”我顿时眼前一亮：“我看到了直角三角形BFE.”当我正激动时，老师却说道：“直角三角形BFE中BF有了，可是EF不知道呀，我们想要的是BF和AE之间的联系呀，你再看看，BF和AE这个垂直怎么可以为你所用？”这时，我又仔细地思考了一遍，发现这个垂直可以把AE作为底，BF看做是底边上的高，用来求三角形的面积. 而且这个三角形的面积还可以通过另外一种方法来求：把AB看做是底，那这个三角形的高就等于BC的长度. 这样之后得到关于x和y的关系式：1/2xy=1/2×3×4，化简之后得到y=12/x，再考虑之前x的取值范围，那这道题的最后结果应该是：y=12/x（3≤x≤5）.

一想到我想了好久的题目，老师画了一条辅助线之后很快就解决了，我顿时感觉辅助线真的很神奇，可以化复杂为简单. 而我以后碰到这种图形的问题，在没有思路的时候也可以换条途径，想想能不能添加辅助线来帮助解决问题.

教师点评：该生能敏锐地察觉到x的取值范围实属不易，而且知道想要利用垂直解题，但是找不到突破口. 在这道题中，利用好这个垂直是解决本题的关键，这时候要想到垂直就有垂线段，联想到三角形的面积也需要垂线段，那就构造一个三角形，建立x和y所对应的两条边之间的联系，这时候这个问题就迎刃而解了.

（指导教师：龚 莹）