什么是无理数？

周瑜珍

实验课题

无理数的概念.

实验背景

无理数概念的建立要有一定的抽象思维和初步的极限概念.以往同学们对无理数概念的意义理解不够，有时会有一些误解，如认为“无理数就是带根号的数”，现“苏科版”教材在初一实数一章中直接给出无理数是无限不循环小数，但这可能也会让同学们体会不到数的扩充的必要性.

因此现对无理数概念的建立做一个新的设计：首先通过活动，让同学们亲身经历无理数发现的过程，体会无理数概念的意义，再进一步通过探索活动增进对无理数概念意义的理解，即无限不循环的认识.

实验目的

通过活动，让同学们亲身经历无理数发现的过程，通过探索活动增进对无理数概念的理解.

实验难点

寻找一个平方为2的数.

实验准备

单位为1的数轴、单位为1的两个正方形、圆规、刻度尺.

实验过程

活动一：有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形.

【活动说明】通过剪纸、拼图等操作，将两个正方形组合成一个大正方形，发现大正方形的面积为2.

活动二：讨论：若设大正方形的边长为a，则a要满足什么条件？

活动想法记录：

【活动说明】体会a2=2的几何意义，感受正方形边长和面积之间的关系，为将a数值化做准备.

活动三：能否在下面的数轴上找到表示数值为a的点（单位长度与小正方形单位长度一致）.

【活动说明】可以通过圆规的量取或是直接将大正方形边长叠加在数轴上等试验方式获得a点，通过动手操作及图形直观，让同学们了解该点能在数轴上表示，即a是实数，为下面的学习做铺垫.

活动四：根据以上的实验，请猜想这个数的值为多少？

1. 若a是整数，请写出具体的数值；若不是，请说明理由.

2. 若a是分数，请写出具体的数值；若不是，请说明理由.

3. 你有什么发现？

【活动说明】通过刚才的实验，同学们可以确定a显然不是一个整数，是介于1与2之间的一个数.第二小问是帮助同学们进行思考和讨论的，最后可以得出：a既不是整数也不是分数，它不属于有理数，但属于实数.a确实是存在的，但不是有理数，那是什么数呢？a又究竟是多少呢？通过反复计算、实验可以发现a是无限不循环小数，可类比除不尽的分数，分数是有限小数或无限循环小数.这发现也可纠正分数即有限小数的错误判断.

实验小结

1. 无理数定义：

无理数是无限不循环小数.

2. 尝试画出实数分类的思维导图：

【活动小结】

数学概念具有二重性，即过程性和对象性， 从而决定了数学思维、理解的两步性.数学学习总是与一定的知识背景，即“情境”相互联系.在实际情境下进行学习，可以使同学们利用自己的原有认知结构中的有关知识和经验“同化”和“索引”出当前要学习的新知识，促进对新知识的意义认识.

同学们的已有经验是影响概念学习的重要因素之一.有的同学能够从过去的经验中找出与新概念相关的概念，在比较它们异同的基础上建立新的概念，而有的同学则会受这种经验的干扰，产生错误的概念理解，认为a不是整数，那么a就是小数，而小数就是分数，所以a肯定是分数.这就是有理数的认知结构对新知识的学习的干扰.

同学们在实验过程中可一起讨论和交流，在交流中使数学概念得以深入和发展.这样的讨论和交流不仅可以更正错误认识，彼此达成一致观点，而且还能建立一个主动探索、自主学习、体验数学再发现的数学学习习惯.

（作者单位：江苏省太仓市双凤中学）