“微分方程数值解”课程教学探讨

姜英军

DOI：10.16660/j.cnki.1674-098X.2016.07.155

摘 要：在“微分方程数值解”的教学过程中，选取一类典型的微分方程（如：热传导方程）作为重点进行精讲：首先讲授该方程的建模思想、数值求解方法，再理论分析数值解法的稳定性和收敛性，随后详细指导学生编程并上机实现数值解法，避免学生“杂而不精”；最后在课堂上会对多数微分方程进行泛讲，指导学生充分利用课余时间探索方程的相关知识，培养学生的自学能力和创新能力。

关键词：微分方程数值解 教学模式 教学实践

中图分类号：G420 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）03（a）-0155-03

On the Teaching Program of “Numerical Solution of Differential Equation” Course

Jiang Yingjun

（Department of Mathematics and Science Computing，ChangshaUniversity of Science and Technology，Changsha Hunan，410004，China）

Abstract：A typical differential equation such as the heat conduction equation is firstly detailed，in the teaching process，with presentations of its modeling idea， numerical schemes，stability and convergence analysis for the schemes，and numerical tests；other differential equations are briefly presented afterwards；students are finally instructed to fully utilize their spare time to investigate results of the related equations，which helps to cultivate their self-study and innovation abilities.

Key Words：Numerical solution of differential equations；Teaching mode；Teaching practice

《微分方程数值解》是该校信息与计算科学专业高年级学生学习的一门专业基础课。信息与计算科学专业是教育部在1998年新设的一个专业，专业培养目的是培养具有一定的科学计算能力、信息处理知识和技术的复合型人才。信息与计算科学专业开设了数学分析和高等代数等重要数学基础课，还开设了C语言、数值分析、数学实验等科学计算相关课程。这些课程都为将学生培养成复合型人才打好了基础。《微分方程数值解》是以上述课程为基础开设的具有理工融合的专业课程，该课程有较强的实际应用背景，是训练应用所学数学工具解决实际问题的重要课程，也是将学生培养成应用型人才的关键环节。为提高教学效率，许多一线教育工作者撰文对《微分方程数值解》课程的教学进行了探讨[3-6]。

近年来在《微分方程数值解》课程的教学方法与教学手段改革方面有了很大进步，形成一定的教学思想和指导方针，但还未达到理想的教学效果，主要原因有：（1）课时偏少（48课时）；（2）课程理论性强，公式推导烦琐；（3）缺乏实际应用背景介绍。为了在有限的课堂教学时间内达到理想的学习效果，提出将整个教学分成两个环节：（1）对某一方程精讲，选取一种典型微分方程，详细讲解该方程的建模思想，数值解法，理论分析，并指导学生在计算机上实现算法；（2）对多种方程泛讲。对大部分微分方程仅讲解对应的数值方法和理论分析，充分利用课余时间结合课堂时间，指导学生自主完成从建模到上机完整的学习过程。

1 某一方程的详细讲解

在《微分方程数值解》这门课程之前，学生已经学到了的很多有用的数学工具，但都只停留在理论层面上，还不能有效地使用。笔者认为，讲好《微分方程数值解》这门课的一个关键任务是培养学生熟练使用数学工具的能力。此课程所涉及方程众多，但基本的建模思想、数值解法和理论分析所使用数学工具是相同的。主张先对一种方程进行全面讲述，使学生学会使用数学工具完成：（1）建模获得微分方程；（2）设计方程的数值解法；（3）理论分析数值解法的稳定性和收敛性；（4）在计算机上实现算法。在学生真正掌握相关数学工具的使用方法后，再对其他的方程进行泛讲，以学生为主体进一步应用数学工具解决问题。

抛物型微分方程的建模思想和数值求解均具有普遍的代表性，这里建议针对此类微分方程进行精讲。下面详细阐述实际操作过程，相关建模过程请参考文献[1]，数值解法和理论分析请参考文献[2]。

1.1 建模获得方程

课程教学中溶入数学建模思想，不但可以培养学生建模的能力，还能有效提高学生的学习兴趣。值得一提的是，信计专业的学生熟悉使用定积分元素法计算许多物理量，但并未使用过此方法通过物理建模获得微分方程。只要适当引导，学生即能掌握通过建模获得微分方程的方法，所需的前期预备知识为微积分和热学物理。针对三维的热传导问题（也可选取气体扩散问题）进行建模为例。将一空间体置于空间直角坐标系中，通过物理建模得到温度分布所满足的微分方程。设置物理参数：

2 多种方程的泛讲

《微分方程数值解》课程背景广泛，理论丰富，实验复杂，但各章内容有很多相似之处。对一类方程进行精细讲解，强化培养学生使用数学工具的能力和实践能力，做到抛砖引玉。对其他的方程主要讲解数值解法和理论分析，更多的任务如建模、实验等任务，指导学生独立完成。对于泛讲的内容建议：（1）充分使用多媒体工具，如将课程内容制作成若干10 min左右的小视频微型课程；（2）介绍一些参考书供学生课后阅读；（3）安排学生分组完成任务，可以将学习成绩好的和差的分在一起，相互促进；（4）考核成绩以独立完成任务的情况作为重要的评分标准。

3 结语

实现《微分方程数值解》课程教学的重要目标，要求授课教师既要熟悉工科建模思想，又要有扎实的数学知识，还要有熟悉的计算机编程能力，在今后工作中要的培训教师达到相关的知识储备。

参考文献

[1] 谷超豪，李大潜，陈恕行.数学物理方程[M].北京：高等教育出版社出版，2012.

[2] 李荣华.偏微分方程数值解法[M].北京：高等教育出版社出版，2005.

[3] 张宏伟.注重培养研究能力的5微分方程数值解法课程教学研究与实践[J].大学数学，2006，22（6）：4-6.

[4] 杨韧，杨光崇，谢海英.微分方程数值解的教学研究与实践[J].高等数学研究，2010，13（1）：124-125.

[5] 杨韧，张志让.《微分方程数值解》课程教学改革与实践[J].大学数学，2011，27（4）：19-23.

[6] 廉海荣，赵琳琳，陈瑞阁，等.关于“微分方程数值解”课研究型教学模式的探讨[J].大学数学，2012，28（5）：26-29.