解三角形问题的利器

赵虎　蔺兴旺

数学题不计其数，但是蕴含在问题中的数学思想方法却是永恒不变的.它们是数学的精髓，是解决问题的有效手段，也是考试制胜的法宝.近几年的高考一次又一次向我们证明了数学思想方法在高中数学中的重要性，本文重点谈谈方程思想在高考数学解题中的价值，希望对同仁、同学起到抛砖引玉的作用.

所谓方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型——方程（或方程组），然后通过解方程（或方程组）来使问题获解.具体讲利用方程思想，是指设出未知的量，建立等式关系即方程（或方程组），将问题进行算式化，从而简捷明快，完成未知向已知的转化.

有些高考数学题，从几何问题、三角问题、解析几何等表面上看，似乎与代数问题无关，但如果善于利用等量关系，具有方程的思想意识，许多数学综合问题，用方程思想解决很容易.现具体谈谈方程思想在解决高考数学解答题的应用.

高考解三角形问题，绕来绕去，就是利用正弦定理与余弦定理解题，即利用解方程或解方程组解决.如果我们把三角形的正弦定理与余弦定理作为解决三角形问题的利剑，那么解决三角形问题的利器，豪不犹豫就是方程思想.所以重视方程思想，具有方程的思想意识，善于利用方程思想解题，是数学解题的重中之重.

例1如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°.

（1）若PB=12，求PA；

（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA.

解（1）由已知得∠PBC=60°，所以∠PBA=30°.

在△PBA中，由余弦定理得

PA2=3+14-2×3×12cos30°=74，

故PA=72.

此小题实际上是利用方程思想解决.因正弦定理与余弦定理都是等式，只要已知未知都参与，实质转化为解方程.

（2）设∠PBA=α，由已知得PB=sinα.

在△PBA中，由正弦定理得3sin150°=sinαsin（30°-α），

化简得3cosα=4sinα.

所以tanα=34，即tan∠PBA=34.

此小题实际上也是先设元，利用正弦定理这一等式，已知未知都参与，化简，统一，最终实质转化为解方程，这里方程思想很明显.

例2四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2.（Ⅰ）求C和BD；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积.

解（Ⅰ）由题设及余弦定理得

①BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC=13-12cosC.

②BD2=AB2+DA2-2AB·DAcosA=5+4cosC.

由①②得cosC=12，故C=60°，BD=7.

评析此实际上是利用方程组思想解决.先利用余弦定理列两个方程（含有两个未知量BD与cosC），然后解方程组.这里利用方程组思想解题，思路清晰，形式优美.

例3设椭圆C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，AF=2FB.（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）如果|AB|=154，求椭圆C的方程.

解（Ⅰ）令|F1B|=m，则|AF1|=2m，|AF2|=2a-2m，|BF2|=2a-m，

在△AF1F2中由余弦定理得

（2a-2m）2=（2m）2+（2c）2-2·2m·2c·cosπ3，

所以a2-c2=2am-mc.（1）

在△BF1F2中由余弦定理得

（2a-m）2=m2+（2c）2-2·m·2c·cos2π3，

所以a2-c2=am+12mc.（2）

由（1）、（2）可得2am-mc=am+12mc，

所以a=32c，即e=ca=23.

（Ⅱ）解答略.

评析这里利用方程组思想解题，思路清晰，消元明确，算式简洁，可迅速解题.

由此可见，利用方程思想来解决数学问题，要求灵活地运用、巧妙地结合，既发展了学生思维品质的深刻性、独创性，又可迅速解题.