基于数学形态学的图像处理算法

罗秋棠

摘 要进入21世纪以来，计算机技术尤其是数字图像技术的不断进步发展，图像的重要性逐渐凸显。图像处理领域中形态学应用范围较广，它非常重视图像的构成特征，较之类似方法形态学技术的结构特征优势明显。本文介绍了一种基于数学形态学的图像处理算法，即分水岭算法。

【关键词】图像分割 图像处理 数学形态学 分水岭

1 图像分割的概述和定义

图像分割是指用区域对图像所进行的分割。这些区域的总和应覆盖整个图象，而彼此互不重叠，分割后的图像应具有相同的特性，这些特性可以是形状、颜色、纹理、灰度等任何一个。在图像处理中，图像分割时一个关键的步骤。因为在图像的研究过程中，大家一般只对某些其中的部分感兴趣。为了更好的识别与分析目标，往往要把这部分区域分割出来，再对分割出来的目标作深层次的分析，对目标进行特征的提取、参数识别和测量，能更好的促进下一层级的图像理解和分析。

成像技术可以用来泛指所有与图像相关技术，这些技术数量巨大，我们可以把它们放到图像工程范畴里。图像工程分为理解、分析、处理三个层级，且会研究所有涉及到图像的领域。图像处理是为了优化视觉效果，分析是为了检测图像里我们所需要的信息。图像分割是一种重要的图像处理技术，在实际的应用和理论研究中已经受到了人们的广泛重视，在不同的研究领域图像分割有不同的名称，如目标检测技术，阈值化技术，图像区分或求差技术，目标识别技术，目标轮廓技术，目标跟踪技术等。

2 分水岭图像分割过程

我们将图像分割的过程描述如下：首先，设想存在一个二维图像，并认为它是一个三维地形表面，且有一系列的低谷存在于该三维地形表面，二维图像的表面像素点或最小值对应地形表面连接区的底部。假设我们将这些极小值刺穿，将该三维地形表面逐渐浸至湖水中，在上述过程中，由于在湖内存在水压，将会有水从被刺穿的洞中涌出，这个涌出过程直至涌出的水与湖水高度相同才停止，停止时水面已经完全将该三维地形表面浸没。然而在整个过程中，不同的洞中将会涌出水并最终汇集于某一点。为了避免涌入的水汇集于某一点，我们尝试提高该点的像素值。当三维地形表面浸至湖中的高度愈深，我们所需要提高像素值的点就愈多，这些被提高的点将会最终集合形成为一条竖直的线即水坝。在该三维地形表面被不断浸至湖中期间，为了避免从各个洞中涌入水汇集，我们不断设立水坝。若三维地形表面全部浸至湖中，将能看到湖水被分割成若干个单独的水坝区域。

在上述的过程中，我们采用湖水作为参照系。若我们变更参照系，采用三维地形表面作为参照系。以三维地形表面作为参照系时，我们认为三维地形表面不动，湖水水平面处于匀速上升状态，逐渐浸没整个地形表面。在浸没地形表面的过程中，那些较为低洼的部分即图像谷底最先出现积水现象。伴随水平面不断上升，出现积水现象的面积逐渐增大。为了避免各个山谷中积水连接到一起，需要在连接处设立水坝。在整个三维地形表面全部被湖水浸没后，我们将会发现湖水被水坝分割成若干个区域。上述漫水过程即分水岭图像分割过程。

在图像分割过程中，分水岭算法就是将图像视为测地学中的拓扑地貌。该算法属于某种基于拓扑理论中数学形态学分割算法。某点的海拔高度采用图像中一个像素的灰度值来代表。集水盆也就是任何极小值和会被该值影响到的区域，分水岭即为集水盆与集水盆之间的界限。该算法将梯度图像中像素值（水位）按升序进行处理。采用分水岭分割算法时，将会把图像分割成若干个区域，每个区域都和一个极小值点一一对应。

3 分水岭算法的具体实现

分水岭算法实质上属于某种区域增长算法，该算法借鉴了地形学中的概念，与之不同的是，分水岭算法从图像中极小值开始增长。受暗纹理细节和暗噪声的影响，可能有大量伪极小值存在于图像中，而上述伪极小值可能会在图像中生成对应的伪积水盆。因此，假如分水岭算法无法有效的将上述真、伪极而是小值区分开，协同作为同一单独区域分割，那么在最后将有可能产生分水岭较为严重的过分割问题。

当前用来克服过分割有以下两类主流的方法：一、先平滑处理再分水岭变换，以期较少由噪声产生的过分割；二、在对小区域进行合并前分水岭变换，将相邻的区域合并。其中方法一较为有效的减少了图像中的细纹和噪声，但相应的降低了分割精确度，造成了边界模糊的新问题；方法二在将区域合并的过程中，需要大量的内存不停地释放、分配，造成了耗时长、计算量大的新问题。

在进行图像分割时使用传统分水岭分割算法，有可能出现为了保护物体边缘信息的需求与简化图像的需求之间的矛盾。大多数分水岭算法都是对已简化的图像进行处理，所以我们要在简化图像时就考虑到物体边缘信息丢失的问题。出于保护图像的边缘信息的考虑，我们可能无法有效地去除图像中的全部噪声，这会导致可能有大量的伪极小值点存在于造成简化后的图像中。当我们分割简化后的图像时，可能会造成较为严重的过分割后果。为了减少上述的过分割后果，我们需要考虑与其它算法结合。假设采用基于标记的分水岭算法把被提取出来的标记当做被图像局部极小值，在被处理的梯度图像上采取分水岭有可能获得较好结果，这种基于标记的算法要点在于能够找到被分割图像中的物体的区域极大值点。由于分水岭算法是在被标记修改后的极小值原始梯度图像上所进行的，因此能够保证分水岭分割图像边缘信息未受到影响。

我们采用分水岭来表示被输入图像的极大值点，也就是集水盆间的临界点，这个点通常通过分水岭变换获得。所以一般采用输入梯度图像，用以获得图像的边缘信息。

（1）

式中，f（x，y）表示原始图像，grad（·）表示梯度运算，分水岭算法进行图像处理时，物体表面极其微小的灰度变化与图像中的噪声都有可能造成图像的过分割，这是由于对微弱边缘分水岭能够产生理想的反应，分水岭对弱边缘的上述理想的反应确保了将会得到连续、封闭的边缘。分析图像区域特征往往需要该算法所得到的封闭集水盆。我们大多数情况下可以采用下述处理方法以减弱分水岭算法可能导致的过分割：

（1）对梯度函数进行修改使集水盆仅仅响应预期的目标；

（2）依靠已知的情况减少无关的边缘信息。

减少分水岭算法导致的过度分割往往需要修改梯度函数，而对该图像进行阈值变换往往是是简单有效的方法，该方法能消除灰度的微小变化产生的过度分割。

（2）

式中，gθ表示阈值，而阈值的选取优劣直接绝对了分割结果是否令人满意，因此选择更好的阈值往往是更好的进行图像分割的关键。

参考文献

[1]Vincent L，Soille P.Watersheds in digital spaces：An efficient algorithm based on immersion simulations [J]. Trans. Pattern analysis and Machine Intelligence，1991，13（6）：583-598.

[2]ZhangY J，GerbrandsJJ.Objective and quantitative segmentation evaluation and comparison.Signal Processing， 1994，39：43-54.

[3]Serra J.Image.Analysis and Mathematical Morphology.Academic Press， London， 1988.

[4] Matheron G.Random Setsand Integral Geometry. New York： Wiley，1975.

[5]Serra J.Image Analysis and Mathematical Morphology.New York： Academic， 1982.

[6]姚敏.数字图像处理[M].北京：机械出版社，2006，110-117.

[7]马东，曹培杰，潘凯丽.分割重叠细胞核的方法及比较研究[J].北京生物医学工程，1999，18（3）：142-147.

[8]Heiko H.Susanne S，Madhukar P.Analysis of blood and bone marrowsmeal'8 using digital image processing techniques [C]International Society for Optical Engineering，Proceedings of the SPIE Medical Imaging，San Diego，2002：624-635.

[9]黄艺，杜宇人.基于边缘信息的图像分割技术研究[J].现代电子技术， 2005（5）：116-117.

[10]Horowitz S L.Picture Segmentation by a Directed Split-and-Merge Procedure.Proceedings of Second International Joint Conference on Pattern Recognition，1974，8：424-423.

作者单位

湘潭大学信息工程学院 湖南省湘潭市 411100