聚焦圆锥曲线的热点问题

佘媛媛 张世林

本部分内容主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以直线与圆锥曲线、圆与圆锥曲线为载体，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大，能力要求高，综合性强.

圆锥曲线中的范围、最值问题

圆锥曲线的最值与范围问题的常见解法：①几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值.

例1 如 图，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交椭圆于另一点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求面积取最大值时直线的方程.

解析 （1）

（2）设，，，由题意知，直线的斜率存在，不妨设其为，

当且仅当时取等号.

故所求直线的方程为.

点拨 在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.

圆锥曲线中的定值、定点问题

定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，处理时直接推理求出定值，也可先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明. 对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果.

例2 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点P（2，3），Q（2，-3）在椭圆上，点A，B是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.

解析 （1）

（2）当时，的斜率之和为，设直线的斜率为，

则的斜率为，.

由整理得，

同理，的直线方程为，

可得.

∴直线的斜率为定值.

点拨 定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，再证明要解决的问题与参数无关. 在这类试题中选择消元的方向是非常关键的.

圆锥曲线中的探索性问题

探索性问题主要是存在性问题，求解时一般先假设存在，然后进行合理的推理论证，若得到的结论合符情理则假设成立，若得到矛盾的结论则假设不成立.

例3 如图，抛物线的焦点为，抛物线上一定点.

（1）求抛物线的方程及准线的方程；

（2）过焦点的直线（不经过点）与抛物线交于两点，与准线l交于点M，记QA，QB，QM的斜率分别为，问是否存在常数，使得成立. 若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

解析 （1）把代入，得，

所以抛物线方程为，准线的方程：.

（2）由条件可设直线的方程为，.

由抛物线准线：可知，.

又，所以①.

把直线的方程代入抛物线方程，并整理可得，

设，，由根与系数的关系知，

又，则.

因为共线，

所以，即.

所以

②.

综合①②可知，即存在常数，使得成立.

点拨 解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型.解决问题的一般策略是先假设结论成立，然后进行演绎推理或导出矛盾，即可否定假设或推出合理结论，验证后肯定结论. 对于“存在”或“不存在”的问题，直接用条件证明或采用反证法证明.解答时，不但需要熟练掌握圆锥曲线的概念、性质、方程及不等式、判别式等知识，还要具备较强的审题能力、逻辑思维能力以及运用数形结合的思想分析问题和解决问题的能力.