基于数值-解析法测量静压条件下阻尼材料动态力学参数

陶　猛, 江　坤

(贵州大学 机械工程学院，贵阳　550025)



基于数值-解析法测量静压条件下阻尼材料动态力学参数

陶猛, 江坤

(贵州大学 机械工程学院，贵阳550025)

摘要：建立了一种测量静压条件下阻尼材料动态力学参数的数值-解析法。分别制作两种空腔半径不同的圆柱空腔覆盖层样品，测量两种样品在静压力下的复反射系数;采用有限元法仿真静压力下的空腔结构变形，在此基础上同样采用有限元法计算复反射系数。以实测复反射系数和计算复反射系数建立二元非线性方程组，利用牛顿迭代法求解方程组获得复弹性模量和复泊松比等黏弹性动态力学参数;对聚氨酯材料制作的样品进行复反射系数测量，分析了静压力对聚氨酯材料动态力学参数的影响规律。测量了某不同结构吸声覆盖层静压下的反射系数，并与采用实测材料参数计算的反射系数进行比较，验证了该方法的正确性。

关键词：数值-解析法；静水压力；阻尼材料；动态力学参数

黏弹性材料具有减振降噪的作用，在水声工程[1]、高速列车[2]、航空航天[3]等方面得到了广泛应用。在水下航行器表面敷设以黏弹性材料为基体制作的声学覆盖层，能够同时起到较好的吸声及隔声作用。要设计和预测声学覆盖层性能，就需知道准确的黏弹性动态力学参数。特别是声学覆盖层通常处于水下工作状态，静水压力对声学覆盖层性能的影响显得尤为突出[4]，而静压下的黏弹性动态力学参数则是设计和预测声学覆盖层性能的关键参数。

常压条件下测量黏弹性材料动态力学参数已有成熟的方法且还在不断发展新的方法，但总的可以分为力学法和声学法。力学法的基本原理是利用测量材料振动特性计算其力学参数，例如振动梁法[5-6]、激光测振法[7-8]等，这些方法通过加工不同的样品以得到不同的变形模式，从而获得复杨氏模量、复剪切模量等力学参数。虽然力学法相对简单，但还是存在测试频段低、样品制作要求高等局限性。声学法通过测量声学性能参数如反射系数和透射系数反演得到材料黏弹性动态力学的参数[9-10]，声学法的优点是参数测量频率范围可与机理研究同步。

静压条件下测量黏弹性材料动态力学参数的方法已有开展。Guillot等基于波传播理论和共振原理，利用激光测振手段测量了不同温度、静压力条件下的橡胶复杨氏模量[11]，并在此基础上建立了复体积模量的测试系统和方法[12]，尽管该方法可以获得静压力下的黏弹性动态力学参数，但需要2套系统才能分别获得复杨氏模量和复体积模量，整个测试过程较复杂。黄修长等[13]基于水声声管测量了不同静压力下橡胶材料的反射系数，并以此反演了黏弹性动态力学参数，但这个过程基于以下两个近似：① 可采用等效复波数的近似解描述圆柱空腔覆盖层中的黏弹性波传播；② 根据样品的硬度换算得到空腔结构变形仿真计算的输入参数，而这两个近似均降低了测量结果的准确性。

图1　静压下测量黏弹性动态力学参数流程图Fig.1 Calculation flow chart of viscoelastic dynamic parameters under hydrostatic pressure

通过测空腔覆盖层的反射系数，建立一种反演量静压条件下阻尼材料黏弹性动态力学参数的数值-解析法，整个反演过程见图1，其特点在于：① 空腔覆盖层的反射系数通过有限元法计算获得，对于空腔形状并没有严格限制；② 将新的动态力学参数与旧的比较，如果满足收敛条件则获得最终的动态力学参数，若不满足则将其作为输入参数重新计算空腔覆盖层的结构变形，进而重复有限元计算过程并计算新的动态力学参数直至结果收敛。

1基于ANSYS的反射系数计算

黏弹性吸声覆盖层的结构大多包含空腔结构(圆柱型、球型等形状)。图2为一种典型的空腔吸声覆盖层，其特点是按正六边形周期性地排列了两段组合式圆柱空腔。由于空腔结构具有对称性，可以只取其中的一个单元分析，即图2中以双点划线所表示的正六面棱柱体。但是在有限元计算过程中，采用轴对称单元相对于三维实体单元能大大缩减计算量，因此采用圆柱体模型代替正六面棱柱体模型以提高计算效率。

图2　典型圆柱空腔覆盖层及其单元结构示意图Fig.2 Schematic diagram of unit cell of a typical acousticcoating

采用ANSYS计算黏弹性空腔覆盖层的反射系数时，需对黏弹性材料的损耗因子、无穷远处边界条件、覆盖层与水介质的流固耦合界面进行合理设置。ANSYS没有直接提供黏弹性材料损耗因子的输入选项，由于计算反射系数时必须计及黏弹性材料的阻尼损耗，但在考虑到ANSYS中定义了Rayleigh阻尼，因此首先需建立ANSYS中阻尼输入量与黏弹性材料损耗因子的关系。

(1)

式中：E0为弹性储能模量，ηE为对应的损耗因子。

采用ANSYS计算空腔覆盖层的反射系数，需建立描述覆盖层在平面波激励下的运动微分方程。当系统以频率ω作稳态简谐振动时(包含时间因子e-jωt)，运动微分方程可写成：

(K-jωD-ω2M)qT=fT

(2)

式中：Μ,D,K分别为结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，qT为节点的位移向量，fT为结构所受激励的等效节点载荷向量。

与复弹性模量的表达类似，黏弹性材料的复刚度矩阵可用复数形式表示：

(3)

式中：η为对应的损耗因子。

(K-jηK-ω2M)qT=fT

(4)

与式(2)比较，得到以刚度矩阵及其损耗因子表示的阻尼矩阵：

D=(η/ω)K

(5)

考虑到ANSYS定义了Rayleigh阻尼：

D=αM+βΚ

(6)

式中：α为质量阻尼系数;β为刚度阻尼系数。有了这两个系数，系统的阻尼矩阵就可以根据式(6)获得，进而黏弹性材料的损耗因子就可以通过刚度阻尼系数表示：

β=η/ω

(7)

在ANSYS中，定义材料的刚度阻尼系数β可通过相应的命令实现。

此外，由于平面波是从水介质一侧入射到吸声覆盖层，因此需要选择吸声覆盖层-水介质的接触面并将其设置为耦合面以解决流固耦合问题，以及通过设置水介质区域的外边界为声学吸收边界可以解决无穷远处无反射的问题。

当计算完成后，提取吸声覆盖层的前端面(平面波入射一侧)上所有节点的声压p和法向振速vn，并根据式(8) 计算各节点的输入阻抗：

zf=p/vn

(8)

以及计算根据式(9) 计算各节点的反射系数：

(9)

式中：z0为水介质的特性阻抗。

最后，按照节点所占的表面积比例加权得到整个前端面的平均反射系数。

应该指出的是，基于ANSYS的反射系数计算模型并不局限于圆柱空腔，同样也适用于其他任何形状的空腔结构覆盖层。

2黏弹性动态力学参数计算

(10)

(11)

(12)

其迭代公式为:

(13)

式中：

(14)

需要强调的是，文献[15]给出了根据在脉冲管中测得的复反射系数计算被测材料的纵波声速和衰减系数的迭代法计算公式，但是该迭代具有多值性问题。同样地，本节采用牛顿迭代法求解的二元非线性方程组也有多值性问题，即对于不同的初始值会迭代出不同的结果。但是，计算结果表明若选取迭代初值为常压下的复弹性模量和复泊松比，通常只需数次迭代就能满足收敛条件，在此基础上加以经验判断可获得最终的计算结果。

此外，由于实际黏弹性材料的动态力学参数与频率呈现明显的相关性，因此上述过程需要在每一个离散的频率点处都进行以得到全面的测量结果。

3测量结果和分析

3.1静压作用于腔体的结构变形仿真

进行静压条件下的动态力学参数测量，首先要考虑空腔结构在静压作用下的变形，然后将变形后的空腔几何尺寸代入反射系数的有限元计算模型。计算空腔结构变形需要输入所有的材料参数，但是弹性模量和泊松比是通过测量计算获得的，因此需要假设这两个参数以完成静压下的变形计算。初始计算静压力下的空腔结构变形时，假设聚氨酯材料的弹性模量60 MPa，泊松比0.48，密度通过测量为1 250 kg/m3，圆柱空腔半径2 mm，覆盖层厚度35 mm。

当圆柱空腔覆盖层受到3 MPa的静压力时，变形前后的覆盖层单元结构示意图(见图3)，变形主要为覆盖层厚度减小和空腔半径减小两个方面。与未受压状态相比，封口薄层的变形程度较大，空腔结构形状不再是圆柱空腔，因此以受压后的变形结果计算静压反射系数。第一次参数计算结束后，(见图1)，将新的弹性模量和泊松比重新代入静变形分析模型，计算该参数下的静压反射系数并与实验测试进行比较，直至二者差值满足设定的收敛条件。

3.2方法验证

本文中并未直接测量材料的黏弹性动态力学参数，因此无法进行直接的比对验证。但是为了验证该方法的正确性，利用上节获得的黏弹性动态力学材料参数，对以相同材料制作的、空腔半径为3 mm的覆盖层反射系数进行了有限元计算，并与实际测量结果进行了比较。测试方法采用成熟的基于双传声器(见图4)的传递函数法[16]，测量过程中选择的静压力分别为1 MPa、2 MPa和3 MPa。

比较结果见图5，可以看出两者符合良好，只是在个别频点处稍有差异，原因可能是声管经过多次加压释压操作之后，两个水听器的幅值一致性和相位一致性产生偏差，但这并不妨碍说明该方法的可靠性。应该指出的是，图5中的计算结果和测量数据之间的差别应是测试系统引起的误差，从式(11)可以看出，如果反射系数测量不够准确，必然使参数计算结果产生误差，若能提高复反射系数测量的准确性，黏弹性动态力学参数测量的准确性肯定会进一步提高。

图3 静压力下单元结构的变形图Fig.3Deformationofcellunderhydrostaticpressure图4 双水听器法测量示意图Fig.4Schematicdiagramoftwo-hydrophonemeasuringsystem

图5　静压下某聚氨酯覆盖层吸声系数的计算结果和测量数据Fig.5 Simulated and measured reflection coefficients of polyurethane coating under hydrostatic pressure

3.3静压下黏弹性动态力学参数测量结果

图6　静压下聚氨酯材料的弹性储能模量Fig.6 Measured elastic storage modulus of polyurethane under hydrostatic pressure

图6和图7分别为静压下聚氨酯材料的弹性储能模量及其损耗因子的测量结果，图8和图9分别为静压下复泊松比的实部及其损耗因子，复泊松比由ν=ν0(1-jην)表达，其中ν0和ην分别是复泊松比的实部和损耗因子。从图6～图9可以总结出如下几点：

图7　静压下聚氨酯材料的弹性模量损耗因子Fig.7 Measured loss factor of complex elastic modulus of polyurethane under hydrostatic pressure

图8　静压下聚氨酯材料的复泊松比实部Fig.8 Measured real part of complex Poisson’s ratio of polyurethane under hydrostatic pressure

图9　静压下聚氨酯材料的复泊松比损耗因子Fig.9 Measured loss factor of complex Poisson’s ratio of polyurethane under hydrostatic pressure

(1) 不同静压条件下，弹性储能模量的数值变化不大，约在100～150 MPa的范围内，文献[17]列出的聚氨酯材料的相关数值为200 MPa，说明通过本方法获得的弹性储能模量数值量级上在聚氨酯材料的合理范围内。

(2) 静压值升高导致材料的致密性增加，因此弹性储能模量及其损耗因子随静压值升高分别呈现出增加和减小的特点。但是与橡胶类材料有较大不同，弹性储能模量及其损耗因子在不同静压值条件下的差别不大，由于聚氨酯材料较硬，因而静压引起的材料致密性增加程度有限。

(3) 泊松比数值在不同静压值下的差别不大≈0.49，这与高分子材料的泊松比接近于0.5是符合的。泊松比损耗因子量级在10-3左右，这与Pritz的研究结果[18]类似，相对于复泊松比的实部来说，其损耗因子可以忽略不计。

(4) 与初始假设的弹性模量和泊松比相比，最终测量计算得到的这两个参数有较大差别，说明反复迭代直至收敛获得计算结果是必要的。

4结论

建立了一种测量静压条件下阻尼材料黏弹性动态力学参数的数值-解析混合方法，该方法逻辑清晰、测量精度高，原则上对空腔形状并无严格限制，并且测试频率和压力与声学性能及机理研究的范围同步。对聚氨酯覆盖层进行测量和分析发现，由于本次实验选择的聚氨酯材料较硬，静水压力对聚氨酯材料的复弹性模量和复泊松比的影响都不大。通过黏弹性动态力学参数的验证计算，指出提高参数测量精度的关键是保证静压下样品复反射系数测量的准确性。

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Dynamic parameters measurement of damping materials under hydrostatic pressure based on a hybrid numerical-analytical method

TAOMeng,JIANGKun(School of Mechanical Engineering, Guizhou University, Guiyang 550025, China)

Abstract:For viscoelastic dynamic parameters measurement of damping materials under hydrostatic pressure, a hybrid numerical-analytical method was developed. Firstly, two different samples of sound absorption coatings containing cylindrical holes with two different radii were tested in order to obtain the two different measured complex reflection coefficients under hydrostatic pressure. Secondly, the complex reflection coefficients were calculated with FEM based on the structural deformation simulated with the FE method. Then, using the measured and the simulated complex reflection coefficients simultaneously, two nonlinear equations were established. Using Newton iteration method, the nonlinear equations were solved, the viscoelastic dynamic parameters including complex elastic modulus and complex Poisson’s ratio were obtained. Then, two samples made with polyurethane were tested in a water-filled acoustic-pipe, and the effects of hydrostatic pressure on the viscoelastic dynamic parameters were analyzed and summarized. Finally, the reflection coefficient of another different sound absorption coating tested under hydrostatic pressure was measured and compared with the simulated reflection coefficient calculated with the measured viscoelastic dynamic parameters, the correctness of the proposed method was verified.

Key words:numerical-analytical method; hydrostatic pressure; damping material; dynamic parameters

中图分类号:TB56

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.07.015

收稿日期：2014-09-23修改稿收到日期：2015-03-31

基金项目：国家自然科学基金(51365007；11304050);高等学校博士学科点专项科研基金(20135201120007);上海交通大学舰船设备噪声与振动控制技术重点学科实验室开放课题(VSN201301);贵州省教育厅优秀科技创新人才计划(黔教合KY字[2014]246)

第一作者 陶猛 男，教授，1980年生