澳大利亚IB数学教材特点的介绍

钟劲松

【摘要】本文就澳大利亚IB（International Baccalaureate）数学教材中函数部分内容的整体特色，以具体的例子来介绍，旨在说明该套教材在某些方面有一定的特点，值得我们教材编写人员和教研人员的学习和借鉴.

【关键词】澳大利亚IB；数学教材；函数；特点

1IB介绍

IB（International Baccalaureate）是一个非盈利性的教育基金会，成立于1968年，总部设在日内瓦，在北京、布宜诺斯艾利斯、纽约、新加坡等11个城市设有办事处.整个IB的课程分为四个阶段：小学项目（PYP）、中学项目（MYP）、大学预科项目（DP）和IB职业相关课程（IBCC）.无论是在哪个阶段，课程都十分关注培养学生的国际视野.DP阶段（Diploma Program）是整个IB课程系统中最早开设的阶段（1968年）.这个阶段的课程对16到19岁的学生开放.整个课程为时两年，相当于中国的高二、高三，完成DP阶段的课程后即可进入大学进行学习.整个课程分为六门学科组课程和三门核心课程.每一门学科组课程都分为高等级课程（Higher Level）和标准等级课程（Standard Level）.对于高等级的课程，学生被要求完成至少240小时的课程，对于标准水平的课程，学生至少要完成150小时的课业.

2IB数学教材及其特点

笔者在研读澳大利亚高中IB数学教材（MATHEMATICS HIGHER LEVEL （CORE））（3版3次）后，发现该套高中教材有一定的特色.该套教材是由Fabio Cirrito为主编，Nigel Buckle，lain Dunbar为数学丛书编者的一套国际文凭大学预科数学高级教材.该套教材共27章，1068面，1997年由澳大利亚IBID出版社首次出版，目前已经是第3版3次印刷.该套教材的每次修订都在广泛征求一线教师、教研人员和学生的意见的基础上，进行了大量的修订，使得教材日趋完善.学生只有学完教材中的知识内容，考试合格方可进入国际文凭大学.该套教材内容涉及到我国现行普通高中数学课程标准的大部分内容，但其编写顺序、知识的呈现方式和方法有些不同，现将这套教材的函数部分（一次、二次函数，绝对值函数，分段函数，方程和不等式，多项式，二项式定理，图形的变换，指数函数、对数函数和幂函数，数列，三角函数和反三角函数，复数等）的若干特点归纳、整理成文，与同行交流.

2.1开篇整体介绍

教材第一章（Chapter 1Theory of Knowledge）主要介绍数学在古代和现代文明的发展史中扮演着重要的角色，特别是在天文、航海、建筑、桥梁等方面的影响，并列举了大量的实例.并且还介绍了数学的公理体系和几条公理，证明的几种方法——列举法，直接证明和间接证明（反证法）以及数学悖论.同时还介绍了理论数学和应用数学的相关知识，数学的美与和谐.最后，列举了几道经典题目，如孪生数的对数猜想、哥德巴赫猜想、求梅森数和立体几何等问题，这些问题看似简单，但解决起来非常复杂，甚至目前为止还没有解决的一些问题.

从开篇第一章可以看出，编者通过详细的实例——从古到今的数学的用处，数学的美，数学应遵循的公理体系，证明的方法，以及一些问题抛给学生，让学生体会到数学不仅有用，而且还存在很多未能解决的问题，激发学生的求知欲望.我们的教材出版机构和教材编写人员在组织编写教材时，能否在开篇不讲具体的知识，而是通过具体的实例和图形，将数学的作用、结构和遵循的方法，数学解决的主要问题简单地进行说明，让学生对数学有整体的了解和全面的认识.

2.2呈现直观、易懂

数学教材中通常包含文字、符号、图形和表格语言，但作为数学学科来说，抽象是数学学科的主要特征，很多教材通过大量的文字来阐述公式或者一个定理，学生望而生畏.若能通过图表形式呈现，学生容易直观地理解并记忆.澳大利亚这套国际文凭大学预科数学教材中，有多处将难以理解的数学解题思想和方法，归纳和总结等通过图表的形式呈现，直观、容易理解.

（1）综合除法的表格表示

若多项式A（x）=a3x3+a2x2+a1x+a0除以（x-k），所得的商是多项式Q（x）=b2x2+b1x+b0，余数是常数R，则有A（x）x-k=Q（x）+Rx-k.如何确定b2，b1，b0，R的值，可以通过综合除法来求，也可以编制如图1所示的表格，通过表格可以直接写出b2，b1，b0，R的值，即

b2=a3，b1=a2+kb2=a2+ka3，b0=a1+kb1，R=a0+kb0

（2）函数与关系的图形表示图2

如图2所示，从图形上可以看出，函数是一种特殊的关系，是关系的子集.另外，复合函数的存在性（即两个函数能否复合），复合后的定义域和值域与复合前函数的定义域和值域的关系，通过图3、4所示的图形和表格，可以将它们的关系直观化和可视化，可以知道复合函数（gf）的定义域、值域和函数f，g的定义域、值域的关系，即复合函数gf存在的前提是rfdg，同样地，复合函数fg存在的前提是rgdf，一目了然，便于学生理解和掌握.

（3）用短句（口诀）帮助记忆图5

如图5，例如在讲三角函数时，每个象限内三角函数值的符号，学生刚开始时很难记忆.但通过记忆如右的简单图形和短句（All Stations To City）就可以知道各个象限内三角函数值的符号的正负，即在第一象限内，所有三角函数值为正；在第二象限内，只有正弦函数值为正，其他三角函数值为负；第三象限内，只有正切函数值为正，其他三角函数值均

为负；在第四象限内，只有余弦函数值为正，其余均为负.

2.3注重通性通法

该套教材函数部分内容始终与图形紧密结合，注重通性通法，结合函数图形可以解决很多问题，如函数的零点，方程的解和不等式的解集.例如在第三章多项式（Polynomials）中，内容涉及到多项式的剩余定理、因式定理、绘制一般多项式函数的图像，根据函数图像了解根的情况.余数定理，即对于任意多项式P（x）=anx+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0来说，除以（x-α）的余数是P（α）；因式定理，若（x-α）是多项式P（x）的一个因式，当且仅当P（α）=0.上述两个定理的证明容易，有了这两个武器后，勾勒一般函数（高于3次）的图像并非难事.多项式的分解和穿过x轴的关系如下：

（1）当P（x）=（x-a）（x-b）（x-c）…，其中a≠b≠c≠…，曲线将穿过x=a，x=b，x=c，…，在每一个点，曲线穿过该点的形状是如图6所示，共4种情形.

（2）当P（x）=（x-a）2（x-b）（x-c）…，其中x=a时P（x）=0二重根，且a≠b≠c≠…，函数y=P（x）的曲线穿过x=a时，符号不改变，曲线在x=a附近的形状如图7所示，共2种情形.

（3）当P（x）=（x-a）3（x-b）（x-c）…，其中x=a时P（x）=0三重根，且a≠b≠c≠…，函数y=P（x）的曲线穿过x=a，曲线穿过x=a时的图像如图8所示，共2种情形，根据上述三点可以勾勒一部分函数（n≥3）的图像，特别是容易因式分解的多项式的函数图像.

实际上，学生若能掌握上述三点，在研究一些函数的单调性、凹凸性和极值很有好处，避免了繁琐的求导计算.不过，本方法也存在一些弊端，难在将一些多项式正确地进行分解因式.另外，本套教材还充分利用变换的观点，即利用平移、旋转、反射和放缩的变换的思想，从基本的图形开始，通过分析图形的变换，最后达到能够绘制复杂的图形，直观地分析图形的性质.

2.4与技术结合紧密

澳大利亚这套教材充分利用信息技术，使用数学软件，图形计算器（T1-83）等，帮助学生发现问题，分析问题和解决问题，特别是将学生从繁杂的计算、图形的绘制中“解放”出来，用更多的时间进行构思和创造性的研究.例如利用图形计算器解方程（组）、不等式（组），计算组合数和三角函数，作函数的图像，根据函数图像研究函数的性质，以及在同一坐标中作不同函数的图像，通过比较函数图像，研究各种变换（平移、旋转、伸缩、对称和反射）对函数图形的影响，将抽象的问题通过直观的图形体现.另外，图形计算器还能够作两组关联数据的散点图，根据散点图来选择哪类函数进行拟合，计算一组数据的平均值、方差、标准差和期望值等等.总之，与新技术紧密结合是该套教材的一大特点，鼓励学生充分利用新技术来做数学，减少繁杂重复的计算.

2.5习题量多、偏应用

本套教材在每节后面配有大量的习题，如在解含有绝对值的一次式方程（Linear Equations involving Absolute values）时，本节有两道例题，在后面配有八道练习题，每道练习题有2～12个小题，难度从低到高，内容涉及到各个方面，并且有些超难题.练习题的配置还有一个显著特点，那就是偏重应用.实际上，函数部分习题主要考察学生的运算能力和推理能力，很难与实际生活结合起来.

本套教材的例题和习题，有很多题来源于实际生活.例如在讲指数函数模型时，有关细菌随时间的增长，矿物质随时间的减少，机器随时间折旧，光的强度通过水域时强度减弱等等，涉及到医疗、卫生、环境和科技等各个方面.同样，对于对数函数模型，数列（等差、等比，复利率和养老金），三角函数等等，几乎涉及到社会生活的方方面面，让学生感知到数学的应用和魅力.

2.6注重内容连贯

本套数学教材非常注重内容的连贯性.首先，讲代数的基本知识，如数轴、无理数、绝对值以及区间的表示方法；其次，讲二（一）次函数、方程和不等式，解一次、二次方程组等.最后，讲多项式，二项式定理，函数与关系，图形与变换，指数函数和对数函数，数列和级数，三角函数及其应用，复数（复数的几何表示和几何属性，复数的三角表示，复数域内多项式方程及其解，三角不等式、德模弗定理、代数基本定理）等等.通过连续地将函数知识介绍完，有利于学生系统地理解和掌握函数的知识，更加符合学生的认知规律.另外，统计与概率方面按照统计（描述数据、分析数据、统计测量），计数原理，概率，离散随机变量（数学期望与方差、二项分布、超几何分布、泊松分布、正态分布）等顺序，按照内容的关联度，连贯地串联而成，便于学生系统地了解和掌握知识.

2.7关注数学与文化

本套教材关注数学的本质内容的同时，注意文化的熏陶.例如在“指数函数和对数函数”章中，介绍了自然对数的底e历史，通过复利的计算，即当n趋于无穷大时的极限，即limn→∞1+1nn=e=2.71828…；再例如在对数函数的发现问题上，真数的乘除可以化为指数的加减运算，大大地减少了人类的运算量.关于对数的发明问题，苏格兰数学家、神学家纳皮尔（John Napier）和瑞士数学家布尔基（Jobst Bürgi），是否独立发表，谁先谁后的争议上都有介绍.实际上，纳皮尔于1614年出版了关于对数讨论的小册子，而布尔基于1620年独立地出版了他的发现.最后，在讲二项式定理时，展开项的系数与Pascal三角形数一致，在本书中，还提到了Pascal早期的概率理论的研究，同时提到了中国古代数学家杨辉对“杨辉三角形”的研究，且比Pascal的研究早很多年，等等.

2.8重视演绎推理和细节

该套教材的编写在关注合情推理的同时，始终按照传统的数学教材编写方式编写——演绎推理，特别关注数学的严谨性，同时也注重现代数学理论，经典方法与现代信息技术结合，让学生感知到不仅是学习数学，而是某种程度上参与数学问题的讨论.通常是介绍定理，从不同方面来证明，对于数学例题，从不同角度进行解答，规范解题步骤，最后达到定理的应用和总结.

该套教材在细节方面也特别注意，譬如在讲复合函数时，通常情况下为什么有fg≠gf？对数的真数为什么不能为负数？等等，都很注重.

2.9注重总结与归纳

本套教材非常注重总结与归纳，例如解三元一次方程组时，把解的情况与空间三个平面的关系对应起来，并列出了空间中三个平面的8种位置关系.再例如二次函数ax2+bx+c=0（a≠0）的根的三种情形；关系的四种类型（一对一、一对多、多对一、多对多），只有一对一才是函数关系，其他情况不是函数关系，并配有图示.在函数与关系章节中，列举了两个变量x，y的9种关系，它们分别为y=mx+c，y=ax2+bx+c，y=ax3+bx2+cx+d，y=a×bkx+c，y=ax-b+c，y=ax+b和y=alogb（x-c），y=a（x-b）2+c，（x-a）2+（y-b）2=r2，分别绘制它们的图形和进行了性质的说明.再譬如用正弦定理解三角形时，当已知锐角α和两边a，b，有四种可能情况，已知钝角α和两边a，b，有两种情况，均配有图示.

3总结与反思

本套澳大利亚IB高级大学预科数学教材是按照IB课程标准编写，有些内容比我国按现行课程标准编写的数学教材要难，例如在复数内容上，在概率统计内容上，在微积分内容上，甚至在函数内容上，有很多内容超出了我国现行数学教材的难度和深度，有些知识内容在我国教材中出现一点点，甚至没有出现.如复数的三角表示，代数基本定理，德模弗定理及复数的应用.再比如如何求三角函数（sin x，cos x，tan x）的反函数等，在我国现行教材中就没有出现.我们国家的教材建设经过一代又一代人的努力，积累了很多优点，希望我们的教材编写单位在发扬传统教材优点的同时，广泛吸取国外优秀教材编写经验，特别是国际上反响比较好的数学教材，共同提高我们的数学教材编写质量，培养出更加优秀的、与国际接轨的优秀数学人才.