表达式a=△v/△t适舍于曲线运动吗？

曹艳如

加速度的概念是在直线运动中引入的，那么表达式适用于曲线运动吗？很多人认为不适用，以平抛运动为例，给出的具体理由如下.

如图1所示，一物体从O点以初速度vo做平抛运动，取运动轨迹上的任意两点A、B，设物体自抛出点到A、B两点的时间分别为t1、t2，物体在该两点的速度大小分别为v1、v2，将v1、v2分别分解在水平方向和竖直方向上，其分速度分别为vo、v1y，和vo、v2y，如图2所示.

则由平抛运动的规律可得：

实际上，是加速度的定义式，应该适合于任何情况下加速度的运算，那么以上解释错在哪里呢？

速度的变化量与速度、加速度一样均为矢量，它们的运算符合矢量合成法则，不能直接求其代数和.用以上方法求解△v时，把速度和速度的变化量当做标量来处理了，没有考虑到它们的矢量性，因此该求解方法是错误的.那么，对于曲线运动的加速度，正确的理解是怎样的？下面分四种运动情况加以具体说明.

一、平抛运动的加速度

由矢量的知识可得，△v与v1、v2的关系如图3所示.结合图2可知，△v=v2y-v1y=gt2-gtl=g△t，即物体速度的变化仅在竖直方向上，这与水平方向上不受力是一致的.

二、匀速圆周运动的加速度

如图4所示，取物体做匀速圆周运动轨迹上的任意两点A、B，设物体在该两点的速度分别为v1、v2，且V1=V2=v，物体由A到B经历时间为△t，半径转过的同心角为Aθ，速度的变化量为△v.

由矢量知识可得Av如图5所示，根据。△θ→时，△v与v1的夹角a→π/2，所以瞬时加速度的方向指向圆心，它其实就是向心力产生的向心加速度.

可见，对匀速圆周运动也是适用的.

三、变速圆周运动的加速度

做变速网周运动的物体，某一时刻所受的合力F可以分解为沿着半径方向的力Fn和沿着切线方向的力Ft，如图6所示.由牛顿第二定律可知，力Fn只能改变速度的方向，产生法向加速度an（即向心加速度），而力Ft则可以改变速度的大小，产生切向加速

如图7所示，物体做变速网周运动，取轨迹上的任意两点A、B，设物体在该两点的速度分别为v1、v2，物体由A到B的时间为△t，此过程中半径转过的网心角为Aθ，速度的变化量为△v.

由矢量知识可知△v如图8所示，在v2上截取一段V1'，使vl'=V1-令v2-vl'=△vt.现在以Av为对角线，以△vt为一邻边作平行四边形，即将速度的变化量△v分解为Avt和△vn如图9所示.其中△vt是因为速度大小变化引起的速度变化量，而Avn则是因为速度方向变化引起的速度变化量.

当At→0时，Aθ→O，且网弧AB趋近于直线段，速度v1、v2方向趋于一致，所以△vt=v2-v1，△vn=v1△θ，则A点的瞬时切向加

四、一般曲线运动的加速度

在研究曲线运动的路程时，我们经常把一般的曲线无限分割成许多小段，把每一段当做直线段来处理，即用“以直代曲法”.在这里求解加速度，如果仍用这种方法，则不能反映物体运动速度方向的变化.那么，怎样才能真实反映速度的变化呢？

我们可以把一般的曲线无限分割成许多小段，看成是由一系列不同半径的小网弧组成，即以“以圆代曲”.如图10所示，我们可以在曲线上过任意一点4与其两侧无限接近的相邻点作一个圆，在极限的情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，曲率圆的半径叫做曲率半径.一般来说，轨迹上的不同点具有不同的曲率半径，曲率半径越小，此处曲线的弯曲程度越大.

引入曲率网以后，曲线运动就可以看作是由许多不同曲率半径的变速圆周运动组成，由以上分析变速圆周运动的方法，我们同样可以得出物体的切向加速度和法向加速度仍然满足公式

事实上，直线运动、网周运动和平抛运动都可以看作一般曲线运动的特例，均可由一般曲线运动的研究方法推导出它们的加速度，例如：速直线运动.

当at=0时，物体做匀速圆周运动.

综上所述，是加速度的定义式，它适合于任意形式运动加速度的求解，在应用时要注意v、△v和a的矢量性.我们对知识的接受遵循着由浅人深、从简单到复杂的规律，因此教材中从最简单的运动——直线运动引入加速度的概念.随着学习内容的深入，我们要注意拓展自己的思维，不能拘泥于最简单的运动形式，更不能被简单的现象所迷惑，要善于利用所学过的概念解释相关的新问题，从而提升自己的发散、推理、综合等思维能力.