基于SOLO分类的小学数学开放题学习思维评价

杨传冈，李海东

（1.盐城市第二小学，江苏 盐城 224005；2.泰兴市南沙小学，江苏 泰兴 225400）

数学开放题，就是“条件开放或结论开放的问题，也就是说，问题的条件和结论之间不存在充分必然的联系，这样的问题称为数学开放题”[1]。数学开放题依据命题要素分为“条件开放题、策略开放题、结论开放题、综合开放题”[2]。“对问题指向只有原则性要求”和“一题多解”是数学开放性问题的本质特征。前者为后者提供了可能，后者是前者的体现。[3]国内小学数学开放题前后经过30多年的研究，取得了很多成就，但研究主要集中于定性的视角，对小学生思维发展影响的评测研究还处在起步阶段，查阅国内外的研究文献后发现，SOLO分类评价法是一种较为成熟、值得尝试和研究的方法。

一、SOLO分类评价法的概念认知

SOLO（Structure of the Observed Learning Out⁃come）分类评价法就是“可观察的学习成果结构”评价法，是由比格斯（J.B.Biggs)教授首倡的一种以等级描述为基本特征的质性评价方法，在海外有非常广泛的应用，把学生思维层次由低到高分为五个不同的层次，即前结构、单一结构、多元结构、关联结构、抽象拓展结构等。[4]

1.前结构：处于这一阶段的学生基本无法理解问题，思维无关知识困扰，没有解决问题或回答问题的思路，解答很混乱，所做出的回答是对问题的简单重复或者根本就弄不清楚题目的意思。

2.单一结构：处于这一阶段的学生能够厘清问题的线索，明白问题的指向，关注题目中的相关内容，并找到了一个解决问题的办法，但回答只能联系某一个事件，没有一致性；从一点很快就得到的结论，有可能对问题的回答本身就存在矛盾。

3.多元结构：处于这一阶段的学生能找到更多的点，但不能把它们有机地整合在一起。虽然找到越来越多的相关特征，能把握问题的线索和多个相关素材，但仅能联系有限的孤立事件做出结论，还不具备把它们有机整合的能力，无法深入地对各问题之间联系起来进行思考。

4.关联结构：处于这一阶段的学生能把各部分内容整合成一个有机整体，能解决较复杂的具体问题，能在熟悉情境或在已有经验范围内进行概括和归纳，而且在给定的系统内没有不一致的问题，表现为能回答或解决较复杂的具体问题，但只能在一个路径上做出结论，在系统外可能会出现不一致的现象。

5.抽象拓展结构：处于这一阶段的学生能归纳问题，以便学习更多的抽象知识，能把握问题线索和相关素材以及它们之间的联系，并能以此进行推论；能在新情境中归纳和演绎，有较强的一致性，允许开放性结论以及符合逻辑的对统一问题做出不同解答。这是一种更高层次的学习能力，表现出更强的钻研和创新意识。

因此，SOLO分类评价法能体现学生思维循序渐进的发展过程，能评价学生的思维层次。结构越复杂，学生的思维层次就越高，其中前三个层次能反映学生基础知识的积累情况，后两个层次能体现学生数学思维的提升和飞跃情况。因此，这种方法能有效评价开放题学习对学生思维发展能力的促进作用。

二、SOLO分类评价法的操作程序

应用SOLO分类评价法评测学生的思维包括三个程序：首先，要确定知识点中的关键评价要素；其次，要按照结构层次形成测试学生的评价标准（这是重点），教师不但要对学生的数学认知发展水平有充分认识，还要制订具有层次性的评价标准，并努力使标准和学生的思维相吻合；第三，教师要对评价标准根据需要适当修改。如达成前结构层次的水平不计分（或记作E）；达成单点结构层次的水平可以记作D；达成多元结构层次的水平可以记作C；达成关联结构层次的水平可以记作B；达成抽象拓展结构层次的水平可以记作A。教师也可以根据需要给各层次的水平赋予适当分值，把学生的思维水平量化为具体分数。

三、SOLO分类评价法的具体运用

（一）条件开放题的分类评价

条件开放题是指开放题中有多余条件或隐含条件，需要学生在观察、类比、分析、联想、抽象和概括等思维过程中抓住有用条件，发现隐含条件，不用或少用干扰条件和多余条件，从而创造性地从不同角度寻找解决问题的方法。条件开放题包括条件不全、条件多余和条件隐含等类型。

1.条件不全型开放题就是“缺少条件”的开放题。这种开放题，条件看似不足，需要学生补充条件或变换角度进行思考和分析，才能顺利解决问题。

【案例1】用篱笆围一块长方形菜地。已知菜地宽80米，（ ），需要用篱笆多少米？

按照SOLO分类评价理论，学生能补充的各结构层次的条件如下：

（1）单一结构：长100米。（学生只要找到类似的单一线索就能根据长方形周长公式计算篱笆长度）

（2）多元结构：长比宽多10米。（学生要先求出长，再根据长方形周长公式计算篱笆长度）

（3）关联结构：宽比长少20%。（学生对问题的理解上升到更高水平，要先根据宽与长的百分数关系求出长，再根据长方形周长公式计算篱笆长度）

（4）抽象拓展结构：菜地一面靠墙，并且宽与长的比是3:4。（学生不但要根据宽与长的关系求出长，还要考虑菜地究竟是哪一面或几面靠墙，条件具有较强的开放性，学生对该问题的理解发展到质变层面，思维就会发生质的飞跃）

条件不全型开放题能培养学生根据情境分析问题、创造条件解决问题的能力。这种开放题没有固定解题模式，学生往往无从入手，需要教师适当引导，才能从不同角度探索。

2.条件多余型开放题就是要解决的问题中存在多余条件，需要学生在梳理信息后进行合理选择。这种开放题往往能有效锻炼学生认真判断、正确选择条件的能力，从而在问题解决的过程中有效培养学生的批判性思维。

【案例2】仓库里有以下四种规格的长方形、正方形铁皮：a.长0.6米，宽0.4米；b.长0.6米，宽0.5米；c.长0.5米，宽0.4米；d.边长0.4米。张师傅想从中选5张铁皮，焊成一个无盖的长方体（或正方体）水箱，可以选哪几种规格的铁皮？要选几张？

按照SOLO理论，各结构层次的学生所选择的条件如下：

（1）单一结构：焊接成一个正方体，选5张d正方形铁皮。（边长是0.4米的铁皮是唯一的，只须排除所有多余的长方形铁皮就行）

（2）多元结构：焊接成一个长方体，先选1张正方形铁皮，再选4张一样的长方形铁皮。即选1张d和4张a，或选1张d和4张c。（长方体的底是正方形，四周的铁皮和正方形铁皮配对，要先排除和正方形边长不配对的b，难度稍微大些）

（3）关联结构：选两种铁皮，如2张正方形铁皮和3张相同的长方形铁皮（可以选2张d和3张a，也可以选2张d和3张c），或选1张正方形铁皮和4张相同的长方形铁皮（1张d和4张a，或1张d和4张c）。（学生不但要熟悉长方体相对棱相等的特征，而且要明白长方体相邻面棱的关系，还要排除不配对的多余条件，思维难度更大些）

（4）抽象拓展结构：焊接成一个长方体，选三种规格的铁皮——1个底面和2组不同的侧面，也就是长、宽、高各不相同的长方体。即1张a、2张b和2张c，或选1张b、2张a和2张c，或选1张c、2张a和2张b。（学生不但要排除多余的正方形铁皮，而且要注意两两相对，还要注意选择的铁皮不重复不遗漏，思维含金量很高）

条件多余型开放题需要学生根据题意，排除多余条件，从不同角度分析和解决问题，从而有效培养学生思维的灵活性，提升灵活解题的能力。

3.隐含条件的开放题，就是部分条件隐含在题目中，需要学生根据已有知识经验进行灵活应用的开放题。这种开放题需要学生非常熟悉已学知识，能随时激活和应用，才能顺利解决问题。

【案例3】把一根13厘米长的吸管剪成三段，用线串成一个三角形，如何剪？（每段取整厘米数）

按照SOLO理论，学生选择的各结构层次的思维过程如下：

（1）单一结构：找一组和是13的数字，并且能组成一个三角形，如13=2+5+6。因此，三段吸管的长度分别是2厘米、5厘米和6厘米。（只能找出一种符合要求的数字）

（2）多元结构：找一组和是13的数字，并能组成一个等腰三角形。13厘米可以看成3+5+5的和，因此，这根吸管可以剪成3厘米、5厘米和5厘米的三段。（学生需要考虑的三角形的特征多些，因而思维程度高些）

（3）关联结构：找出能组成等腰三角形的所有数字。因为13=1+6+6=3+5+5=5+4+4，因此，这根吸管可以剪成1厘米、6厘米和6厘米，或3厘米、5厘米和5厘米，或5厘米、4厘米和4厘米。（学生不仅要考虑等腰三角形的特征，还要考虑组成等腰三角形的底必须是“单数”，思维程度更高）

（4）抽象拓展结构：有序列举符合要求的数。一根吸管长1厘米，另外两根吸管都是6厘米；一根吸管长2厘米，另两根吸管分别是5厘米和6厘米；一根吸管长3厘米，另两根吸管都是5厘米；一根吸管长3厘米，另两根吸管分别是6厘米和4厘米；一根吸管长5厘米，另两根吸管都是4厘米。（从1厘米开始依次有序思考符合要求的吸管长度，不重复、不遗漏，思维难度大）

本题的内隐条件是三角形的特征，如三角形有三条边和三个角、等腰三角形的两个底角相等以及三角形中任意两边之和都大于第三条边等。事实上，和是13的三个数还有1+5+7、2+4+7等，但这些规格的吸管无法围成三角形。学生在开放题问题解决中选用不同的内隐条件能体现他们不同的思维层次。因此，对条件隐含型开放题，学生要在细心分析中恰当选择有用的隐含条件和其他已知条件，进行合理组合，打开突破口，顺利解决问题。

（二）结论开放题的分类评价

结论开放题就是在给定条件下，让学生探索符合条件的可能结论的数学问题，一般此类问题结论不确定。从解决形式上看，结论开放题包括解答式、问答式和图表式等，结论可以有唯一答案、多种答案或不存在答案等。这类问题常常需要学生根据题目所提供的信息，认真思考，结合实验现象或特征，在观察、比较、分析、综合、猜想、归纳或类比中得出结论。

【案例4】表1是盐城大纵湖风景度假区去年接待游客人数统计表，（ ）？

表1

（1）单一结构：第一季度和第二季度共接待游客多少万人？学生只要直接根据题目中的相关条件进行计算。（类似问题如第一季度的游客相当于第二季度的几分之几或百分之几等，学生只能提出一步计算的简单问题）

（2）多元结构：第一季度的游客比第二季度少百分之几？学生需要弄清第一季度比第二季度少多少万人，少的人数占第二季度的百分之几。（学生能基本理解问题，但无法理解问题的整体结构）

（3）关联结构：第一季度的游客占全年游客总数的百分之几？类似问题如第二季度的游客占全年游客总数的百分之几？（学生需要找出问题之间的相互联系，先求出全年游客的总数）

（4）抽象拓展结构：你能提出哪些不同的百分数问题？需要学生拓展知识面，努力提出不同的数学问题，并进行归类。（学生需要结合自己的知识经验提出不同的、有质量的百分数问题）

这类问题可以充分评测学生的数学思维能力、创新能力、分析能力以及综合运用数学知识的能力。

（三）策略开放题的分类评价

策略开放题就是条件和结论已知或部分已知，学生需要根据题目所提供的条件用模仿、类比和尝试的方法推断结论是否成立或正确。结论不确定是它的典型特征。简而言之，策略开放题就是用不同思路解决同一个数学问题，从而达到殊途同归的目的。学生解决策略开放题时需要变换不同的思维角度，运用不同策略解决问题并产生不同结果。

【案例5】四年级（4）班36名学生一起坐汽车去游园，可以租用的汽车有两种：一种每辆可乘8人，另一种每辆可乘4人。如果8个座位的车子每天租金是300元，4个座位的车子每天的租金是200元，学生可以怎么租车？需要多少元钱？

（1）单一结构：36名学生正好是4的倍数，租36÷4=9（辆），租金是200×9=1800（元）。（学生往往选择比较直观、简洁的方法）

（2）多元结构：比较两种租车方案，看哪种方案费用少。每辆可乘4人的，要租36÷4=9（辆），租金是200×9=1800（元）；每辆可乘8人的，要租36÷8≈5（辆），租金是300×5=1500（元）。结论是租5辆8人座车。（选择费用少的方案，说明学生能基本理解问题，但对问题的整体结构未必理解和掌握）

（3）关联结构：分析不同的租车方案，考虑租车不留空座，也不超载。a.8×4=32(人），36-32=4（人），4÷4=1（辆），可以租4辆8人座车和1辆4人座车；b.8×3=24(人），36-24=12（人），12÷4=3（辆），可以租3辆8人座车和3辆4人座车；c.8×2=16(人），36-16=20（人），20÷4=5（辆），可以租2辆8人座车，5辆4人座车。租金分别需要1400（元），1500（元）或1600（元）。从三种方案中任选一种即可。（学生能找出问题之间的相互联系，但考虑问题不够全面，可能只会想到三种方案中的某一种）

（4）抽象拓展结构：有序思考各种租车不留空座，不超载，并且费用最少的方案。a.8×4=32(人），36-32=4（人），4÷4=1（辆），租4辆8人座车和1辆4人座车所需费用是4×300=1200（元），1200+200=1400（元）；b.8×3=24(人），36-24=12（人），12÷4=3（辆），租3辆8人座车和3辆4人座车，所需费用是3×300+3×200=1500（元）；c.8×2=16(人），36-16=20（人），20÷4=5（辆），2辆8人座车和5辆4人座车，所需费用是2×300+5×200=1600（元）；d.8×1=8（人），36-8=28（人），28÷4=7（辆），租1辆8人座车和7辆4人座车，所需费用是1×300+7×200=1700（元）。费用最少的是第一种方案。（学生不但发现问题之间的相互联系，而且能有序、全面考虑问题——所有学生一起坐车，少花钱、不浪费）

策略型开放题需要学生对题目中的不同方案做出比较和合理选择，从而得出最优化方案，需要学生联系生活实际才能解决问题。

（四）综合开放题的SOLO分类评价

综合开放题就是问题只提供一定情境，条件、解题策略和结论都是学生在情境中自行设定与寻找的开放题。也就是说，综合开放题是融其他学科知识或综合应用数学相关知识于题中，意在打开学生思路，给不同学习水平、不同学习层次的学生创设解决问题的机会，从而发展学生的创新思维，培养学生的创新技能，提高学生的创新能力。

【案例6】商业大厦举行返券促销活动：购买皮制品类每付现金100元返礼券30元；手机类每付100元返礼券20元；电子手表类每付100元返礼券40元，所付现金不足100元的部分不返券，所返礼券可在本次活动期间购买商场其他商品。小红的妈妈想买三件商品：498元的皮包，320元的老人手机；245元的电子手表。请帮她设计一个购物方案。

SOLO理论认为各结构层次的学生设计的方案如下：

（1）单一结构：皮包、手机和电子手表一起买。要付498+320+245=1063元，除了获得三件商品还可以获得30×4+20×3+40×2=260元购物券。（学生按部就班地购物计算）

（2）多元结构：先买手机付320元，返券60元，再买电子手表，要付钱245-60元，返券40元，最后付498-40=458元，返券120元买手机，共付963元。（学生能应用购物券购物）

（3）关联结构：先买皮包，付498元，返券120元，再用200元（320-120）购买手机，返券40元，最后用40元返券和205元（245-40）购买电子手表，共付903元；或先买皮包，付498元，返券120元，再用125元（245-120）购买电子手表，返券40元，最后用280元（320-40）购买手机，返券40元，共付903元。（学生想到把券用于购物，并尽量少用钱）

（4）抽象拓展结构：分类思考。先用320元买手机，返券60元，再用185元（245-60）买电子手表，返券40元，最后买皮包，要付458元（498-40），共用963元；或者先用320元买手机，返券60元，再用438元（498-60）买皮包，返券120元，最后付245-120=125元买电子手表，返券40元，共用883元。

先用498元买皮包，返券120元，再用200元（320-120）买手机，返券40元，最后用205元（245-40）买电子手表，返券80元，共付903元；或先用498元买皮包，返券120元，再用125元（245-120）买电子手表，返券40元，最后用280元（320-40）买手机，返券40元，共付498+125+280=903元。

先用245元买电子手表，返券80元，再用418元（498-80）买皮包，返券120元，最后付200元（320-120）买手机，共用245+418+200=863元；或者先用245元买电子手表，返券80元，再用240元（320-80）买手机，返券40元，最后买皮包，要付498-40=458元，共用943元。用钱最少的方案是先买电子手表，再买皮包，最后买手机，一共要用863元。（学生从最省钱的角度考虑，进行统筹安排）

学生根据已有知识，结合自己的日常生活经验，综合运用所学知识从不同层次有针对性地解决问题，不同的解决方案反映了不同学习水平学生的思维状态。这类问题的解决有助于学生拓宽思维空间，提升学生的数学综合素养。

四、SOLO分类评价法的反思

1.分层关注学习过程，有效评价学习结果

新课程改革不仅关注学生获取知识和技能，而且关注学生的学习过程、学习方法以及情感、态度和价值观的培养。很多专家和学者认为数学知识和数学技能的学习目标能准确测量，而教学过程和方法以及情感、态度和价值观的学习目标无法有效测评。SOLO分类理论能对这两个目标进行有效评价，是因为新课程改革主张探究性学习，学生在探究学习中对学习任务的探究深度不同，所能获得的学习经验就不同，具有层次性（学生的认知水平存在客观差异）。评价学生的学习结果，不但能间接判断学生的学习过程和学习方法，而且能判断学生的数学思维层次。SOLO分类评价理论的5种学习水平由低到高、由简单到复杂的排序，反映了学生认知水平的层次性，能清楚反映学生的不同学习过程和不同学习方法的结果差异。

2.客观评价开放习题，精准量化思维水平

开放题作为考查学生知识水平、数学思维能力以及情感态度价值观的重要工具，无疑要有效反映学生的数学综合素养。但开放题既没有固定答案，也没有统一评分标准，评价标准随意性大，有时还囿于教师的喜好和经验等影响因素，导致无法客观反映学生的真实水平。SOLO分类评价理论的5种结构是对学生学习结果的评价，不仅能反映学生思维的“量”，还能反映学生思维的“质”（学生对学习任务反应的思维水平）。比格斯（Biggs）发现SOLO分类理论对开放题评分的信度高，能更准确、更客观地评价开放题，从而在更大程度上发挥开放题的优点，这正是SOLO分类评价理论获得广泛认同的根本原因。

3.借助自评形成动力，彰显评价激励作用

SOLO分类评价理论能清楚反映不同学习水平的学生对同一问题的认识程度，也能清晰反映同一个学生对不同问题的认识水平。教师可以从中了解学生的学习结果，以便有针对性地改进自己的课堂教学。无论是百分制还是等级制的评价，都只能总体评价学生所处的位置，却无法说明学生的薄弱环节，更无法提出具体可行的改进方法。教师根据SOLO分类评价理论能准确判断学生处理问题所能达到的水平层次、学生思维的局限性以及处理问题能力的不足。学生在面对小组学习交流的成果及教师的引领后，能清楚地看到自己对问题的认识水平，从而在自评中认识不足，反思学习过程和学习方法，并为提高认识水平而努力使用更高层次的探究性学习方法。从这个意义上说，SOLO分类评价不仅是衡量学生学习结果或处理问题的标准，也是促进学生改进学习方法和改变思维方式的动力。教学评价是结果，也是新起点，能有效发挥评价的激励作用。

4.质性评分牵引改革，科学提升思维水平

评价方式对课堂教学方式和学习方式有很大影响，某种程度上甚至起着决定作用。SOLO分类评价法独特的评价特性和维度，能有效帮助教师改进教学，激励学生进行深层次的探究学习。小学数学在学科本质上原本就具有一定的开放性，小学生的思维正处于形象思维向抽象思维过渡的关键时期，具有普遍性、自主性和探究性的开放题能更适切地满足学生认知的需求，开放题与传统封闭习题的深度融合能更好地丰富数学课程，促进数学整体的课程改革。SOLO分类评价法对开放题的质性评分，有助于学生形成良好的思维习惯，具有较强的推广价值。SOLO分类评价法使教育评价的触角深入到质的层面，能为师生提供有关教学质量的有益信息，对指导教学和评价学生的数学思维具有直接指导作用。SOLO分类评价法主要在过程性评价中加以应用，等级描述型量表对等级有着非常明确和详细描述，运用它评定那些有明显步骤特征或等级层次分明的小学数学探究型开放题，效果比其他方法好得多，教师可以根据学生所能达到的思维层次定级。▲

参考文献：

[1][2]何光峰.数学开放题及其教学的研究综述[J].数学通报，2001（5）：1-3.

[3]张远增，倪明，任升录.对数学开放性问题的几点认识[J].数学教育学报，2000（4）：22-27.

[4]比格斯，科利斯.学习质量评价：SOLO分类理论（可观察的学习成果结构）[M].高凌飚，张洪岩，译.北京：人民教育出版社，2010.