Tikhonov非线性算法在ECT图像重建中的应用

陈玲　程琳

摘 要：传统ECT算法受到分辨率低、边界模糊等问题的限制，文章提出基于有限元正演模型的Tikhonov非线性迭代算法。首先分析了ECT图像重建基本原理，并建立空间模型。然后以线性反投影（LBP）算法的图像重建结果作为初始状态，利用最优正则化参数求解灵敏度逆矩阵，根据正演模型测量极板间电容值，运用Tikhonov正则化算法校正图像。最后根据经典流行进行仿真实验。实验结果表明本文方法重建的图像相关系数平均值为0.8644，可见本文算法是一种有效的ECT算法。

关键词：电容层析成像；Tikhonov算法；正则化参数；FEM

中图分类号：TP317.4 文献标识码：A 文章编号：1006-8937（2016）05-0053-02

电容层析成像技术（ECT）是用于工业生产过程中多相流参数检测的成像技术。由于其可视化、响应快、易于安装维护，迅速发展成为层析成像技术的典型代表[1]。传统图像重建算法主要有：LBP算法、Landweber算法、奇异值分解法（SVD）等。由于ECT技术的病态逆问题，使得许多线性化图像重建算法无法获得失真较少的图像，并且过分依赖于先验信息， 无法应用于一些多浓度两相流的复杂存储空间的求解。

为此，本文提出改进的Tikhonov正则化算法[2]，该算法基于有限元法[3]正演模型，运用最优正则化参数求解灵敏度逆矩阵，获得更加精确的管道内介电常数分布信息，可以提高图像分辨率和清晰度。

1 ECT图像重建基本原理

ECT基本原理是在系统中通过低频率的交流电信号， 当内部介质发生变化时就会造成电极对间的电容值发生变化，通过实时检测极板间电容值，利用灵敏度场可以获得管道内介质分布的数据信息，完成ECT成像。由于使用的交流电频率足够小，使准静态近似有效，电磁场可以被忽视。整个系统中电荷将只在电极和管壁上积累，在测量极板间电容值的过程中，通过设定时间使各极板依次作为激励电极进行测量。

S为经归一化后的灵敏度矩阵，灵敏度矩阵的每一行是从像素到一个特定电容值贡献的权重，权重分布也称为灵敏度地图，灵敏度地图是ECT系统的基本特征，直接决定成像的效果。

2 改进的ECT图像重建算法

2.1 有限元正演模型

有限元法（FEM）依据变分原理，将待研究像素的求解区域划分为有限个且按一定规则联系在一起的个体，把各单元模拟成不同形式的求解小区域，然后对每个单元进行数值分析，最后再将这些单元重建原系统来研究其综合性态。

在ECT技术中主要利用有限元法将偏微分方程的定解问题转化为等价的变分问题。首先离散化处理求解区域，将连续问题的求解近似转化为有限元子空间中多元函数的极值问题。然后建立单元方程对每个单元进行分析，同时组合单元方程构成整体方程，对其进行求解获得连续求解区域的离散解。

2.2 正则化参数

在Tikhonov算法求解灵敏度矩阵的逆矩阵过程中，由于电容测量值的数量M通常比未知像素点的数量小得多，所以无法进行灵敏度矩阵的直接反演， 因此本文采用（3）式引入正则化参数求解广义逆矩阵，其中，I表示一个单位矩阵。

根据（4）式选择的正则化参数可以在收敛性和稳定性之间达到良好的平衡。

3 Tikhonov非线性迭代算法成像

利用本文介绍的改进Tikhonov非线性迭代算法进行图像重建的具体步骤如下：

①利用空场、满场的电容值对灵敏度场矩阵S和测量电容向量C进行归一化处理。

②运用LBP算法求解图像灰度值作为初值？着i，LBP算法的计算公式为：

？着=ST·C （5）

③输入图像的初值？着i到FEM正演模型，并获得对应的模拟电容值Ci。

⑥归一化与滤波。

⑦计算重建图像的误差和相关系数。

4 仿真实验与结果分析

为了验证本文算法的有效性，选取典型流型，分别利用LBP算法、Landweber算法、本文算法进行仿真实验。有重建图像可以看出，本文算法重建图像分辨率更高、边界更加清晰。为了评价本文算法的优劣引入图像误差和相关系数[4]作为评价指标。相关系数指重建图像灰度向量与原始图像灰度向量之间的线性相关程度。图像误差是指重建图像灰度向量与原始图像灰度向量之间的差异程度，它的计算公式如下：

计算不同流型的图像误差可以看出，本文算法重建图像的误差平均值可以达到0.4571，而LBP算法、Landweber算法图像误差的平均值分别为1.3295、0.6715。计算不同流型的相关系数可以看出，本文算法重建图像的相关系数平均值可以达到0.8644，而LBP算法、Landweber算法相关系数的平均值分别为0.4639、0.7381。

5 结 语

本文算法基于保持模型误差和测量误差之间的平衡原则选择最优正则化参数，求解灵敏度矩阵的广义逆阵。利用FEM正演模型估计初始值，逐步迭代得到最优解。同时整合可用的先验知识作为约束条件尽量提高算法各方面的性能。通过仿真实验可以看出本文算法在图像清晰度、边缘效果、迭代次数上都有明显改善，是一种有效的ECT图像重建算法。

参考文献：

[1] 赵玉磊，郭宝龙，闫允一.电容层析成像技术的研究进展与分析[J].仪器 仪表学报，2012，（8）.

[2] Lei J， Shi L， Li Z H， et al. An image reconstruction algorithm based

on the extended Tikhonov regularization method for electrical capaci

tance tomography [J]. Measurement，2009，（3）.

[3] 陈锡栋，杨婕，赵晓栋，等.有限元法的发展现状及应用[J].中国制造业信 息化，2012，（11）.

[4] 彭黎辉，陆耿，杨五强.电容成像图像重建算法原理及评价[J].清华大学 学报，2004，（4）.